专题03 辅助圆模型（解析版）

一、定点定长

1、O为定点，OA=OB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，PQ最小。

二、定弦定角

2、线段AB固定，Q为动点，且∠AQB为定值，那么Q、A、B三点可以确定一个圆，动点Q在圆弧AB上运动，如图所示，R为圆外一定点，当Q运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，RQ最小。

方法点拨

一、题型特征：

①动点的运动轨迹为圆

②圆外一点到圆上一点的距离最短：即圆外一点与圆心连线与圆的交点

③常见确定圆的模型：定点定长、定弦定角。

二、模型本质：两点之间，线段最短。

1．如图，已知AB＝AC＝BD＝6，AB⊥BD，E为BC的中点，则DE的最小值为（　　）

A．3﹣3 B．3 C．3﹣3 D．2

【解答】解：取AB的中点O，连接AE，OE，OD．

∵AB＝AC，BE＝EC，

∴AE⊥BC，

∴∠AEB＝90°，

∵OA＝OB，

∴OE＝AB＝3，

∵AB⊥BD，

∴∠OBD＝90°，

∵OB＝3，BD＝6，

∴OD＝＝＝3，

∵DE≥OD﹣OE，

∴DE≥3﹣3，

∴DE的最小值为3﹣3，

故选：C．

1．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点P为矩形内一动点，且满足∠PBC＝∠PCD，则线段PD的最小值为（　　）

A．5 B．1 C．2 D．3

【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，

∴∠BCD＝90°，

∵∠PBC＝∠PCD，

∴∠PBC+∠PCB＝90°，

∴∠BPC＝90°，

∴点P在以BC为直径的⊙O上，

连接OD交⊙O于P′，连接OP、PD，如图，

∵PD≥OD﹣OP（当且仅当O、P、D共线时，取等号），

即P点运动到P′位置时，PD的值最小，最小值为DP′，

在Rt△OCD中，OC＝BC＝4，CD＝AB＝3，

∴OD＝＝5，

∴DP′＝OD﹣OP′＝5﹣4＝1，

∴线段PD的最小值为1．

故选：B．

2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为　2﹣2　．

【解答】解：如图，

∵AE⊥BE，

∴点E在以AB为直径的半⊙O上，

连接CO交⊙O于点E′，

∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，

∵AB＝4，

∴OA＝OB＝OE′＝2，

∵BC＝6，

∴OC＝＝＝2，

则CE′＝OC﹣OE′＝2﹣2，

故答案为：2﹣2．

3．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为　　．

【解答】解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，

∵∠PAB＝∠ACP，

∴∠PAC+∠ACP＝60°，

∴∠APC＝120°，

∴点P的运动轨迹是，

当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：

此时PA＝PC，OB⊥AC，

则AD＝CD＝AC＝1，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，

∴PD＝AD•tan30°＝AD＝，BD＝AD＝，

∴PB＝BD﹣PD＝﹣＝．

故答案为：．

4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是平面内的一个动点，且满足∠AEB＝90°，连接CE，则线段CE长的最大值为　2+2　．

【解答】解：∵∠AEB＝90°，

∴点E在以AB为直径的圆上，如图所示，设圆心为O，

∵AB＝4，AB是⊙O的直径，

∴OE＝2，

在Rt△OBC中，OC＝，

∴当点E在CO的延长线上时，CE有最大值，

∴CE的最大值＝OE+OC＝2+2，

∴CE的最大值＝2+2．

故答案为：2+2．

5．如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．

（1）探究一：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是　﹣1　．

（2）探究二：如图3，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值．

（3）探究三，在正方形ABCD中，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD＝4，试求出线段CP的最小值．

【解答】解：（1）找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上任取P1，连接AP1，EP1，可见，AP1+EP1＞AE，即AP2是AP的最小值．

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，CE＝BC＝1

∴AE＝，

∵P2E＝1，

∴AP2＝﹣1．

故答案为：﹣1．

（2）如图所示：因为点M是AD的中点，

∴AM＝MA′＝AD＝1，

由于△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN

∴MA′＝AM＝1是定值，当点A′在MC上时，A′C长度最小．

过点M作ME⊥DC于点E

∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点，

∴2MD＝AD＝CD＝2，∠EDM＝60°，

∴∠EMD＝30°，

∴ED＝MD＝，

∴EM＝DM×cos30°＝，

∴MC＝＝，

∴A′C＝MC﹣MA′＝．

答：A′C长度的最小值为．

（3）∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝DC＝4，∠ADC＝∠C＝90°．

在△ADE和△DCF中，，

∴△ADE≌△DCF（SAS）．

∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，

由于∠CDF+∠ADF＝90°，

∴∠DAE+∠ADF＝90°．

∴AE⊥DF；

由于点P在运动中保持∠APD＝90°，

∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，

设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，

在Rt△QDC中，QC＝＝＝2，

∴CP＝QC﹣QP＝2﹣2．

答：线段CP的最小值为2﹣2．

1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是　﹣1　．

【解答】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，

过点M作MF⊥DC于点F，

∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点，

∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°，

∴∠FMD＝30°，

∴FD＝MD＝，

∴FM＝DM×cos30°＝，

∴MC＝＝，

∴A′C＝MC﹣MA′＝﹣1．

故答案为：﹣1．