试卷 中考必会几何模型：圆中的辅助线

圆中的辅助线

模型1  连半径构造等腰三角形

已知AB是⊙O的一条弦，连接OA，OB，则∠A＝∠B．

模型分析

在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件．我们通常可以连接半径构造等腰三角形，

利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理，解决角度的计算问题

模型实例

如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求∠A．

解答：如图，连接OB，∵AB＝OC，OC＝OB，∴AB＝BO．∴∠BOC＝∠A．

∴∠EBO＝∠BOC＋∠A＝2∠A．而OB＝OE，得∠E＝∠EBO＝2∠A．

1．如图，AB经过⊙O的圆心，点B在⊙O上，若AD＝OB，且∠B＝54°．试求∠A的度数．

解答：如图，连接OC、OD．∵∠B＝54°，OC＝OB，∴∠AOC＝2∠B＝108°．

又∵AD＝OB＝OD，∴∠A＝∠AOD．∵OC＝OD，

∴∠OCA＝∠ODC＝∠A＋∠AOD＝2∠A．

∴∠A＋∠OCA＋∠AOC＝∠A＋2∠A＋108°＝180°．

∴∠A＝24°．

2．如图，AB是⊙O的直径，弦PQ交AB于M，且PM＝MO，求证：则＝．

证明：如图，连接OP、OQ．

∵PM＝OM，

∴∠P＝∠MOP．

∵OP＝OQ，

∴∠P＝∠Q．

∵∠QMO＝2∠MOP，

∴∠BOQ＝3∠MOP．

∴∠AOP＝∠BOQ．

∴＝．

模型2  构造直角三角形

如图①，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o.

如图②，已知AB是⊙O的一条弦，过点O作OE⊥AB，则OE2+AE2=OA2.

模型分析

(1) 如图①,当图形中含有直径时,构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路,在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造.

(2)如图②，在解决求弦长、弦心距、半径问题时，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形，再利用勾股定理进行计算.

模型实例

例1 已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，BE=6，∠DEB=60o.求CD的长.

解答:

如图,过O作ＯＦ⊥ＣＤ于点Ｆ，连接ＯＤ．∵ＡＢ＝ＡＥ＋ＥＢ，ＡＥ＝２，ＥＢ＝６，

∴ＡＢ＝８．∴ＯＡ＝ＡＢ＝４．∴ＯＥ＝ＯＡ－ＡＥ＝４－２＝２

在Ｒｔ△ＯＥＦ中,∠DEB=60º,OE=2,∴EF=1,OF=.

在Rt△ODF中,,∴.∴.

∵OF⊥CD,∴CD=2DF=

例2

如图,AB是⊙O的直径,AB=AC,BC交⊙O于点D,AC交⊙O于点E,∠BAC=45º.

(1)求∠EBC的度数;

(2)求证:BD=CD.

解答

  （1）∵AB＝AC，∠BAC＝45°，

∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°．

∵AB是直径，

∴∠AEB＝90°，

∴∠EBC＝90°－67.5°＝22.5°．

（2）连接AD，

∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°．

又∵AB＝AC，

∴BD＝CD(等腰三角形三线合一性质)．

练习

1．如图，⊙O的弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AE＝5，BE＝13，点O到AB的距离为2．求点O到CD距离，线段OE的长即⊙O的半径．

解答：如图，连接OB，过O分别作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N．

∵AB＝AE＋BE＝5＋13＝18，

∴AM＝AB＝9．

又∵OM＝2，

∴在Rt△OBM中，

BO＝＝＝11，

由图知，四边形ONEM是矩形，

∴ON＝EM＝AM－AE＝9－5＝4，

∴OE＝＝＝2．

2．已知，AB和CD是⊙O的两条弦，且AB⊥CD于点H，连接BC、AD，作OE⊥AD于点E．求证：OE＝BC．

证明：如图，连接AO并延长交⊙O于点F，连接DF、BD．

∵OE⊥AD，

∴AE＝DE．

∵OA＝OF，

∴OE是△ADF的中位线．

∴OE＝DF．

∵AB⊥CD，

∴∠ABD＋∠CDB＝90°．

∵AF是直径，

∴∠ADF＝90°．

∴∠DAF＋∠F＝90°．

∵∠ABD＝∠F，

∴∠CDB＝∠DAF．

∴DF＝BC．

∴OE＝BC．

3．如图，直径AB＝2，AB、CD交于点E且夹角为45°．则CE2＋DE2＝__________．

解答：如图，过点O作OF⊥CD于点F，连接OD．

设OF＝a，DF＝b，

则在Rt△OFD中，a2＋b2＝1．

∴CF＝DF＝b．

∵∠BED＝45°，

∴OF＝EF＝a．

∴CE2＋DE2＝(b－a)2＋(a＋b)2＝2(a2＋b2)＝2．

模型3  与圆的切线有关的辅助线

模型分析

（1）已知切线：连接过切点的半径；如图，已知直线AB是⊙O的切线，点C是切点，连接OC，则OC⊥AB．

（2）证明切线：①当已知直线经过圆上的一点时，连半径，证垂直；

如图，已知过圆上一点C的直线AB，连接OC，证明OC⊥AB，则直线AB是⊙O的切线．

②如果不知直线与圆是否有交点时，作垂直，证明垂线段长度等于半径；

如图，过点O作OC⊥AB，证明OC等于⊙O的半径，则直线AB是⊙O的切线．

模型实例

例1

如图，OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于Q，过Q点的切线交OA的延长线于R．求证：RP＝PQ．

证明

连接OQ．

∵OQ＝OB，

∴∠OQB＝∠OBQ．

∵RQ为⊙O的切线，OA⊥OB，

∴∠BPO＝90°－∠OBQ，∠BQR＝90°－∠OQB．

∴∠BPO＝∠QPB＝∠BQR．

∴RP＝RQ．

例2

如图，△ABC内接于⊙O，过A点作直线DE，当∠BAE＝∠C时，试确定直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．

解答

直线DE与⊙O相切，理由如下：

连接AO并延长，交⊙O于点F，连接BF．

∵∠BAE＝∠C，∠C＝∠F，

∴∠BAE＝∠F

∵AF为直径，

∴∠ABF＝90°．

∴∠F＋∠BAF＝90°．

∴∠BAE＋∠BAF

∴FA⊥DE．

又∵AO是⊙O的半径，

∴直线DE与⊙O相切．

例题1．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC相交于点D、E，BD＝CD，过点D作⊙O的切线交AC于点F．求证：DF⊥AC．

证明：如图，连接OD．

∵DF是⊙O的切线，D为切点，

∴OD⊥DF．

∴∠ODF＝90°．

∵BD＝CD，OA＝OB，

∴OD是△ABC的中位线．

∴OD∥AC．

∴∠CFD＝∠ODF＝90°．

∴DF⊥AC．

2．如图，AB是⊙O的直径，AC是它的切线，CO平分∠ACD．求证：CD是⊙O的切线．

证明：

如图，过O点作OE⊥CD于点E．

∵AC是⊙O的切线，

∴OA⊥AC．

∵CO平分∠ACD，OE⊥CD，

∴OA＝OE．

∴CD是⊙O的切线．

3．如图，直线AC与⊙O相交于B、C两点，E是的中点，D是⊙O上一点，若∠EDA＝∠AMD．求证：AD是⊙O的切线．

证明：如图，连接OE交BC于点F，连接OD．

∵E是是的中点，

∴OE⊥BC．

∴∠E＋∠EMF＝90°．

∵∠EDA＝∠AMD，∠AMD＝∠EMF，

∴∠ADM＋∠E＝90°．

∵OE＝OD，

∴∠E＝∠ODE．

∴∠ODE＋∠ADM＝90°，即∠ODA＝90°．

∴OD⊥AD．

∴AD是⊙O的切线．