专题03 折叠模型（解析版）

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折叠模型






模型讲解



【模型1】 如图所示，在Rt△ACB中，已知AC=a，BC=b，D为BC边上一点，沿AD对折，C刚好落在AB边上E点处，求CD的长度



【解决思路】
CD=DE，在Rt△DEB中，利用勾股定理建立方程即可求解

【模型2】如图，已知ABCD为长方形纸片，CD＝3，在CD上存在一点E，沿直线AE将△AED折叠，D恰好落在BC边上的点F处，求EF的长

【解决思路】
DE=DF，在Rt△ECF中，利用勾股定理建立方程即可求解

【模型3】如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，求FC′




【解析】
解：设FC′＝x，则FD＝9﹣x，
∵BC＝6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点，
∴AD＝BC＝6，C′D＝3．
在Rt△FC′D中，∠D＝90°，FC′＝x，FD＝9﹣x，C′D＝3，
∴FC′2＝FD2+C′D2，即x2＝（9﹣x）2+32，
解得：x＝5


方法点拨
一、解决方法：
①在已知三角形中利用勾股定理求出未知边长；
②设未知数，在新形成的直角三角形中利用勾股定理列方程
③解方程及其他未知边

。

例题演练


1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上，与点B′重合，AE为折痕，求AC和EB′的长．

【解答】解：设EB′＝x，
∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10，
由折叠的性质可知，BE＝EB′＝x，AB′＝AB＝6，
则CB′＝AC﹣AB′＝4，EC＝BC﹣BE＝8﹣x，
由勾股定理得，x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴EB′＝3．

2．如图，已知ABCD为长方形纸片，CD＝3，在CD上存在一点E，沿直线AE将△AED折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且S△AFB＝6，则△AED的面积是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：由翻折变换可得，AD＝AF，∠D＝∠AFE＝90°，
∵S△AFB＝6，AB＝CD＝3，

∴BF•AB＝6，
∴BF＝4，
在Rt△ABF中，AF＝＝＝5，
设EF＝x，则EF＝x，EC＝3﹣x，
在Rt△ECF中，FC＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，由勾股定理得，
x2＝12+（3﹣x）2，
解得x＝，
∴△AED的面积是AD•DE＝×5×＝，
故选：B．

3．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，P为AB上一点，将△BCP沿CP翻折至△ECP，PE与AD相交于O，且OP＝OF，则AP的长为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠A＝∠B＝90°，AD＝BC＝10，CD＝AB＝8．
由翻折的性质可知：EP＝BP，∠E＝∠B＝90°，CE＝CB＝10，
在△OAP和△OEF中，
，
∴△OAP≌△OEF（AAS）．
∴OA＝OE，
∵OP＝OF，
∴AF＝EP．
设AP＝EF＝x，则PB＝PE＝8﹣x，CF＝10﹣x，DF＝10﹣（8﹣x）＝2+x，
在Rt△FCD中，根据勾股定理得：
DC2+DF2＝CF2，即82+（2+x）2＝（10﹣x）2，
解得：x＝，
∴AP＝．
故选：B．


强化训练



1．如图在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，则折痕EF的长是（　　）

A． B．2 C． D．2
【解答】解：连接BE，BD，设EF与BD相交于点O，如图，

∵矩形ABCD纸片折叠，使点D与点B重合，
∴EF垂直平分BD，∠BFE＝∠DFE，
∴ED＝EB，FD＝FB，EF⊥BD，
∴∠EDB＝∠EBD，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴DF＝DE，
∴DE＝EB＝BF＝FD，
∴四边形DEBF为菱形，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝10，
设BE＝x，则DE＝x，AE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝DE2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝，
∴BE＝，
∵S菱形DEBF＝S三角形DEB
∴×EF•DB＝DE•AB，
∴×EF×10＝6×，
∴EF＝，
故选：C．
2．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点E、F分别为边BC、AD上一点，连接EF，将矩形ABCD沿着EF折叠，使得点A落到边CD上的点A'处，且DA'＝2A'C，则折痕EF的长度为（　　）

A．3 B．2 C． D．
【解答】解：如图，过点E作EM⊥AD，垂足为M，
∵DA'＝2A'C，DC＝6，
∵DA'＝DC＝4，A'C＝DC＝2，
由折叠得，AF＝FA′，AB＝A′B′＝6，
设DF＝x，则FA＝FA′＝8﹣x，
在Rt△DFA′中，由勾股定理得，
x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，即DF＝3，
∴FA＝FA′＝8﹣3＝5，
∵∠NA′C+∠DA′F＝180°﹣90°＝90°，∠NA′C+∠A′NC＝90°，
∴∠DA′F＝∠A′NC，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴△A′NC∽△FA′D，
∴＝＝，即＝＝，
解得NC＝，A′N＝，
∴B′N＝A′B′﹣A′N＝6﹣＝＝NC，
∴△A′CN≌△ENB′（AAS），
∴EN＝A′N＝，
∴EC＝EN+NC＝+＝6＝MD，
∴MF＝6﹣3＝3，
在Rt△EFM中，EF＝＝3，
故选：A．

3．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为 　cm　．

【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝＝10，
根据折叠的性质可知：AE＝AB＝10，
∵AC＝8，
∴CE＝AE﹣AC＝2，
即CE的长为2，
设CD＝x，则BD＝6﹣x＝DE，
在Rt△CDE中，根据勾股定理得
CD2+CE2＝DE2，即x2+22＝（6﹣x）2，
解得x＝，
即CD长为cm．
故答案为：cm．
4．如图，已知E为长方形纸片ABCD的边CD上一点，将纸片沿AE对折，点D的对应点D′恰好在线段BE上．若AD＝3，DE＝1，则AB＝　5　．

【解答】解：∵折叠，
∴△ADE≌△AD'E，
∴AD＝AD'＝3，DE＝D'E＝1，∠DEA＝∠D'EA，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DEA＝∠EAB，
∴∠EAB＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴D'B＝BE﹣D'E＝AB﹣1，
在Rt△ABD'中，AB2＝D'A2+D'B2，
∴AB2＝9+（AB﹣1）2，
∴AB＝5
故答案为：5
5．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为　5　．

【解答】解：设FC′＝x，则FD＝9﹣x，
∵BC＝6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点，
∴AD＝BC＝6，C′D＝3．
在Rt△FC′D中，∠D＝90°，FC′＝x，FD＝9﹣x，C′D＝3，
∴FC′2＝FD2+C′D2，即x2＝（9﹣x）2+32，
解得：x＝5．
故答案为：5．
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为　　．

【解答】解：连接BF，
∵BC＝6，点E为BC的中点，
∴BE＝3，
又∵AB＝4，
∴AE＝＝5，
∴BH＝，
则BF＝，
∵FE＝BE＝EC，
∴∠BFC＝90°，
根据勾股定理得，CF＝＝＝．
故答案为：．

7．如图，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，求线段BN的长．

【解答】解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝18﹣x，
∵D是BC的中点，
∴BD＝6，
在Rt△NBD中，x2+62＝（18﹣x）2，
解得x＝8．
故线段BN的长为8．
8．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，D为BC边上的中点．
（1）求BD，AD的长度；
（2）将△ABC折叠，使A与D重合，得折痕EF交AB于点E，交AC于点F．求AE，BE的长度．

【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，
∴BC＝＝＝4，
∵D为BC边上的中点．
∴BD＝CD＝BC＝2．
∴AD＝＝＝；
（2）如图，连接DE，

∵将△ABC折叠，使A与D重合，得折痕EF交AB于点E，交AC于点F．
∴AE＝DE，
在Rt△BDE中，BE2+BD2＝DE2，
设BE＝x，则AE＝DE＝3﹣x，
∴x2+22＝（3﹣x）2，
解得x＝，
∴AE＝，BE＝3﹣＝．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，将△DCE沿DE翻折，使点C落在点A处．
（1）设BD＝x，在Rt△ABD中，根据勾股定理，可得关于x的方程 　62+x2＝（8﹣x）2　；
（2）分别求DC、DE的长．

【解答】解：（1）∵将△DCE沿DE翻折，使点C落在点A处．
∴AD＝CD，AE＝EC，
设BD＝x，则DC＝AD＝8﹣x，
∵AB2+BD2＝AD2，
∴62+x2＝（8﹣x）2，
故答案为：62+x2＝（8﹣x）2；
（2）由（1）得62+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝，
∴BD＝，
∴DC＝BC﹣BD＝8﹣＝．
∵AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝＝，
∴CE＝AC＝5，
∴DE＝＝＝．
10．如图，将对角线BD长为16的正方形ABCD折叠，使点B落在DC边的中点Q处，点A落在P处，折痕为EF．
（1）求线段AB和线段CF的长；
（2）连接EQ，求EQ的长．

【解答】解：（1）∵对角线BD为16，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝＝16，
设CF＝x，由折叠可知QF＝BF＝16﹣x，
由于Q为CD中点，
则CQ＝＝8，
在直角三角形CFQ中，由勾股定理可得：
（16﹣x）2＝82+x2，解得：x＝6．
故CF＝6．
（2）如图所示，连接EQ，作EG⊥BC于点G，连接BQ交EF于点H，
由折叠可知AE＝PE，BQ⊥EF，
∴∠BFE+∠FBQ＝90°，
又∠BFE+∠GEF＝90°，
∴∠FBQ＝∠GEF，
在△EGF和△BCQ中，
，
∴△EGF≌△BCQ（ASA），
∴GF＝CQ＝8，
∴AE＝BG＝BF﹣GF＝10﹣8＝2，
即PE＝2，
由折叠可得PQ＝AB＝16，∠P＝90°，
由勾股定理有EQ＝＝＝．

11．已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于O，且OE＝OD，求AP的长．

【解答】解：设CD与BE交于点G，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8，
由翻折的性质得：△ABP≌△EBP，
∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，
在△ODP和△OEG中，，
∴△ODP≌△OEG（ASA），
∴OP＝OG，PD＝GE，
∴DG＝EP，
∴AP＝EP＝DG，
设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6﹣x，DG＝x，
∴CG＝8﹣x，BG＝8﹣（6﹣x）＝2+x，
在Rt△BCG中，根据勾股定理得：BC2+CG2＝BG2，
即62+（8﹣x）2＝（x+2）2，
解得：x＝4.8，
∴AP＝4.8．






1．（2021深圳模拟）如图，在长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）cm2．

A．12 B．10 C．6 D．15
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠BAE＝90°，
∵将此长方形折叠，使点B与点D重合，
∴BE＝ED，
∵AD＝9＝AE+DE＝AE+BE，
∴BE＝9﹣AE，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2＝BE2，
∴32+AE2＝（9﹣AE）2，
解得：AE＝4（cm），
∴S△ABE＝AB•AE＝×3×4＝6（cm2），
故选：C．