专题01 垂线段最短模型（解析版）

【结论一】

如图，直线外一点A，到直线上的点M的距离最小

【结论二】

如图，在三角形ABC中，M、N分别是DE、BC上的动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值。则有以下结论成立：

过A作BC的垂线，垂足为Q，于DE相交于P，当M、N分别于P、Q重合时，AM+MN有最小值，即为AQ的长度。

方法点拨

一、题型特征：

①一定点

②动点的运动轨迹为直线

③可出现多个动点

二、模型本质：过定点作定直线的垂线，垂线段最短。

1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，D为AC中点，P为AB上的动点，将P绕点D逆时针旋转90°得到P′，连CP′，则线段CP′的最小值为（　　）

A．1.6 B．2.4 C．2 D．2

【解答】解：如图所示，过P'作P'E⊥AC于E，则∠A＝∠P'ED＝90°，

由旋转可得，DP＝P'D，∠PDP'＝90°，

∴∠ADP＝∠EP'D，

在△DAP和△P'ED中，

，

∴△DAP≌△P'ED（AAS），

∴P'E＝AD＝2，

∴当AP＝DE＝2时，DE＝DC，即点E与点C重合，

此时CP'＝EP'＝2，

∴线段CP′的最小值为2，

故选：C．

2．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为10，面积是40，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为　13　．

【解答】解：连接AD，AM．

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，

∴AD⊥BC，

∴S△ABC＝BC•AD＝×10×AD＝40，解得AD＝8，

∵EF是线段AC的垂直平分线，

∴点C关于直线EF的对称点为点A，

∴MA＝MC，

∵MC+MD＝MA+MD≥AD，

∴AD的长为CM+MD的最小值，

∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×10＝13．

故答案为：13．

3．如图，在△ABC中，AB＝6，S△ABC＝10，点M是∠ABC平分线BD上一动点，点N是BC上一动点，则CM+MN的最小值是 　　．

【解答】

解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，

∵点M是∠ABC平分线BD上一动点，ME⊥AB，MN⊥BC，

∴MN＝ME，

∴MN+CM＝ME+CM＝CE，

∵CE⊥AB，

∴CE是点C到AB最短的线段，即CM+MN的最小值就是线段CE的长度，

在△ABC中，AB＝6，S△ABC＝10，

又∵•AB•CE＝S△ABC，

∴×6×CE＝10，

∴CE＝，

故答案为．

4．如图，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，E、F分别为线段AD、AB上的动点，其中AB＝8，AC＝10，BD＝，则BE+EF的最小值为 　　．

【解答】解：过点D作DB'⊥AC交于点B'，过B'作B'F⊥AB交AD于点E，交AB于点F，

∵∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，

∴BD＝B'D，

∴Rt△ADB'≌Rt△ADB（HL），

∴B与B'关于AD对称，

∴BE＝B'E，

∴要求BE+EF的最小求B'F的最小即可，

∵AB＝8，AC＝10，BD＝，

∴B'D＝，BC＝6，

∵AB＝AB'，

∴AB'＝8，

∵sin∠CAB＝＝＝，

∴B'F＝，

∴BE+EF的最小值为，

故答案为．

5．如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是　2　．

【解答】解：如图，连接BF，

由旋转可得，CE＝FC，∠ECF＝60°，

∵△ABC是等边三角形，

∴AC＝BC，∠ACB＝60°，

∴∠ACE＝∠BCF，

在△ACE和△BCF中，

，

∴△ACE≌△BCF（SAS），

∴∠CBF＝∠CAE，

∵边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，

∴∠CAE＝30°，BD＝4，

∴∠CBF＝30°，

即点F的运动轨迹为直线BF，

∴当DF⊥BF时，DF最短，

此时，DF＝BD＝×4＝2，

∴DF的最小值是2，

故答案为2．

6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，点P为AB的中点，E为BC上一动点，过C、E、P三点⊙O交AC于F点，连接EF，则EF的最小值为 　　．

【解答】解：∵经过P、E、F三点确定⊙O，由圆周角定理可知：⊙O的直径为EF，

连接PC，PF，PE，

∵AC＝BC＝8，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∵点P是AB的中点，

∴CP平分∠ACB，

∴∠ACP＝45°，

∴∠ACP＝∠PEF＝45°，

∴△EFP是等腰直角三角形，

∴FE＝PE，

当PE⊥BC时，PE最小，

即EF最小，

此时PE＝AC＝4，

∴EF的最小值＝4，

故答案为：4．

7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持∠EDF＝90°，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①DE＝DF；②四边形CEDF的面积随点E、F位置的改变而发生变化；③CE+CF＝AB；④AE2+BF2＝2ED2．以上结论正确的是　①③④　（只填序号）．

【解答】解：连接CD，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠DCB＝∠A＝45°，CD＝AD＝DB，

∵∠ADC＝∠EDF＝90°，

∴∠ADE＝∠CDF，

在△ADE和△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF（ASA），

∴ED＝DF，故①正确；

∴S△ADE＝S△CDF，

∴S四边形CEDF＝S△ADC＝S△ABC＝定值，故②错误，

∵△ADE≌△CDF，

∴AE＝CF，

∴CE+CF＝CE+AE＝AC＝AB，故③正确，

∵AE＝CF，AC＝BC，

∴EC＝BF，

∴AE2+BF2＝CF2+CE2＝EF2，

∵EF2＝2DE2，

∴AE2+BF2＝2ED2，故④正确．

故答案为①③④．

1．（2021•东阿县三模）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P不与写B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连接EF，则EF的最小值等于　4.8　．

【解答】解：连接OP，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，

∴AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，

∴BC＝＝＝10，

∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，

∴四边形OEPF是矩形，

∴FE＝OP，

∵当OP⊥BC时，OP有最小值，

此时S△OBC＝OB×OC＝BC×OP，

∴OP＝＝4.8，

∴EF的最小值为4.8，

故答案为：4.8