【中考一轮复习】2023年中考数学总复习学案——专题21 解三角形（原卷版＋解析版）

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技巧1：解直角三角形的五种常见类型
技巧2：求锐角三角函数值的常用方法
技巧3：“化斜为直”构造直角三角形的方法
技巧4：构造三角函数基本图形解实际问题的四种数学模型
【题型】一、锐角三角函数的定义
【题型】二、利用正弦的相关知识求解
【题型】三、利用余弦的相关知识求解
【题型】四、利用正切的相关知识求解
【题型】五、特殊角的三角函数值
【题型】六、解直角三角形
【题型】七、利用解直角三角形解决实际问题
【考纲要求】
1、理解锐角三角函数的定义，会运用锐角三角函数解直角三角形．
2、掌握特殊锐角(30°，45°，60°)的三角函数值，并会进行计算．
3、了解直角三角形的定义，掌握边角之间的关系，并能进行有关计算．
4、利用解直角三角形的知识解决简单的实际问题.
【考点总结】一、锐角三角形函数与解直角三角形
【考点总结】二、解直角三角形的应用
【技巧归纳】
技巧1：解直角三角形的五种常见类型
【类型】一、已知两直角边解直角三角形
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝2eq \r(3)，b＝6，解这个直角三角形．
【类型】二、已知一直角边和斜边解直角三角形
2．如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin ∠BAC的值和点B到直线MC的距离．
【类型】三、已知一直角边和一锐角解直角三角形
3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3.
(1)求AC的长；
(2)求BC的长．
【类型】四、已知斜边和一锐角解直角三角形
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，c＝10，解这个直角三角形．
【类型】五、已知非直角三角形中的边(或角或三角函数值)解直角三角形
题型1：化斜三角形为直角三角形问题(化斜为直法)
5．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DC⊥AC，且tan ∠BCD＝eq \f(1,3)，求∠A的三角函数值．
题型2：化解四边形问题为解直角三角形问题
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝eq \r(2)，BE＝2eq \r(2).求CD的长和四边形ABCD的面积．
题型3：化解方程问题为解直角三角形问题
7．已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，关于x的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b.
(1)判断△ABC的形状；
(2)求sin A＋sin B的值．
参考答案
1．解：∵a＝2eq \r(3)，b＝6，
∴c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(12＋36)＝eq \r(48)＝4eq \r(3).
∵tan A＝eq \f(a,b)＝eq \f(2\r(3),6)＝eq \f(\r(3),3)，∴∠A＝30°.∴∠B＝60°.
2．解：∵AB＝13，AC＝12，∠ACB＝90°，
∴BC＝eq \r(AB2－AC2)＝eq \r(169－144)＝eq \r(25)＝5.
∴sin ∠BAC＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(5,13).过点B作BD⊥MC于点D.
设点B到直线MC的距离为d，则BD＝d.
∵∠BCM＝∠BAC，∴sin ∠BAC＝sin ∠BCM.
∴sin ∠BCM＝eq \f(d,BC)＝eq \f(5,13)，
即eq \f(d,5)＝eq \f(5,13).∴d＝eq \f(25,13)，
即点B到直线MC的距离为eq \f(25,13).
3．解：(1)由题意知sin C＝eq \f(AB,AC)，即eq \f(1,2)＝eq \f(3,AC)，则AC＝6.
(2)由题意知tan C＝eq \f(AB,BC)，即eq \f(\r(3),3)＝eq \f(3,BC)，则BC＝3eq \r(3).
4．解：∵∠B＝45°，∠C＝90°，c＝10，
∴∠A＝45°，a＝b＝5eq \r(2).
5．解：如图，过点D作CD的垂线交BC于点E.
在Rt△CDE中，
∵tan ∠BCD＝eq \f(1,3)＝eq \f(DE,CD)，∴可设DE＝x，则CD＝3x.
∵CD⊥AC，∴DE∥AC.
又∵点D为AB的中点，∴点E为BC的中点．
∴DE＝eq \f(1,2)AC.
∴AC＝2DE＝2x.
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，AC＝2x，CD＝3x，
∴AD＝eq \r(AC2＋CD2)＝eq \r(4x2＋9x2)＝eq \r(13)x.
∴sin A＝eq \f(CD,AD)＝eq \f(3x,\r(13)x)＝eq \f(3\r(13),13)，
cs A＝eq \f(AC,AD)＝eq \f(2x,\r(13)x)＝eq \f(2\r(13),13)，
tan A＝eq \f(CD,AC)＝eq \f(3x,2x)＝eq \f(3,2).
方法技巧：本题中出现了tan ∠BCD＝eq \f(1,3)，由于∠BCD所在的三角形并非直角三角形，因此应用正切的定义，构造出一个与之相关的直角三角形进行求解．
6．解：如图，过点D作DH⊥AC于点H.
∵∠CED＝45°，DH⊥EC，DE＝eq \r(2)，
∴EH＝DE·cs 45°＝eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝1.
∴DH＝1.
又∵∠DCE＝30°，
∴HC＝eq \f(DH,tan 30°)＝eq \r(3)，CD＝eq \f(DH,sin 30°)＝2.
∵∠AEB＝∠CED＝45°，∠BAC＝90°，BE＝2eq \r(2)，
∴AB＝AE＝2.∴AC＝AE＋EH＋HC＝2＋1＋eq \r(3)＝3＋eq \r(3).
∴S四边形ABCD＝eq \f(1,2)×2×(3＋eq \r(3))＋eq \f(1,2)×1×(3＋eq \r(3))＝eq \f(3\r(3)＋9,2).
方法技巧：题目中所给的有直角和30°，45°角，因此我们可以通过构造另一个直角三角形，然后运用特殊角的三角函数值求出某些边的长，进而求出四边形的面积．
7．解：(1)将方程整理，得(c－a)x2＋2bx＋(a＋c)＝0，则
Δ＝(2b)2－4(c－a)(a＋c)＝4(b2＋a2－c2)．
∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即b2＋a2＝c2.
∴△ABC为直角三角形．
(2)由3c＝a＋3b，得a＝3c－3b.①
将①代入a2＋b2＝c2，得(3c－3b)2＋b2＝c2.
∴4c2－9bc＋5b2＝0，即(4c－5b)(c－b)＝0.
由①可知，b≠c，∴4c＝5b.∴b＝eq \f(4,5)c.②
将②代入①，得a＝eq \f(3,5)c.
∴在Rt△ABC中，
sin A＋sin B＝eq \f(a,c)＋eq \f(b,c)＝eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)＝eq \f(7,5).
点拨：解决本题的突破口是由一元二次方程根与判别式的关系得到一个关于a，b，c的等式．从解题过程可以看出，求三角函数值时，只分析出直角三角形中三边的比例关系即可求出其值．
技巧2：求锐角三角函数值的常用方法
【类型】一、直接用锐角三角函数的定义
1．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若CD＝5，AC＝6，
则tan B的值是( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)
2．如图，在△ABC中， AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan ∠BAD＝eq \f(3,4)，求sin C的值．
3．如图，直线y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(3,2)与x轴交于点A，与直线y＝2x交于点B.求：
(1)点B的坐标；
(2)sin∠BAO的值．
【类型】二、利用同角或互余两角三角函数间的关系
4．若∠A为锐角，且sin A＝eq \f(\r(3),2)，则cs A的值为( )
A．1 B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(1,2)
5．若α为锐角，且csα＝eq \f(12,13)，则sin(90°－α)的值为( )
A.eq \f(5,13) B.eq \f(12,13) C.eq \f(5,12) D.eq \f(12,5)
6．若α为锐角，且sin2α＋cs230°＝1，则α＝______．
【类型】三、巧设参数
7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A，D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是( )
A.eq \f(\r(3),12) B.eq \f(\r(3),6) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(3),2)
【类型】四、利用等角来替换
8．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB相交于点H，E且AH＝2CH，求sin B的值．
参考答案
1．C
2．解：∵AD⊥BC，∴tan ∠BAD＝eq \f(BD,AD).
∵tan ∠BAD＝eq \f(3,4)，AD＝12，∴eq \f(3,4)＝eq \f(BD,12).∴BD＝9.
∴CD＝BC－BD＝14－9＝5.
∴在Rt△ADC中，AC＝eq \r(AD2＋CD2)＝eq \r(122＋52)＝13.
∴sin C＝eq \f(AD,AC)＝eq \f(12,13).
3．解：(1)解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,2)x＋\f(3,2)，,y＝2x.))
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2.))
∴点B的坐标为(1，2)．
(2)如图，过点B作BC⊥x轴于点C，则OC＝1，BC＝2.
由eq \f(1,2)x＋eq \f(3,2)＝0，解得x＝－3.
则A(－3，0)．∴OA＝3.∴AC＝4.
∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝2eq \r(5).
∴sin ∠BAC＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(2,2\r(5))＝eq \f(\r(5),5)，
即sin ∠BAO＝eq \f(\r(5),5).
4．D 5.B 6.30°
7．B 点拨：如图，设BC＝x.
在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，
∴AB＝eq \r(3)x.
根据题意，得AD＝BC＝x，AE＝DE＝AB＝eq \r(3)x.
如图，作EM⊥AD于M，
则AM＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)x.
cs∠EAD＝eq \f(AM,AE)＝eq \f(\f(1,2)x,\r(3)x)＝eq \f(\r(3),6).
故选B.
8．解：∵CD是斜边AB的中线，
∴CD＝AD＝BD.
∴∠DCB＝∠B.
∵∠ACD＋∠DCB＝90°，∠ACD＋∠CAH＝90°，
∴∠DCB＝∠CAH＝∠B.
在Rt△ACH中，AH＝2CH，
∴AC＝eq \r(5)CH.∴sin B＝sin ∠CAH＝eq \f(CH,\r(5)CH)＝eq \f(\r(5),5).
技巧3：“化斜为直”构造直角三角形的方法
【类型】一、无直角、无等角的三角形作高
1．如图，在△ABC中，已知BC＝1＋eq \r(3)，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的长．
【类型】二、有直角、无三角形的图形延长某些边
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．
【类型】三、有三角函数值不能直接利用时作垂线
3．如图，在△ABC中，点D为AB的中点，DC⊥AC，sin ∠BCD＝eq \f(1,3)，求tan A的值．
【类型】四、求非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝eq \f(1,2)∠BAC，求tan ∠BPC的值．
参考答案
1．解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D.
设BD＝x，在Rt△ABD中，AD＝BD·tan B＝x·tan 60°＝eq \r(3)x.
在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，
∴∠CAD＝90°－∠C＝45°.
∴∠C＝∠CAD.∴CD＝AD＝eq \r(3)x.
∵BC＝1＋eq \r(3)，∴eq \r(3)x＋x＝1＋eq \r(3).
解得x＝1，即BD＝1.
在Rt△ABD中，∵cs B＝eq \f(BD,AB)，
∴AB＝eq \f(BD,cs B)＝eq \f(1,cs 60°)＝2.
2．解：如图，延长BC，AD交于点E.
∵∠A＝60°，∠B＝90°，∴∠E＝30°.
在Rt△ABE中，BE＝eq \f(AB,tan E)＝eq \f(2,tan 30°)＝2eq \r(3).
在Rt△CDE中，EC＝2CD＝2，
∴DE＝EC·cs 30°＝2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3).
∴S四边形ABCD＝SRt△ABE－SRt△ECD＝eq \f(1,2)AB·BE－eq \f(1,2)CD·ED＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)－eq \f(1,2)×1×eq \r(3)＝eq \f(3\r(3),2).
点拨：本题看似是四边形问题，但注意到∠B＝90°，∠A＝60°，不难想到延长BC，AD交于点E，构造出直角三角形，将所求问题转化为直角三角形问题来解决．
3．解：如图，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E.
∵点D是AB的中点，∴AD＝DB.
又∵∠ACD＝∠BED＝90°，∠ADC＝∠BDE，
∴△ACD≌△BED.∴CD＝DE，AC＝BE.
在Rt△CBE中，sin ∠BCE＝eq \f(BE,BC)＝eq \f(1,3)，
∴BC＝3BE.
∴CE＝eq \r(BC2－BE2)＝2eq \r(2)BE.
∴CD＝eq \f(1,2)CE＝eq \r(2)BE＝eq \r(2)AC.
∴tan A＝eq \f(CD,AC)＝eq \f(\r(2)AC,AC)＝eq \r(2).
方法点拨：构造直角三角形，把所要求的量与已知量建立关系是解题的关键．
4．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC＝5，
∴BE＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2)×8＝4，∠BAE＝eq \f(1,2)∠BAC.
∵∠BPC＝eq \f(1,2)∠BAC，
∴∠BPC＝∠BAE.
在Rt△BAE中，由勾股定理得
AE＝eq \r(AB2－BE2)＝eq \r(52－42)＝3，
∴tan ∠BPC＝tan ∠BAE＝eq \f(BE,AE)＝eq \f(4,3).
技巧4：构造三角函数基本图形解实际问题的四种数学模型
【类型】一、构造一个直角三角形解实际问题
1．如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8 m，已知小汽车车门宽AO为1.2 m，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由(参考数据：sin 40°≈0.64，cs 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)．
【类型】二、构造形如“”的两个直角三角形解实际问题
2．黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4 m，请你根据这些数据求电线杆的高(AB)(结果精确到1 m，参考数据：eq \r(2)≈1.4，eq \r(3)≈1.7)．
【类型】三、构造形如“”的两个直角三角形解实际问题
3．如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB＝30 m.
(1)求∠BCD的度数．
(2)求教学楼的高BD(结果精确到0.1 m，参考数据：tan 20°≈0.36，tan 18°≈0.32)．
【类型】四、构造形如“”的两个直角三角形解实际问题
4．如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5 m；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5 m，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB＝14 m．求居民楼的高度(结果精确到0.1 m，参考数据：eq \r(3)≈1.73)．
参考答案
1．解：如图，过点A作AC⊥OB，垂足为点C，
在Rt△ACO中，∵∠AOC＝40°，AO＝1.2 m，
∴AC＝AO·sin ∠AOC≈0.64×1.2＝0.768(m)．
∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8 m，
∴车门不会碰到墙．
2．解：延长AD交BC的延长线于点G，作DH⊥BG于点H，如图所示．
在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4 m，
则CH＝CD·cs∠DCH＝4×cs 60°＝2(m)，
DH＝CD·sin∠DCH＝4×sin 60°＝2eq \r(3)(m)．
∵DH⊥BG，又易知∠G＝30°，
∴HG＝eq \f(DH,tan G)＝eq \f(2\r(3),tan 30°)＝6(m)．
∴CG＝CH＋HG＝2＋6＝8(m)．
设AB＝x m，
∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，
∴BC＝x m，BG＝eq \f(AB,tan G)＝eq \f(x,tan 30°)＝eq \r(3)x m.
∵BG－BC＝CG，
∴eq \r(3)x－x＝8.
解得x≈11.
答：电线杆的高约为11 m.
3．解：(1)如图，过点C作CE⊥BD于点E，则有∠DCE＝18°，∠BCE＝20°，
∴∠BCD＝∠DCE＋∠BCE＝18°＋20°＝38°.
(2)由题意得，CE＝AB＝30 m，
在Rt△CBE中，BE＝CE·tan 20°，
在Rt△CDE中，DE＝CE·tan 18°，
∴教学楼的高BD＝BE＋DE＝CE·tan 20°＋CE·tan 18°≈20.4(m)．
答：教学楼的高约为20.4 m.
4．解：设每层楼高为x m，由题意得MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1(m)，
则DC′＝(5x＋1)m，EC′＝(4x＋1)m.
在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°，
∴C′A′＝eq \f(DC′,tan 60°)＝eq \f(\r(3),3)(5x＋1)m.
在Rt△EC′B′中，∠EB′C′＝30°，
∴C′B′＝eq \f(EC′,tan 30°)＝eq \r(3)(4x＋1)m.
∵A′B′＝C′B′－C′A′＝AB，
∴eq \r(3)(4x＋1)－eq \f(\r(3),3)(5x＋1)＝14.
解得x≈3.18.
∴DC＝DC′＋CC′＝5x＋1＋1.5≈18.4(m)．
答：居民楼的高度约为18.4 m.
【题型讲解】
【题型】一、锐角三角函数的定义
例1、在中，，，，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
先根据勾股定理解出AB，再逐项根据三角函数的定义判断即可．
【详解】
根据勾股定理可得：，
则；；；；
故选：D．
【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义，熟悉基本定义是解题关键．
【题型】二、利用正弦的相关知识求解
例2、如图，在Rt△ACB中，，若，则的长为（ ）
A．8B．12C．D．
【答案】C
【提示】利用正弦的定义得出AB的长，再用勾股定理求出BC.
【详解】解：∵sinB==0.5，
∴AB=2AC，
∵AC=6，
∴AB=12，
∴BC==，
故选C.
【题型】三、利用余弦的相关知识求解
例3、在中，，如果 ，那么的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据，即可得出AB的值
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，
又∵
∴AB=4
故选：B．
【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【题型】四、利用正切的相关知识求解
例4、如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinBB．b＝csinBC．a＝btanBD．b＝ctanB
【答案】B
【提示】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题．
【详解】∵Rt△ABC中，，、、所对的边分别为a、b、c
∴，即，则A选项不成立，B选项成立
，即，则C、D选项均不成立
故选：B．
【题型】五、特殊角的三角函数值
例5、如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【提示】过点O作，，设圆的半径为r，根据垂径定理可得△OBM与△ODN是直角三角形，根据三角函数值进行求解即可得到结果．
【详解】如图，过点O作，，设圆的半径为r，
∴△OBM与△ODN是直角三角形，，
∵等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于，
∴,，
∴，，
∴，，
∴．
故答案选B．
【题型】六、解直角三角形
例6、比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【提示】确定所在的直角三角形，找出直角，然后根据三角函数的定义求解；
【详解】由题可知，△ABD是直角三角形，，
，,．
选项B、C、D都是错误的，
故答案选A．
【题型】七、利用解直角三角形解决实际问题
例7、如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度，在观测点处测得大桥主架顶端的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离为60米，且垂直于桥面．（点在同一平面内）

（1）求大桥主架在桥面以上的高度；（结果保留根号）
（2）求大桥主架在水面以上的高度．（结果精确到1米）
（参考数据）
【答案】（1）大桥主架在桥面以上的高度为米；（2）大桥主架在水面以上的高度约为50米．
【提示】
（1）在Rt△ACM中，根据锐角三角函数求出AM的长度．
（2）在Rt△BCM中，求出BM的长度，再求出AB的长度即可．
【详解】
解：（1）垂直于桥面
在中，
（米）
答：大桥主架在桥面以上的高度为米．
（2）在中，
（米）
答：大桥主架在水面以上的高度约为50米．
解三角形（达标训练）
一、单选题
1．如图，在Rt△ABC中，，，，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连结，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB＝5．根据旋转性质可得＝AC=3，=CB＝4，＝2．利用勾股定理可求出，从而求出．
【详解】解：在Rt△ABC中，
AB==5，
由旋转旋转性质可得＝AC=3，=CB＝4，
∴＝AB-=2，
∵==2，
∴．
故答案为：C．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形，掌握解直角三角形是解题的关键．
2．的值等于（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】根据特殊角的三角函数值，即可得解．
【详解】解：．
故选：D．
【点睛】此题主要考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
3．如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为35°，底端点C与顶端点B的距离为50米，则赛道AB的长度为（ ）米．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据锐角三角函数即可解决问题．
【详解】解：在Rt△ABC中，
∵∠A=35°，BC=50米，
∴sin35°=，
∴AB=(米)．
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的意义是解决本题的关键．
4．的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】tan30°=，代入式子即可．
【详解】tan30°=，
则=，
故选B．
【点睛】本体考查了锐角三角函数值相关计算，比较简单，熟练掌握特殊角三角函数值是解题的关键．
5．如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示的值，错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据，，可得∠A+ =90°∠ACD+∠A=90°，从而得∠ACD=，再根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴∠ACB=∠BDC=∠ADC=90°，
∴∠A+ =90°∠ACD+∠A=90°，
∴∠ACD=，
∴，，，
∴选项A、B、D正确，不符合题意；选项C错误，符合题意．
故选：C
【点睛】本题主要考查了求正切值，余角的性质，熟练掌握直角三角形中，锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值是解题的关键．
二、填空题
6．北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素．如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段AB，已知坡AB的长为30m，坡角∠ABH约为42°，则坡AB的铅直高度AH约为______m．（参考数据：，，）
【答案】20.1
【分析】根据正弦函数的定义计算，得到答案．
【详解】解：在Rt△ABH中，∠ABH=42°，AB=30m，
∵sin∠ABH=，
∴AH=AB•sin∠ABH≈30×0.67=20.1（m），
故答案为：20.1．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
7．如图斜坡的坡比为，竖直高度为1米，则该斜坡的水平宽度为______米．
【答案】2
【分析】根据坡比的定义和正切三角函数计算求值即可；
【详解】解：∵斜坡的坡比为，
∴tan∠A=，
∵BC=1米，
∴AC=2米，
故答案为：2；
【点睛】本题考查了坡角、坡度（坡比）：坡面与水平面的夹角叫做坡角，坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度，即坡角的正切；掌握相关定义是解题关键．
三、解答题
8．某校自开展课后延时服务以来，组建了许多兴趣小组，小明参加了数学兴趣小组，在课外活动中他们带着测角仪和皮尺到室外开展实践活动，当他们走到一个平台上时，发现不远处有一棵大树，如图所示，小明在平台底部的点C处测得大树的顶部B的仰角为60°，在平台上的点E处测得大树的顶部的仰角为30°．测量可知平台的纵截面为矩形DCFE，DE＝2米，DC＝20米，求大树AB的高．（精确到1米，参考数据：）
【答案】20米
【分析】延长EF交AB于点G，设AB为x，利用三角函数解直角三角形用x表示出EG、AC，根据CD=EG﹣AC列出方程求出x即可．
【详解】延长EF交AB于点G，如图，
设AB=x米，则BG=AB﹣2=（x﹣2）米，
在Rt△BGE 中，EG=（AB﹣2）÷tan∠BEG= ，
在Rt△BAC 中CA=AB÷tan∠ACB=，
则CD=EG﹣AC= ，
解得：．
答：大树AB的高约为20米．
【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的概念是解题的关键．
解三角形（提升测评）
一、单选题
1．在△ABC中，∠A＝90°，若tanB＝0.75，则csC的值为（ ）
A．0.5B．0.6C．0.8D．
【答案】C
【分析】根据tanB的值，把AC、AB边长设为3t、4t，勾股定理求出BC边，再利用三角函数的定义求解csC．
【详解】在Rt△ABC中，∠A=90°，
tanB==0.75=，
设AC=3t，AB=4t，则BC=5t，
故，csC===0.8.
故选C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的计算、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
2．如图，在中，，则长为（ ）
A．4B．8C．D．12
【答案】B
【分析】根据余弦的定义即可求解．
【详解】解：，
，
故选B．
【点睛】本题考查了已知余弦求边长，掌握余弦的定义是解题的关键．
3．如图，在中，，分别以点A、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线，分别交、于点D、E，连接，若，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意得，DE是线段AC的垂直平分线，AE=CE，DE是的高，根据锐角三角函数得，即可得，过点B作，交AC于点F，根据锐角三角函数得，即可得，用的面积减去的面积即可得．
【详解】解：由题意得，DE是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，DE是的高，CD=DA=，
∴，
∴，
如图所示，过点B作，交AC于点F，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了垂直平分线，锐角三角函数，解题的关键是掌握这些知识点并能想到用的面积减去的面积即可得的面积．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4．下列四个选项，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出BC的长，根据锐角三角函数的定义求值即可得出答案．
【详解】解：如图，∵∠C=90°，AB=5，AC=4，
∴，
A．，故该选项不符合题意；
B．=0.8，故该选项不符合题意；
C．=0.8，故该选项符合题意；
D．=0.6，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，牢记锐角三角函数的定义是解题的关键．
5．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为
A． +1B．2C．D．-
【答案】B
【分析】作于，作于，分别解直角三角形求得，和，从而求得，设，在直角三角形中表示出，进而根据列出方程求得，进而求得结果．
【详解】如图，
作于，作于，
在Rt中，，
在Rt中，，，
，
在Rt中，设，
在Rt中，，
，
由得，
，
，
，
故答案为：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形．
二、填空题
6．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转角α（）得到，并使点落在AB边上，则点B所经过的路径长为____．（结果保留π）
【答案】##
【分析】由直角三角形的性质可求，由旋转的性质可求，由弧长公式可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
∴，
∵将绕点A逆时针旋转角α（）得到，
∴，
∴点B所经过的路径长，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，轨迹，弧长公式等知识，求出和是解题的关键．
7．如图，在等边三角形ABC中，E为AB边上的一个动点，连接CE，将AC沿着CE折叠得到，A的对应点为，连接，当时，的值为__________．
【答案】
【分析】根据折叠对称性把各边和角表示出来，利用等边三角形性质把OB表示出来即可求出．
【详解】解：C沿着CE折叠得到，与AB交于O．
设AE=x，则=x．
∵AC沿着CE折叠得到，A的对应点为，
∴∠ECA==60°
∴，EO=
∴AO=AE+EO=
又∵等边三角形ABC，
∴AO=OB=
∴tan==
故答案为：．
【点睛】本题考查了正切值、等边三角形的性质，解题的关键是构造直角三角形并把各边表示出来．
三、解答题
8．如图，株洲市炎陵县某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（CD），放置在教学楼A栋的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿芙蓉小学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为i=1：3，AB=2m，AE=8m．
(1)求点B距水平面AE的高度BH．
(2)求宣传牌CD的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414 ,≈1.732 ）
【答案】(1)点B距水平面AE的高度BH是2米
(2)广告牌CD的高度约为2.1米
【分析】（1）根据山坡AB的坡度为i=1：3，可设BH=a,则AH=3a,然后在Rt△ABH中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）过点B作BF⊥CE，垂足为F，则BH=EF=2米，BF=HE=14米，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，再在Rt△BFC中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，最后进行计算即可解答．
【详解】（1）解：在Rt△ABH中，
BH：AH=1:3，
∴设BH=a,则AH=3a，
∵AB=2，
由勾股定理得BH=2，
答:点B距水平面AE的高度BH是2米；
（2）解：在Rt△ABH中, BH=2，
∴AH =6，
在Rt△ADE中, tan∠DAE=.，
即DE=tan60 ·AE=8 ，
如图,过点B作BF⊥CE ,垂足为F，
BF= AH + AE=6+8 =14，
DF= DE- EF= DE- BH =8—2，
在Rt△BCF中,∠C=∠CBF=45°，
∴ CF= BF= 14,
∴CD=CF- DF =14—（8—2）= 14—8+2≈2.1
答:广告牌CD的高度约为2.1米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9．计算：．
【答案】－3
【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、绝对值，特殊角的三角函数值．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】解：
【点睛】本题考查了实数的运算法则，负指数的性质，特殊角是三角函数，熟记特殊角是三角函数是解题的关键．
锐角三角形函数与解直角三角形
锐角三角函数
在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)
定 义
表达式
取值范围
关 系
正弦
(∠A为锐角)
余弦
(∠A为锐角)
正切
(∠A为锐角)
对边
邻边
斜边
A
C
B
【正弦和余弦注意事项】
1.sinA、csA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
2.sinA、csA是一个比值（数值，无单位）。
3.sinA、csA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
特殊角的三角函数值
三角函数
30°
45°
60°
1
直角三角形的边角关系
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，C．
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：
sin A＝eq \f(a,c)，cs A＝eq \f(b,c)，tan A＝eq \f(a,b)，
sin B＝eq \f(b,c)，cs B＝eq \f(a,c)，tan B＝eq \f(b,a).
解直角三角形的几种类型及解法
(1)已知一条直角边和一个锐角(如a，∠A)，
其解法为：∠B＝90°－∠A，c＝eq \f(a,sin A)，b＝eq \f(a,tan A)(或b＝eq \r(c2－a2))；
(2)已知斜边和一个锐角(如c，∠A)，
其解法为：∠B＝90°－∠A，a＝c·sin A，b＝c·cs A(或b＝eq \r(c2－a2))；
(3)已知两直角边a，b，
其解法为：c＝eq \r(a2＋b2)，
由tan A＝eq \f(a,b)，得∠A，∠B＝90°－∠A；
(4)已知斜边和一直角边(如c，a)，
其解法为：b＝eq \r(c2－a2)，由sin A＝eq \f(a,c)，求出∠A，∠B＝90°－∠A．
解直角三角形的应用
仰角与俯角
当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．
坡角与坡度
坡角是坡面与水平面所成的角；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)，常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面越陡．