【中考一轮复习】2023年中考数学总复习学案——专题03 整式的加减（原卷版＋解析版）

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技巧1：求代数式值的技巧
技巧2：整式加减在几何中的应用
技巧3：整体思想在整式加减中的应用
【题型】一、代数式求值
【题型】二、同类项
【题型】三、整式的加减
【题型】四、化简求值
【题型】五、图形类规律探索
【考纲要求】
1、能并用代数式表示，会求代数式的值；能根据特定问题找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算．
2、掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；掌握同类项的有关应用．
3、掌握去括号与添括号法则，充分注意变号法则的应用；会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的化简及求值．
【考点总结】一、整式
【考点总结】二、整式的加减运算
【注意】
1、去括号法则
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
(1)、去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．
(2)、去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．
(3)、对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．
(4)、去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．
2、添括号法则
添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；
添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．
(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．
(2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误：
如：，
【技巧归纳】
技巧1：求代数式值的技巧
【类型】一、直接代入求值
1．当a＝3，b＝2或a＝－2，b＝－1或a＝4，b＝－3时，
(1)求a2＋2ab＋b2，(a＋b)2的值；
(2)从中你发现了怎样的规律？
【类型】二、先化简再代入求值
2．已知A＝1－x2，B＝x2－4x－3，C＝5x2＋4，求多项式A－2[A－B－2(B－C)]的值，其中x＝－1.
【类型】三、特征条件代入求值
3．已知|x－2|＋(y＋1)2＝0，求－2(2x－3y2)＋5(x－y2)－1的值．
【类型】四、整体代入求值
4．已知2x－3y＝5，求6x－9y－5的值．
5．已知当x＝2时，多项式ax3－bx＋1的值是－17，那么当x＝－1时，多项式12ax－3bx3－5的值是多少？
【类型】五、整体加减求值
6．已知x2－xy＝－3，2xy－y2＝－8，求代数式2x2＋4xy－3y2的值．
7．已知m2－mn＝21，mn－n2＝－12.求下列代数式的值：
(1)m2－n2；
(2)m2－2mn＋n2.
【类型】六、取特殊值代入求值( )
8．已知(x＋1)3＝ax3＋bx2＋cx＋d，求a＋b＋c的值．
参考答案
1．解：(1)当a＝3，b＝2时，a2＋2ab＋b2＝32＋2×3×2＋22＝25，(a＋b)2＝(3＋2)2＝25；
当a＝－2，b＝－1时，a2＋2ab＋b2＝(－2)2＋2×(－2)×(－1)＋(－1)2＝9，(a＋b)2＝[(－2)＋(－1)]2＝9；
当a＝4，b＝－3时，a2＋2ab＋b2＝42＋2×4×(－3)＋(－3)2＝1，(a＋b)2＝(4－3)2＝1.
(2)a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.
2．解：原式＝A－2A＋2B＋4(B－C)＝A－2A＋2B＋4B－4C＝－A＋6B－4C.
因为A＝1－x2，B＝x2－4x－3，C＝5x2＋4，
所以原式＝x2－1＋6x2－24x－18－4(5x2＋4)＝－13x2－24x－35.
当x＝－1时，原式＝－13x2－24x－35＝－13×(－1)2－24×(－1)－35＝－13＋24－35＝－24.
3．解：由条件|x－2|＋(y＋1)2＝0，得x－2＝0且y＋1＝0，所以x＝2，y＝－1.
原式＝－4x＋6y2＋5x－5y2－1＝x＋y2－1.
当x＝2，y＝－1时，原式＝x＋y2－1＝2＋(－1)2－1＝2.
4．解：6x－9y－5＝3(2x－3y)－5＝3×5－5＝10.
5．解：因为当x＝2时，多项式ax3－bx＋1的值是－17，
所以8a－2b＋1＝－17.
所以8a－2b＝－18.
当x＝－1时，12ax－3bx3－5＝－12a＋3b－5＝(－12a＋3b)－5＝－eq \f(3,2)(8a－2b)－5
＝－eq \f(3,2)×(－18)－5＝22.
6．解：由x2－xy＝－3，得2x2－2xy＝－6①；由2xy－y2＝－8，得6xy－3y2＝－24②.
①＋②，得(2x2－2xy)＋(6xy－3y2)＝(－6)＋(－24)＝－30，即2x2＋4xy－3y2＝－30.
7．解：(1)因为m2－mn＝21，mn－n2＝－12，所以m2－n2＝(m2－mn)＋(mn－n2)＝21－12＝9.
(2)因为m2－mn＝21，mn－n2＝－12，
所以m2－2mn＋n2＝(m2－mn)－(mn－n2)＝21－(－12)＝21＋12＝33.
8．解：令x＝0，得(0＋1)3＝d，所以d＝1.再令x＝1，得(1＋1)3＝a＋b＋c＋d，
所以a＋b＋c＋d＝8.
所以a＋b＋c＝8－1＝7.
技巧2：整式加减在几何中的应用
【类型】一、利用整式加减求周长
1．已知三角形的第一条边长是a＋2b，第二条边长比第一条边长大b－2，第三条边长比第二条边长小5.
(1)求三角形的周长；
(2)当a＝2，b＝3时，求三角形的周长．
【类型】二、利用整式加减求面积
2．如图是一个工件的横截面及其尺寸(单位：cm)．
(1)用含a，b的式子表示它的面积S；
(2)当a＝15，b＝8时，求S的值(π≈3.14，结果精确到0.01)．
【类型】三、利用整式加减解决计数问题
3．按如图所示的规律摆放三角形：
(1)第4个图形中三角形的个数为________；
(2)求第n个图形中三角形的个数．
参考答案
1．解：(1)由题意可得第二条边长为a＋3b－2，第三条边长为a＋3b－7.所以三角形的周长为(a＋2b)＋(a＋3b－2)＋(a＋3b－7)＝3a＋8b－9.
(2)当a＝2，b＝3时，三角形的周长＝3×2＋8×3－9＝21.
2．解：(1)S＝eq \f(2,3)ab＋eq \f(1,2)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(2,3)ab＋eq \f(π,8)a2(cm2)．
(2)当a＝15，b＝8时，S≈eq \f(2,3)×15×8＋eq \f(3.14,8)×152≈168.31(cm2)．
3．解：(1)14
(2)观察图形可得摆放规律：中间一列三角形的个数比序号数大2，这一列两侧的三角形的个数分别与序号数相同，则第n个图形中三角形的个数为n＋2＋2n＝3n＋2.
技巧3：整体思想在整式加减中的应用
【类型】一、应用整体思想合并同类项
1．化简：4(x＋y＋z)－3(x－y－z)＋2(x－y－z)－7(x＋y＋z)－(x－y－z)．
【类型】二、应用整体思想去括号
2．计算：3x2y－[2x2z－(2xyz－x2z＋4x2y)]．
【类型】三、直接整体代入
3．若x＋y＝－1，xy＝－2，则x－xy＋y的值是________．
4．已知A＝2a2－a，B＝－5a＋1.
(1)化简：3A－2B＋2；
(2)当a＝－eq \f(1,2)时，求3A－2B＋2的值．
【类型】四、变形后再整体代入
5．若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值是( )
A．3 B．2 C．1 D．－1
6．已知a＋b＝7，ab＝10，则代数式(5ab＋4a＋7b)－(4ab－3a)的值为________．
7．已知14x＋5－21x2＝－2，求代数式6x2－4x＋5的值．
【类型】五、特殊值法代入(特殊值法)
8．已知(2x＋3)4＝a0x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，求：
(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4的值；
(2)a0－a1＋a2－a3＋a4的值；
(3)a0＋a2＋a4的值．
参考答案
1．解：原式＝－3(x＋y＋z)－2(x－y－z)
＝－3x－3y－3z－2x＋2y＋2z
＝－5x－y－z.
2．解：原式＝3x2y－2x2z＋(2xyz－x2z＋4x2y)
＝3x2y－2x2z＋2xyz－x2z＋4x2y
＝7x2y－3x2z＋2xyz.
3.1
4．解：(1)3A－2B＋2
＝3(2a2－a)－2(－5a＋1)＋2
＝6a2－3a＋10a－2＋2
＝6a2＋7a.
(2)当a＝－eq \f(1,2)时，原式＝6a2＋7a＝6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋7×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－2.
5．A 点拨：原式＝(m－n)2－2(m－n)＝(－1)2－2×(－1)＝3.
6．59
7．解：因为14x＋5－21x2＝－2，
所以14x－21x2＝－7.
所以3x2－2x＝1.
所以6x2－4x＋5＝2(3x2－2x)＋5＝7.
8．解：(1)将x＝1代入(2x＋3)4＝a0x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，
得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(2＋3)4＝625.
(2)将x＝－1，代入(2x＋3)4＝a0x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，
得a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2＋3)4＝1.
(3)因为(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)＋(a0－a1＋a2－a3＋a4)＝2(a0＋a2＋a4)，
所以625＋1＝2(a0＋a2＋a4)，
所以a0＋a2＋a4＝313.
【题型讲解】
【题型】一、代数式求值
例1、若，，则的值等于（ ）
A．5B．1C．-1D．-5
【答案】C
【提示】将两整式相加即可得出答案．
【详解】
∵，，
∴，
∴的值等于，
故选：C
【题型】二、同类项
例2、已知与是同类项，则的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【提示】根据同类项的概念可得关于n的一元一次方程，求解方程即可得到n的值.
【详解】解：∵与是同类项，
∴n+1=4，
解得，n=3，
故选：B.
【题型】三、整式的加减
例3、已知，那么_____________．
【答案】96
【提示】令，，可得到，即可求解；
【详解】令，，
则，，
则，
∴；
故答案是96．
【题型】四、化简求值
例4、如果多项式与多项式（其中，，是常数）相等，则 ， ， ．
【详解】，
两个多项式相等，
，
，，．
故答案为：，1，2．
【题型】五、图形类规律探索
例5、把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（ ）
A．10B．15C．18D．21
【答案】B
【提示】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n，据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数．
【详解】
解：∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，
第②个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，
第③个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，
……
∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，
故选：B．
整式的加减（达标训练）
一、单选题
1．（2022·重庆·模拟预测）关于x单项式的次数是（ ）．
A．6B．5C．3D．2
【答案】D
【分析】根据单项式的次数的定义求解即可．
【详解】解：单项式为，
次数为所有字母指数的和，故其次数为2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查单项式，解题的关键是掌握单项式的次数为所有字母指数之和．
2．（2022·重庆大渡口·二模）下列各式中，不是整式的是（ ）
A．B．x－yC．D．4x
【答案】A
【分析】利用整式的定义逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A.既不是单项式，又不是多项式，不是整式，故本选项符合题意；
B.x－y，是多项式，是整式，故本选项不符合题意；
C.，是单项式，是整式，故本选项不符合题意；
D.4x，是单项式，是整式，故本选项不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查整式的定义，整式为单项式和多项式的统称，是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母．
3．（2022·广西柳州·模拟预测）用代数式表示：的3倍与5的差．下列表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据差与倍数关系得出代数式解答即可．
【详解】解：a的3倍与5的差，表示为：3a-5．
故选：A．
【点睛】本题考查列代数式问题，解题的关键是根据差与倍数关系得出代数式．
4．（2022·江苏·宜兴市实验中学二模）若，，则的值为（ ）．
A．15B．C．5D．3
【答案】C
【分析】利用第二个等式减去第一个等式即可得．
【详解】解：因为①，②，
所以②①得：，即，
故选：C．
【点睛】本题考查了代数式求值，正确找出所求代数式与两个已知等式之间的联系是解题关键．
5．（2022·北京海淀·二模）已知m = 2，则代数式2m-1 的值为（ ）
A．1B．﹣1C．3D．﹣3
【答案】C
【分析】将m=2代入即可求解．
【详解】∵m=2，
∴2m-1=2×2-1=3，
故选：C．
【点睛】本题考查了代数式求值的知识，将未知数的值代入即可求解．
二、填空题
6．（2021·贵州铜仁·三模）多项式的次数为________．
【答案】6
【分析】根据“单项式的次数等于单项式各个字母的指数和”分析即可．
【详解】单项式的次数：单项式各个字母的指数和，所以单项式的次数是1+2+3=6
注意x的次数是1，
故答案为6．
【点睛】本题考查了单项式的次数，单项式的次数等于单项式各个字母的指数和，字母没有指数，代表指数是1，不要漏掉．
7．（2022·吉林省第二实验学校模拟预测）某种桔子的售价是每千克3元，用面值为100元的人民币购买了a千克，应找回__________元．
【答案】（100-3a）
【分析】利用单价×数量=应付的钱；再用100元减去应付的钱等于剩余的钱即为应找回的钱．
【详解】解：∵水果的售价为每千克3元，
∴购买了a千克这种水果应付3a元，
∴应找回（100-3a）元．
故答案为：（100-3a）．
【点睛】此题考查了列代数式，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列出代数式．
三、解答题
8．（2022·河北保定·一模）图①、图②是某月的月历
(1)图①中带阴影的方框中的9个数之和与方框正中心的数有什么关系？请说明理由．
(2)如果将带阴影的方框移至图②的位置，（1）中的关系还成立吗？若成立，说明理由．
(3)甲同学说，所求的9个数之和可以是90，乙同学说，所求的9个数之和也可以是290，甲、乙的说法对吗？若对，求出方格中最中间的一个数，若不对，说明理由．
【答案】(1)九倍关系，理由见解析
(2)成立，理由见解析
(3)甲对，中间数为10，乙不对，理由见解析
【分析】（1）直接进行实数运算，算出阴影中9个数的和在与方框中心的数比较，即可得解；
（2）方法同（1）；
（3）根据（1）和（2）中的结果可知，9个数字之和需要是9的倍数才能满足要求，即用此方法去验证即可得解
（1）
九倍关系，
理由：
，
，
即：九倍关系；
（2）
成立，
理由如下：
∵，
，
∴九倍关系成立；
（3）
甲说法正确，
理由如下：
∴，
∴甲正确，
∴中间数为10；
乙说法错误，
理由：
∵，
∴290不是9的整数倍，
∴乙说法错误．
【点睛】本题主要考查了寻找实数之间的规律的知识，通过对阴影部分的观察并进行实数运算最后总结规律是解答本题的基础．
9．（2022·北京北京·二模）已知，求代数式的值．
【答案】10
【分析】去括号，合并同类项化简代数式，再根据得代入原式即可求得答案．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴，
∴原代数式的值为．
【点睛】本题考查了代数式的化简，正确化简代数式是解题的关键．
整式的加减（提升测评）
一、单选题
1．（2022·贵州六盘水·模拟预测）已知，则的值是（ ）
A．4B．8C．16D．12
【答案】C
【分析】令，代入已知等式进行计算即可得．
【详解】解：观察所求式子与已知等式的关系，令，
则，
故选：C．
【点睛】本题考查了代数式求值，观察得出所求式子与已知等式的关系是解题关键．
2．（2022·重庆·西南大学附中三模）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a−3b＝3代入进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的加减−化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3．（2022·重庆八中二模）把黑色圆点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有6个黑色圆点，第③个图案中有8个黑色圆点，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中黑色圆点的个数为（ ）
A．12B．14C．16D．18
【答案】C
【分析】观察发现每一个图形比前一个图形多2个黑色圆点，利用此规律求解即可．
【详解】解：第①个图案中有4个黑色三角形，
第②个图案中有4+2×1=6个黑色三角形，
第③个图案中有4+2×2=8个黑色三角形，
…，
按此规律排列下去，则第n个图案中黑色三角形的个数为4+2×(n-1)=2n+2，
∴第⑦个图案中黑色三角形的个数为2×7+2=16，
故选：C．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律：第n个图案中黑色三角形的个数为2n+2．
4．（2022·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，，，，，……，第n个单项式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分别分析的系数与次数的变化规律，写出第个单项式的表达式．
【详解】解：，
，
，
，
第个单项式是．
故选：A．
【点睛】本题考查了单项式的找规律问题，分别找出符号、系数、次数的变化规律，从而得出单项式的变化规律．
5．（2022·安徽·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．的项是，2B．是二次三项式
C．与是同类项D．单项式的系数是
【答案】C
【分析】根据单项式与多项式的特点及性质即可求解．
【详解】A.的项是，-2，故A错误；
B.是三次三项式，故B错误；
C.与是同类项，故C正确；
D.单项式的系数是，故D错误．
故选：C．
【点睛】此题主要考查单项式与多项式的定义，解题的关键是熟知单项式与多项式的特点及性质．
二、填空题
6．（2022·浙江宁波·一模）已知，则的值为___________.
【答案】5
【分析】将变形为，再将整体代入即可得出答案．
【详解】解：，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了代数式求值，整体思想是本题的关键．
7．（2022·甘肃嘉峪关·三模）按一定规律排列的单项式：﹣a2，4a3，﹣9a4，16a5，﹣25a6，…，第n个单项式是 _____．
【答案】（﹣1）n•n2•an+1
【分析】观察字母a的系数、次数的规律即可写出第n个单项式．
【详解】解：∵第1个单项式-a2=（-1）1•12•a1+1，
第2个单项式4a3=（-1）2•22•a2+1，
第3个单项式-9a4=（-1）3•32•a3+1，
第4个单项式16a5=（-1）4•42•a4+1，
……
∴第n（n为正整数）个单项式为（-1）n•n2•an+1，
故答案为：（-1）n•n2•an+1．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是分别从系数、字母指数寻找其与序数间的规律．
三、解答题
8．（2020·浙江·模拟预测）化简：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）3ab-7a
【分析】（1）直接进行同类项的合并即可；
（2）先去括号，然后合并同类项即可；
【详解】（1）
=
=
（2）
=
=3ab-7a
【点睛】考查了整式的加减，解题关键是熟记去括号法则和运用合并同类项的法则．
9．（2022·河北·育华中学三模）如图的长方体中，已知高为x，S1＝16﹣x2，S2＝4x﹣x2．
(1)用x表示图中S3；
(2)求长方体的表面积．
【答案】(1)S3＝4x+x2
(2)-2x2+16x+32
【分析】（1）分别表示长方体的长和宽，可得S3；
（2）根据表面积公式代入可得答案．
（1）
∵S2＝4x−x2＝x(4−x)，
∴长方体的宽=4-x,
∵S1＝16−x2＝(4−x)(4+x)
∴长方体的长=4+x,
∴S3＝x(4+x)＝4x+x2；
（2）
长方体的表面积=2（4x+x2）+2（16-x2）+2（4x-x2）
=8x+2x2+32-2x2+8x-2x2
=-2x2+16x+32．
【点睛】本题考查了长方体，整式的加减，以及因式分解的应用,掌握长方形的面积=长×宽是解题的关键．
整
式
的
相
关
概
念
单项式
由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数。
如：单项式系数是，次数是4。
多项式
几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数。
如：多项式2+4x2y﹣是五次三项式
整式
整式是单项式与多项式的统称。
同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项。
合并同类项
把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变。
整式
加减
① 整式的加减其实就是合并同类项；
② 整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号．