【中考一轮复习】2023年中考数学总复习学案——专题20 勾股定理（原卷版＋解析版）

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技巧1：判定直角的四种方法
技巧2：巧用勾股定理解折叠问题
技巧3：巧用勾股定理求最短路径的长
【题型】一、勾股定理理解三角形
【题型】二、勾股定理与网格问题
【题型】三、解直角三角形在实际中的应用
【题型】四、利用勾股定理证明线段的平方关系
【题型】五、求梯子滑落高度
【题型】六、求旗杆高度
【题型】七、求蚂蚁爬行距离
【题型】八、求大树折断前的高度
【题型】九、求台阶上的地毯长度
【题型】十、利用勾股定理选址使到两地距离相等
【考纲要求】
1、了解直角三角形的有关概念，掌握其性质与判定．
2、掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题.
【考点总结】一、直角三角形与勾股定理
【技巧归纳】
技巧1：判定直角的四种方法
【类型】一、利用三边的数量关系说明直角
1．如图，在△ABC中，D为BC边上一点，且AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求CD的长．
【类型】二、利用转化为三角形法构造直角三角形
2．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝eq \r(5)，CD＝5，AD＝4，求S四边形ABCD.
【类型】三、利用倍长中线法构造直角三角形
3．如图，在△ABC中，D为边BC的中点，AB＝5，AD＝6，AC＝13，求证：AB⊥AD.
【类型】四、利用“三线合一”法构造直角三角形
4．如图①，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D为AB的中点，M，N分别为AC，BC上的点，且DM⊥DN.
(1)求证：CM＋CN＝eq \r(2)BD；
(2)如图②，若M，N分别在AC，CB的延长线上，探究CM，CN，BD之间的数量关系．
技巧2：巧用勾股定理解折叠问题
【类型】一、巧用全等法求折叠中线段的长
1．如图①是一直角三角形纸片，∠A＝30°，BC＝4 cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将图②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为( )

A.eq \f(8,3) cm B．2eq \r(3) cm C．2eq \r(2) cm D．3 cm
【类型】二、巧用对称法求折叠中图形的面积
2．如图，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
【类型】三、巧用方程思想求折叠中线段的长
3．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG.
(1)求证：△ABG≌△AFG；
(2)求BG的长．
【类型】四、巧用折叠探究线段之间的数量关系
4．如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接CE.
(1)求证：AE＝AF＝CE＝CF；
(2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c，请写出一个a，b，c三者之间的数量关系式．
技巧3：巧用勾股定理求最短路径的长
【类型】一、构造直角三角形法求平面中最短问题
1．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到B，为了避免拐角C走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草．
2．小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在黄石A坐“武黄城际列车”到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB＝80 km，BC＝20 km，∠ABC＝120°.请你帮助小明解决以下问题：
(1)求A，C之间的距离．(参考数据：eq \r(21)≈4.6)
(2)若客车的平均速度是60 km/h，市内的公共汽车的平均速度为40 km/h，“武黄城际列车”的平均速度为180 km/h，为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？请说明理由．(不计候车时间)
【类型】二、用平移法求平面中最短问题
3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬( )
A．13 cm B．40 cm C．130 cm D．169 cm
4．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF的长是________．
【类型】三、用对称法求平面中最短问题
5．如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，求DN＋MN的最小值．
6.高速公路的同一侧有A，B两城镇，如图，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2 km，BB′＝4 km，A′B′＝8 km.要在高速公路上A′，B′之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小．求这个最短距离．
【类型】四、用展开法求立体图形中最短问题
题型1：圆柱中的最短问题
7．如图，已知圆柱体底面圆的半径为eq \f(2,π)，高为2，AB，CD分别是两底面的直径．若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是________(结果保留根号)．
题型2：圆锥中的最短问题
8．已知：如图，观察图形回答下面的问题：
(1)此图形的名称为________．
(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个________．
(3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？
(4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程．
题型3：正方体中的最短问题
9．如图，一个正方体木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．
(1)请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
(2)当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．
题型4：长方体中的最短问题
10．如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm，8 cm，30 cm，在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行的最短路程．
【题型讲解】
【题型】一、勾股定理理解三角形
例1、在中，，如果，，那么的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【题型】二、勾股定理与网格问题
例1、如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）
A．B．C．D．
【题型】三、解直角三角形在实际中的应用
例3、如图，数学兴趣小组成员想测量斜坡旁一棵树的高度，他们先在点C处测得树顶A的仰角为，然后在坡顶D测得树顶A的仰角为，已知斜坡的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比），斜坡，求树的高度．（结果精确到，参考数据：）
【题型】四、利用勾股定理证明线段的平方关系
例4、对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________．
【题型】五、求梯子滑落高度
例5、如图所示，一架梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，此时梯子下端B与墙角C的距离为1.5米，当梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米．则梯子顶端A沿墙下移了______米．
【题型】六、求旗杆高度
例6、如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，此时绳子末端距离地面，则绳子的长度为____．
【题型】七、求蚂蚁爬行距离
例7、如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是（ ）
A．13米B．12米C．5米D．米
【题型】八、求大树折断前的高度
例8、“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)( )
A．3B．5C．D．4
【题型】九、求台阶上的地毯长度
例9、一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为、、，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程为（ ）
A．B．C．D．
【题型】十、利用勾股定理选址使到两地距离相等
例10、如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，，于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（ ）．
A．B．C．D．
勾股定理（达标训练）
一、单选题
1．如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC、BC于点E、O、F，若，则EF的长为（ ）
A．8B．15C．16D．24
2．已知的三条边分别是、、，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，在等边中，，垂足为且，则的长为（ ）
A．1B．C．2D．
4．如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A．10B．13C．15D．26
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AC=2，BC=4，则DF的长为（ ）
A．0.5B．1C．1.5D．2
二、填空题
6．在中，，于点，且，在上取点，使，连接，则 ______ ．
7．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，M是AD的中点．若BC=8，OB=5，则OM的长为_______．
三、解答题
8．已知：△ABC的边长，，，且．
(1)判断三角形的形状，并说明理由；
(2)若，求的三边长．
勾股定理（提升测评）
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为，，，则顶点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=8，E是BC中点，BF⊥AE于点M，交AD于点F，则AM长为（ ）
A．2B．C．D．
3．如图，平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，，且，若平行四边形ABCD的面积为48，则AB的长为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，中，，，，绕点逆时针旋转到处，此时线段与的交点为的中点，则线段的长度为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．如图，在△ABC中，，平分，过作，垂足为，若，，，则=______．
6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=1，点D为边AB上一个动点，将△CDB沿CD翻折，得到（其中C，D，，A在同一平面内），，则________．
三、解答题
7．在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，对角线AC平分∠BAD．
(1)推理证明：如图1，若∠DAB＝120°，且∠D＝90°，求证：AD＋AB＝AC；
(2)问题探究：如图2，若∠DAB＝120°，试探究AD、AB、AC之间的数量关系，并说明理由；
(3)迁移应用：如图3，若∠DAB＝90°，AD＝2，AB＝4，求线段AC的长度．
直
角
三
角
形
与
勾
股
定
理
直角三角形性质
①直角三角形的两锐角互余;
②直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半;
③直角三角形中,斜边上的 中线长等于斜边长的一半.
勾股定理概念
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么
变式：
1）a²=c²- b²
2）b²=c²- a²
适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
勾股定理的证明
方法一：，，化简可证．
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为
所以
方法三：，，化简得证
勾股数
勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
常见的勾股数：如；；；等
扩展：用含字母的代数式表示组勾股数：
1）（为正整数）；
2）（为正整数）
3）（，为正整数）
注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。