【中考一轮复习】2023年中考数学总复习学案——专题17 三角形基础（原卷版＋解析版）

这是一份【中考一轮复习】2023年中考数学总复习学案——专题17 三角形基础（原卷版＋解析版），文件包含专题17三角形基础归纳与讲解解析版docx、专题17三角形基础归纳与讲解原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共40页， 欢迎下载使用。
技巧1：三角形三边关系的巧用
技巧2：三角形的三种重要线段
技巧3：三角形内角和与外角的几种常见应用类型
【题型】一、三角形的分类
【题型】二、构成三角形三边的条件
【题型】三、确定三角形第三边的取值范围
【题型】四、与三角形高有关的相关计算问题
【题型】五、与三角形重心有关的计算
【题型】六、与三角形内角和定理的有关的计算
【题型】七、利用直角三角形两个锐角互余进行相关计算
【题型】八、利用三角形外角性质进行相关计算
【考纲要求】
1、了解三角形和全等三角形有关的概念，掌握三角形的三边关系．
2、理解三角形内角和定理及推论．
3、理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质．
【考点总结】一、三角形的概念
【考点总结】二、三角形中的重要线段和有关的角
【技巧归纳】
技巧1：三角形三边关系的巧用
【类型】一、判断三条线段能否组成三角形
1．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，不能摆成三角形的一组是( )
A．4，4，8 B．5，5，1 C．3，7，9 D．2，5，4
2．有四条线段，长度分别为4 cm，8 cm，10 cm，12 cm，选其中三条组成三角形，试问可以组成多少个三角形？分别写出来．
【类型】二、求三角形第三边的长或取值范围
3．一个三角形的两边长分别为5 cm和3 cm，第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是( )
A．2 cm或4 cm B．4 cm或6 cm C．4 cm D．2 cm或6 cm
4．如果三角形的两边长分别为3和5，则周长l的取值范围是( )
A．6＜l＜15 B．6＜l＜16 C．11＜l＜13 D．10＜l＜16
5．若三角形的三边长是三个连续的自然数，其周长m满足10＜m＜22，则这样的三角形有________个．
【类型】三、三角形的三边关系在等腰三角形中的应用
6．等腰三角形的一条边长为6，另一条边长为13，则它的周长为( )
A．25 B．25或32 C．32 D．19
7．已知等腰三角形ABC的底边BC＝8 cm，|AC－BC|＝2 cm，则AC＝________．
8．若等腰三角形的底边长为4，且周长小于20，则它的腰长b的取值范围是____________．
【类型】四、三角形的三边关系在代数中的应用
9．已知三角形三边长分别为a，b，c，且|a＋b－c|＋|a－b－c|＝10，求b的值．
10．已知a，b，c是△ABC的三边长，b，c满足(b－2)2＋|c－3|＝0，且a为方程|x－4|＝2的解，求△ABC的周长．
【类型】五、利用三角形的三边关系说明边的不等关系
11．如图，已知D，E为△ABC内两点，说明：AB＋AC＞BD＋DE＋CE.
参考答案
1．A 点拨：4＋4＝8，不能摆成三角形．
2．解：可以组成3个三角形，分别为：
(1)8 cm，10 cm，12 cm；(2)4 cm，10 cm，12 cm；(3)4 cm，8 cm，10 cm.
3．B 点拨：设三角形第三边的长为x cm，则5－3＜x＜5＋3，即2＜x＜8.又在2到8之间的整数有3，4，5，6，7，而三角形的周长x＋3＋5＝x＋8应为偶数，所以x也是偶数，即x的值只能是4或6.所以三角形第三边的长是4 cm或6 cm.
4．D 点拨：设第三边的长为x，则2＜x＜8，所以周长l的取值范围是3＋5＋2＜l＜3＋5＋8，即10＜l＜16.
5．4 点拨：设三边长分别为a，a＋1，a＋2，则m＝3a＋3，所以10＜3a＋3＜22，解得eq \f(7,3)＜a＜eq \f(19,3).所以a的值为3，4，5或6，经验证，都可以组成三角形，即这样的三角形有4个．
6．C
7．10 cm或6 cm 点拨：求出AC的长后要验证是否满足三角形的三边关系．
8．2＜b＜8 点拨：由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＋b＞4，,2b＋4＜20，))解得2＜b＜8.
9．解：根据三角形的三边关系，可知
a＋b>c，b＋c>a，
所以|a＋b－c|＋|a－b－c|＝a＋b－c＋b＋c－a＝2b＝10，
所以b＝5.
点拨：因为|x|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x（x≥0），,－x（x＜0），))所以涉及绝对值化简的题目，我们需考虑x的符号问题．本题中绝对值符号内的式子都是关于三角形三边的关系式，我们需先运用三角形的三边关系判断每一个式子的正负，再利用绝对值的意义求解．
10．解：因为(b－2)2≥0，|c－3|≥0，且(b－2)2＋|c－3|＝0，所以(b－2)2＝0，|c－3|＝0，解得b＝2，c＝3.
由a为方程|x－4|＝2的解，可知a－4＝2或a－4＝－2，即a＝6或a＝2.
当a＝6时，有2＋3＜6，不能组成三角形，故舍去；
当a＝2时，有2＋2＞3，符合三角形的三边关系．
所以a＝2，b＝2，c＝3.
所以△ABC的周长为2＋2＋3＝7.
11．解：如图，将DE向两边延长分别交AB，AC于点M，N，在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE；①
在△BDM中，MB＋MD＞BD；②
在△CEN中，CN＋NE＞CE；③
①＋②＋③，得AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE，所以AB＋AC＞BD＋DE＋CE.
技巧2：三角形的三种重要线段
【类型】一、三角形的高
题型1：找三角形的高
1．如图，已知AB⊥BD于点B，AC⊥CD于点C，AC与BD交于点E.△ADE的边DE上的高为________，边AE上的高为________．
题型2：作三角形的高
2．(动手操作题)画出图中△ABC的三条高．(要标明字母，不写画法)
题型3：应用三角形的高
3．如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，若BC边上的高AD＝4.
(1)求△ABC的面积及AC边上的高BE的长；
(2)求AD∶BE的值．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为点E，F，G.
试说明：DE＋DF＝BG.
【类型】二、三角形的中线
题型1：利用中线求长度
5．如图，AE是△ABC的中线，已知EC＝4，DE＝2，则BD的长为( )

A．2 B．3 C．4 D．6
6．如图，已知BE＝CE，ED为△EBC的中线，BD＝8，△AEC的周长为24，则△ABC的周长为( )
A．40 B．46 C．50 D．56
7．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15 cm和6 cm两部分，求这个等腰三角形的三边长．
题型2：利用中线求面积
8．图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG∶GD＝2∶1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是________．
9．操作与探索：
在图①～③中，△ABC的面积为a.
(1)如图①，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，连接DA，若△ACD的面积为S1，则S1＝________(用含a的代数式表示)；
(2)如图②，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD＝BC，AE＝CA，连接DE，若△DEC的面积为S2，则S2＝________(用含a的代数式表示)，请说明理由；
(3)如图③，在图②的基础上延长AB到点F，使BF＝AB，连接FD，FE，得到△DEF，若阴影部分的面积为S3，则S3＝________(用含a的代数式表示)．
【类型】三、三角形的角平分线
题型1：三角形角平分线定义的直接应用
10．(1)如图，在△ABC中，D，E，F是边BC上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，以AE为角平分线的三角形有__________；
(2)如图，若已知AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，计算∠3的度数，并说明AE是△DAF的角平分线．
题型2：三角形的角平分线与高线相结合求角的度数
11．如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝20°，∠C＝60°，求∠DAE的度数．
题型3：求三角形两内角平分线的交角度数
12．如图，在△ABC中，BE，CD分别为其角平分线且交于点O.
(1)当∠A＝60°时，求∠BOC的度数；
(2)当∠A＝100°时，求∠BOC的度数；
(3)当∠A＝α°时，求∠BOC的度数．
参考答案
1．AB；DC
2．解：如图．
3．解：(1)S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AD＝eq \f(1,2)×4×4＝8.
因为S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BE＝eq \f(1,2)×5×BE＝8，
所以BE＝eq \f(16,5).
(2)AD∶BE＝4∶eq \f(16,5)＝eq \f(5,4).
4．解：连接AD，因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，所以eq \f(1,2)AC·BG＝eq \f(1,2)AB·DE＋eq \f(1,2)AC·DF.
又因为AB＝AC，所以BG＝DE＋DF.
点拨：“等面积法”是数学中很重要的方法，而在涉及垂直的线段的关系时，常将线段的关系转化为面积的关系来解决．
5．A
6．A 点拨：因为△AEC的周长为24，所以AE＋CE＋AC＝24.又因为BE＝CE，所以AE＋BE＋AC＝AB＋AC＝24.又因为ED为△EBC的中线，所以BC＝2BD＝2×8＝16.所以△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝24＋16＝40.
7．解：设AD＝CD＝x cm，则AB＝2x cm，BC＝(21－4x)cm.
依题意，有AB＋AD＝15 cm或AB＋AD＝6 cm，则有2x＋x＝15或2x＋x＝6，
解得x＝5或x＝2.
当x＝5时，三边长为10 cm，10 cm，1 cm；
当x＝2时，三边长为4 cm，4 cm，13 cm，而4＋4＜13，故不成立．
所以这个等腰三角形的三边长为10 cm，10 cm，1 cm.
8．4 点拨：∵AG∶GD＝2∶1，∴AG∶AD＝2∶3，
∴S△ABG＝eq \f(2,3)S△ABD.
又∵S△ABD＝eq \f(1,2)S△ABC，
∴S△ABG＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)S△ABC＝eq \f(1,3)S△ABC，
∴S△BGF＝eq \f(1,2)S△ABG＝eq \f(1,6)S△ABC＝eq \f(1,6)×12＝2.
同理S△CGE＝2，∴图中阴影部分的面积为4.
9．解：(1)a
(2)2a
理由：连接AD，因为S△ABC＝S△ACD＝S△AED＝a，所以S△DEC＝2a.
(3)6a
10．解：(1)△ABC和△ADF
(2)因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝∠CAE.又因为∠1＝∠2＝15°，所以∠BAE＝∠1＋∠2＝15°＋15°＝30°.所以∠CAE＝∠BAE＝30°，即∠CAE＝∠4＋∠3＝30°.又因为∠4＝15°，所以∠3＝15°.所以∠2＝∠3＝15°.所以AE是△DAF的角平分线．
11．解：在△ABC中，∠B＝20°，∠C＝60°，所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－20°－60°＝100°.又因为AE是∠BAC的平分线，所以∠BAE＝eq \f(1,2)∠BAC＝eq \f(1,2)×100°＝50°.在△ABD中，∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°.又因为AD是高，所以∠BDA＝90°，所以∠BAD＝180°－∠B－∠BDA＝180°－20°－90°＝70°.所以∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝70°－50°＝20°.
点拨：灵活运用三角形内角和为180°，结合三角形的高及角平分线是求有关角的度数的常用方法．
12．解：(1)因为∠A＝60°，
所以∠ABC＋∠ACB＝120°.
因为BE，CD为△ABC的角平分线，
所以∠EBC＋∠DCB＝60°，
所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－60°＝120°.
(2)因为∠A＝100°，
所以∠ABC＋∠ACB＝80°.
因为BE，CD为△ABC的角平分线，
所以∠EBC＋∠DCB＝40°，所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－40°＝140°.
(3)因为∠A＝α°，
所以∠ABC＋∠ACB＝180°－α°.
因为BE，CD为△ABC的角平分线，
所以∠EBC＋∠DCB＝90°－eq \f(1,2)α°，
所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(90°－\f(1,2)α°))＝90°＋eq \f(1,2)α°.
点拨：第(1)问很容易解决，第(2)问是对前一问的一个变式，第(3)问就是类比前面解决问题的方法用含α的代数式表示．
技巧3：三角形内角和与外角的几种常见应用类型
【类型】一、直接计算角度
1．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，点D，E分别在BC，AC的延长线上，则∠1＝________．
2．在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C满足∠B－∠A＝∠C－∠B，则∠B＝________．
【类型】二、三角尺或直尺中求角度
3．把一个直尺与一块三角尺按如图所示的方式放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为( )

A．125° B．120° C．140° D．130°
4．一副三角尺ABC和DEF如图放置(其中∠A＝60°，∠F＝45°)，使点E落在AC边上，且ED∥BC，则∠CEF的度数为________．
5．一副三角尺如图所示摆放，以AC为一边，在△ABC外作∠CAF＝∠DCE，边AF交DC的延长线于点F，求∠F的度数．
【类型】三、与平行线的性质综合求角度
6．如图，AB∥CD，∠ABE＝60°，∠D＝50°，求∠E的度数．
【类型】四、与截角和折叠综合求角度
7．如图，在△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2等于( )
A．360° B．250° C．180° D．140°
8．△ABC是一个三角形的纸片，点D，E分别是△ABC边AB，AC上的两点．
(1)如图①，如果沿直线DE折叠，则∠BDA′与∠A的关系是____________；
(2)如果折成图②的形状，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A的关系，并说明理由；
(3)如果折成图③的形状，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A的关系，并说明理由．
参考答案
1．80° 2.60° 3.D 4.15°
5．解：因为∠BCA＝90°，∠DCE＝30°，
所以∠ACF＝180°－∠BCA－∠DCE＝180°－90°－30°＝60°.
因为∠CAF＝∠DCE＝30°，
所以∠F＝180°－∠CAF－∠ACF＝180°－30°－60°＝90°.
6．解：因为AB∥CD，
所以∠CFE＝∠ABE＝60°.
因为∠D＝50°，
所以∠E＝∠CFE－∠D＝60°－50°＝10°.
7．B
8．解：(1)∠BDA′＝2∠A
(2)∠BDA′＋∠CEA′＝2∠A，
理由：∵在四边形ADA′E中，
∠A＋∠A′＋∠ADA′＋∠A′EA＝360°，
∴∠A＋∠A′＝360°－∠ADA′－∠A′EA.
∵∠BDA′＋∠ADA′＝180°，∠CEA′＋∠A′EA＝180°，
∴∠BDA′＋∠CEA′＝360°－∠ADA′－∠A′EA，
∴∠BDA′＋∠CEA′＝∠A＋∠A′.
∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A＝∠A′，∴∠BDA′＋∠CEA′＝2∠A.
(3)∠BDA′－∠CEA′＝2∠A.
理由：设DA′交AC于点F，
∵∠BDA′＝∠A＋∠DFA，∠DFA＝∠A′＋∠CEA′，
∴∠BDA′＝∠A＋∠A′＋∠CEA′，
∴∠BDA′－∠CEA′＝∠A＋∠A′.
∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A＝∠A′，
∴∠BDA′－∠CEA′＝2∠A.
【题型讲解】
【题型】一、三角形的分类
例1、已知△ABC中，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
【答案】B
【分析】
根据三个内角的比，利用三角形内角和定理可求出最大的角的度数，即可得答案．
【详解】
∵∠A：∠B：∠C=3：4：7，
∴△ABC中最大的角为∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°×=90°，
∴△ABC一定是直角三角形，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和为180°是解题的关键．
【题型】二、构成三角形三边的条件
例2、三角形的两边长分别为和，则第三边长可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【提示】根据三角形的三边关系判断即可.
【详解】6-3=3＜第三边长＜6+3=9,只有6cm满足题意,故选C.
【题型】三、确定三角形第三边的取值范围
例3、如图，的对角线，交于点，若，，则的长可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【提示】先根据平行四边形的对角线互相平分得到OA、OB的长度，再根据三角形三边关系得到AB的取值范围，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=AC=3，BO=BD=4，
在△AOB中，
4-3