中考数学一轮复习课时练习第23课时 矩形、菱形、正方形 (含答案)

这是一份中考数学一轮复习课时练习第23课时 矩形、菱形、正方形 (含答案)，共31页。

第五单元 四边形
第23课时　 矩形、菱形、正方形
练习1　矩　形
35分钟
1. (株洲)对于任意的矩形，下列说法一定正确的是(　　)
A. 对角线垂直且相等
B. 四边都互相垂直
C. 四个角都相等
D. 是轴对称图形，但不是中心对称图形
2. (眉山)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是(　　)
A. 1　 　　B. 　 　　C. 2　 　　D.

第2题图
3. 如图，四边形ABCD和四边形BEFD都是矩形，且点C恰好在EF上．若AB＝1，AD＝2，则S△BCE为(　　)
A. 1 B. C. D.
　
第3题图
4. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边CD上．若AM平分∠DMB，则DM的长为(　　)
A. 　　B. 　　C. －　　D. 2－

第4题图
5. 如图，四边形ABCD为矩形，点O为对角线的交点，∠BOC＝120°，AE⊥BO交BO于点E，AB＝4，则BE的长等于(　　)
A. 4　　　　B. 3　　　　C. 2　　　　D. 1
　
第5题图
6. (陕西黑马卷)如图，在矩形ABCD中，点M是BC边上一点，连接AM，DM.过点D作DE⊥AM，垂足为点E.若AM＝AD，AE＝2EM，AB＝5，则BM的长为(　　)
A. B. C. D. 2

第6题图
7. (西安交大附中模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝7，E、F、M分别为AB、BC、CD边上的点，连接EF、FM、ME，且AE＝3，DM＝2.若∠EFM＝90°，BF＞FC，则BF＝(　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
　　　
第7题图
8. (龙东地区)如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB∶BC＝3∶2，过点B作BE∥AC，过点C作CE∥DB，BE、CE交于点E，连接DE，则tan∠EDC＝(　　)
A. B. C. D.

第8题图
9. (遵义)如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于点E、F，连接PB、PD.若AE＝2，PF＝8，则图中阴影部分的面积为(　　)
A. 10 B. 12 C. 16 D. 18
　　
第9题图
10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为(　　)
A. B. 2 C. D. 1

第10题图
11. (徐州)如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点，若MN＝4，则AC的长为________．
　　
第11题图
12. (全国视野创新题推荐·2019百色)四边形具有不稳定性．如图，矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形A′B′C′D′，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则∠A′＝________°.

第12题图
13. 如图，在矩形ABCD中，F是BC边上一点，AF的延长线交DC的延长线于点G，DE⊥AG，垂足为点E，且DE＝DC.
求证：BF＝AE.

第13题图


14. (宁夏)如图，已知矩形ABCD中，点E，F分别是AD，AB上的点，EF⊥EC，且AE＝CD.
(1)求证：AF＝DE；
(2)若DE＝AD，求tan∠AFE.

第14题图









20分钟
1. (临沂)如图，在▱ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA.添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是(　　)

第1题图
A. OM＝AC
B. MB＝MO
C. BD⊥AC
D. ∠AMB＝∠CND
2. (泰安)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是(　　)
A. 2 B. 4 C. D. 2

第2题图
3． 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上．若四边形EFGH为平行四边形，且EF∥AC，则▱EFGH的周长为____________．
　　
第3题图
4. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD中点，P为AB边上一动点(含端点)，F为CP的中点，则△CEF周长的最小值为________．

第4题图
4． (龙东地区)如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝S△PCD，则PC＋PD的最小值为________．
　
第5题图
6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC、DE相交于点O.
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)若∠AOE＝60°，AE＝2，求矩形ADCE对角线的长．

第6题图



练习2　菱　形
45分钟
1. (大庆)下列说法中不正确的是(　　)
A. 四边相等的四边形是菱形
B. 对角线垂直的平行四边形是菱形
C. 菱形的对角线互相垂直且相等
D. 菱形的邻边相等
2. (宁夏)如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是(　　)
A. AC⊥BD　　　　　　B. AB＝AD
C. AC＝BD D. ∠ABD＝∠CBD

第2题图
3. (河北)如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝(　　)
A. 30°　　　B. 25°　　　C. 20°　　　D. 15°
　
第3题图
4. (呼和浩特)已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为(　　)
A. 2 B. 2 C. 4 D. 2
5. (娄底)顺次连接菱形四边中点得到的四边形是(　　)
A. 平行四边形 B. 菱形
C. 矩形 D. 正方形
6. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，点E是线段BC边上的一个点，点F、G分别是AE、CE的中点，则FG＝(　　)
A. B. 3 C. 2 D. 2

第6题图
7. (永州)如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为(　　)
A. 40 B. 24 C. 20 D. 15
　
第7题图
8. 如图，菱形ABCD的边长为6，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E、F.若AE＝5，则四边形AECF的周长为(　　)
A. 16 B. 17 C. 32 D. 34

第8题图
9. (陕西定心卷)如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AE⊥BC于点E，交对角线BD于点F.若AE＝4，则DF的长为(　　)
A. B. C. D.
　
第9题图
10. (陕西黑白卷)如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD，垂足为点E，连接BD，过点E作EF⊥BD，分别交CD、BD于点F、G.若BC＝10，BE＝8，则EF的长为(　　)
A. B. C. D.

第10题图
11. 如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是(　　)
A. B. 2 C. 3 D.
　
第11题图
12. (十堰)如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为________．

第12题图
13.(广西北部湾经济区)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝________．
　
第13题图
14. (衢州)已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，连接AE，AF.
求证：AE＝AF.

第14题图







15. (岳阳)如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF.
求证：∠1＝∠2.

第15题图







16. (青海)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF.
(1)求证：△AEF≌△DEB；
(2)证明四边形ADCF是菱形．

第16题图











15分钟
1. (全国视野创新题推荐·2019江西)如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有(　　)
A. 3种 　 　B. 4种 　 　C. 5种 　 　D. 6种

第1题图
2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是(　　)
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6

第2题图
3. 如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN.若四边形MBND是菱形，则等于(　　)
A. B. C. D.
　
第3题图
4. 如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，且EH∥BD，BE＝2AE.若四边形EFGH是矩形，则EF的长为(　　)
A. 1 B. C. D. 2

第4题图
5． 如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值为________．
　
第5题图

2分钟
1. (绵阳)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为(　　)

第1题图
A. (2，)
B. (，2)
C. (，3)
D. (3，)

练习3　正方形
6分钟
1. (遵义)我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．已知四边形ABCD的中点四边形是正方形，对角线AC与BD的关系，下列说法正确的是(　　)
A. AC，BD相等且互相平分
B. AC，BD垂直且互相平分
C. AC，BD相等且互相垂直
D. AC，BD垂直且平分对角
2. (毕节)如图，点E在正方形ABCD边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为(　　)
A. B. 3 C. D. 5

第2题图
3. (扬州)如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN.若AB＝7，BE＝5，则MN＝________．
　　
第3题图



15分钟
1. (人教八下P67第1(3)题改编)如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为(　　)
A. 45° B. 55°
C. 60° D. 75°

第1题图
2. 把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置．则图中阴影部分的面积为(　　)
A. B. C. D.
　
第2题图
3. (陕师大附中模拟)如图，在边长为2的正方形ABCD中，以对角线AC为一边作菱形AEFC，连接AF交BC于点G，则BG的长为(　　)
A. 2－2 B. 2－1
C. D. 1

第3题图
4. (菏泽)如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是________．
　
第4题图
5. (黄冈)如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G.
求证：BF－DG＝FG.

第5题图


6. (凉山州)如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB.过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F.
求证：OE＝OF.

第6题图




























参考答案
第23课时　矩形、菱形、正方形
练习1　矩　形
点对点·课时内考点巩固
1. C　【解析】矩形的性质有：邻边垂直；四个内角都是直角；是轴对称图形，也是中心对称图形；对角线互相平分且相等．故选C.
2. B　【解析】如解图，连接EC，∵OA＝OC，且EF⊥AC，∴EC＝AE，设DE＝x，则EC＝AE＝8－x，根据勾股定理可得(8－x)2＝x2＋62，解得x＝.

第2题解图
3. D　【解析】由题意得△BCD的面积占矩形BDFE的一半，S△BCD＝1，∴S△BCE＋S△CDF＝1，又∵CD∶BC＝AB∶AD＝1∶2，∴S△BCE∶S△CDF＝4∶1，故可得S△BCE＝.
4. D　【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，AB∥CD，BC＝AD＝1，∠C＝90°，∴∠BAM＝∠AMD，∵AM平分∠DMB，∴∠AMD＝∠AMB，∴∠BAM＝∠AMB，∴BM＝AB＝2，∴CM＝＝， ∴DM＝CD－CM＝2－.
5. C　【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OB＝AB＝4，∵AE⊥BO，∴BE＝OB＝2.
6. D　【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，AD∥BC，AB＝DC＝5，∴∠ADM＝∠DMC，∵AD＝AM，∴∠ADM＝∠AMD，∴∠AMD＝∠DMC，∵DE⊥AM，∴∠DEM＝∠C＝90°，∴△DEM≌△DCM(AAS)，∴DE＝DC＝5，EM＝CM，∵AE＝2EM，∴AE＝AM＝AD，∴＝，设AE＝2x，则AD＝3x，在Rt△AED中，由勾股定理得(2x)2＋52＝(3x)2，解得x＝，∴AE＝2，∵AM＝AD＝BC，EM＝CM，∴BM＝AE＝2.
7. B　【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝6，∵AE＝3，DM＝2，∴BE＝3，CM＝4，∵EF⊥FM，∴∠BEF＋∠BFE＝∠BFE＋∠MFC＝90°，∴∠BEF＝∠CFM，∴△BEF∽△CFM，∴＝，即＝， 解得BF＝4或BF＝3(舍去)，∴BF＝4.
8. A　【解析】如解图，连接EO，延长交AD于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OC，又∵BE∥OC，CE∥OB，∴四边形OCEB是菱形，∴BC⊥EF，∵BC⊥DC，∴EF∥CD，∠EDC＝∠FED，在△EFD中，tan∠FED＝＝＝，∴tan∠EDC＝.

第8题解图
9. C　【解析】如解图，过点P 作PM⊥AD于点M，反向延长线交BC于点N，∵DF＝AE＝2，PF＝8，∴S矩形MPFD＝DF·PF＝2×8＝16，S△PDF＝8，∵＝＝，S△BEP＝S△BNP，＝，S△PNC＝S△PFC，∴＝＝，∴四边形AEPM与四边形PNCF相似，∴＝，即＝，∴＝，∴S△BEP＝S△PDF，∴S△BEP＝8，∴S阴影＝16.

第9题解图
10. A　【解析】由题易得AC＝BD＝＝5，设AP＝x，则PD＝4－x.∵∠EAP＝∠DAC，∠AEP＝∠ADC，∴△AEP∽△ADC，∴＝，故＝①.同理可得△DFP∽△DAB，∴＝，故＝②.①＋②得＝，∴PE＋PF＝.
11. 16　【解析】在△OBC中，根据三角形中位线等于它所对的边的一半得到OB＝2MN＝8，又根据矩形的性质：对角线相等且互相平分得到AC＝BD＝2OB＝16.
12. 30　【解析】如解图，过点B′作B′E垂直于A′D′于点E.设矩形ABCD的边AD长为a，AB长为b，B′E长为c，则S矩形ABCD＝ab，S▱A′B′C′D′＝ac.∵S▱A′B′C′D′＝S矩形ABCD，∴ac＝ab，∴c＝b，∴sinA′＝＝，∴∠A′＝30°.

第12题解图


13. 证明：在矩形ABCD中，AB＝CD，BC∥AD，∠B＝90°，DE＝CD,
∴AB＝DE，∠BFA＝∠EAD.
∵DE⊥AG，
∴∠AED＝90°.
∴∠AED＝∠B.
在△ABF与△DEA中，
，
∴△ABF≌△DEA(AAS)．
∴BF＝AE.
14. (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°.
∵EF⊥CE，
∴∠FEC＝90°.
∴∠AFE＋∠AEF＝∠AEF＋∠DEC＝90°.
∴∠AFE＝∠DEC，
在△AEF与△DCE中，
，
∴△AEF≌△DCE(AAS)．
∴AF＝DE；
(2)解：∵DE＝AD，
∴AE＝DE.
∵AF＝DE，
∴tan∠AFE＝＝＝.
点对线·板块内考点衔接
1. A　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC，∵BM＝DN，∴OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形．当OM＝AC时，MN＝AC，∴四边形AMCN是矩形，故选A.
2. D　【解析】如解图，取DE的中点M，CD的中点N，连接MN，则点P一定在△CDE的中位线MN上，∴当BP⊥MN时，即点P与CD的中点N重合时，PB最小，此时点F与点C重合．∵AB＝CD＝4，P为CD的中点，∴PC＝2.∵BC＝AD＝2，∠BCD＝90°，∴PB＝2.

第2题解图
3. 20　【解析】如解图，连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC，∠ABC＝90°，∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，∵四边形EFGH为平行四边形，且EF∥AC，∴EF∥AC∥GH，EF＝HG，∴△BEF∽△BAC，△DHG∽△DAC，∴ ＝①，＝，∴ ＝，∴EH∥BD，∴EH∥BD∥FG，∴ ＝，∴ ＝②，∴①＋②得＝，∵BE＋AE＝AB，∴EF＋EH＝AC＝10，∴▱EFGH的周长为20.

第3题解图
4. ＋1　【解析】如解图，连接PD，∵E为CD中点，F为CP中点，∴EF＝PD，∴C△CEF＝CE＋CF＋EF＝CE＋(CP＋PD)＝ (CD＋PC＋PD)＝C△CDP，∴当△CDP的周长最小时，△CEF的周长最小；即PC＋PD的值最小时，△CEF的周长最小．作点D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点P，∵AD＝AD′＝BC，AD′∥BC，∴四边形AD′BC是平行四边形，∴AP＝PB＝1，PD′＝PC，∴CP＝PD＝，∴C△CEF＝C△CDP＝＋1.

第4题解图
5. 4　【解析】∵S△PAB＝S△PCD，AB＝CD，∴点P在直线AD的三等分的直线上，又∵AB＝4，BC＝6，此题可以转化为在正方形A′B′CD中求PC＋PD的最小值．如解图，点F是点D关于点A′的对称点，∴PF＝PD，当PF和PC在一条直线上时，PC＋PD的值最小，FC＝＝4，故PC＋PD的最小值是4.

第5题解图
6. (1)证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD＝AE，BD∥AE.
∵D为BC的中点，
∴CD＝BD，
∴CD＝AE.
∴四边形AECD是平行四边形．
又∵AB＝AC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形；
(2)解：∵四边形ADCE是矩形，
∴AO＝EO.
∵∠AOE＝60°，
∴△AOE为等边三角形．
∴AO＝AE＝2.
∴AC＝2OA＝4.
故矩形ADCE对角线的长为4.
练习2　菱　形
点对点·课时内考点巩固
1. C　【解析】A.四边相等的四边形是菱形，这是菱形的一个判定定理，此选项正确；B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，这是菱形的一个判定定理，此选项正确；C.菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，此选项错误；D.菱形的四边都相等，邻边也一定相等，此选项正确．故选C.
2. C　【解析】∵四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，当AB＝AD或AC⊥BD时，均可判定四边形ABCD是菱形；当AC＝BD时，可判定四边形ABCD是矩形，当∠ABD＝∠CBD时，由AD∥BC得：∠CBD＝∠ADB，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．
3. D　【解析】根据菱形的性质可知∠DAB＝180°－∠D＝30°，∴∠1＝∠DAB＝15°.
4. C　【解析】∵菱形的对角线相互垂直且平分，∴另一条对角线长为2×＝4.
5. C　【解析】顺次连接任意四边形的四边中点，得到四边形一定是平行四边形，如果原四边形的对角线相等，则可得中点四边形的邻边相等，即是菱形；如果原四边形的对角线互相垂直，则可得中点四边形的邻边垂直，即是矩形．菱形的对角线互相垂直，所以它的中点四边形是矩形．
6. A　【解析】如解图，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝AB＝3，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝3，∵点F、G分别是AE、CE的中点，∴FG是△ACE的中位线，∴FG＝AC＝.

第6题解图
7. B　【解析】∵AB＝AD，OB＝OD，∴AO⊥BD，∠ADO＝∠ABO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∠ADO＝∠CDO，又∵OD⊥AC，∴AD＝CD.∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．∴AC＝2AO＝2＝6，∴S菱形ABCD＝AC×BD＝24.
8. D　【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝6，AD∥BC，∴AF∥CE，∵AE⊥AC，AC⊥CF，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴CF＝AE＝5，AF＝CE，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵AE⊥AC，∴∠EAC＝90°，∴∠BAC＋∠BAE＝90°，∠BCA＋∠E＝90°，∴∠BAE＝∠E，∴BE＝AB＝6，∴CE＝6＋6＝12，∴平行四边形AECF的周长为2(AE＋CE)＝2×(5＋12)＝34.
9. B　【解析】∵AE⊥BC，AB＝5，AE＝4，∴在Rt△ABE中，BE＝＝3.∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BE，∴∠DAF＝∠BEF＝90°，∵∠AFD＝∠EFB，∴△DAF∽△BEF，∴＝，即＝，解得AF＝，∴在Rt△DAF中，DF＝＝.
10. D　【解析】如解图，连接AC，交BD于点O，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝AD＝10，∵BE⊥AD，BE＝8，∴在Rt△ABE中，由勾股定理得，AE＝＝6.∴DE＝4.∴tan∠ADB＝＝＝2，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴tan∠ABD＝2，∴＝2，在Rt△ABO中，由勾股定理得：OB2＋(2OB)2＝102，解得OB＝2，∴AC＝2AO＝4OB＝8，∵EF⊥BD，AC⊥BD，∴EF∥AC，∴＝＝，∴EF＝AC＝.

第10题解图


11. A　【解析】∵菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∴△BCM∽△BGF，∴＝，即＝，解得CM＝，∴DM＝2－＝，∵∠A＝120°，∴∠ABC＝180°－120°＝60°，∴菱形ABCD边CD上的高为2sin60°＝2×＝，菱形ECGF边CE上的高为3sin60°＝3×＝，∴S阴影＝S△BDM＋S△DFM＝××＋××＝.
12. 24　【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，∵点E是BC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AB＝2OE＝2×3＝6，∴菱形ABCD的周长为4×6＝24.
13. 　【解析】∵S菱形ABCD＝AC·BD＝×AC×8＝24，∴AC＝6，∴OC＝AC＝3，∴BC＝＝5.∵BC·AH＝24，∴AH＝.
14. 证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D.
∵BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF(SAS)．
∴AE＝AF.
15. 证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD.
∵DF＝DE，∠D＝∠D，
∴△ADF≌△CDE(SAS)．
∴∠1＝∠2.
16. 证明：(1)∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE.
∵AF∥BC，
∴∠EAF＝∠EDB，∠AFE＝∠DBE.
在△AEF和△DEB中，

∴△AEF≌△DEB(AAS)；
(2)∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点，
∴AD＝BD＝DC.
由(1)知，△AEF≌△DEB.
∴AF＝DB.
∴AF＝DC.
又∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AD＝DC，
∴平行四边形ADCF是菱形．
点对线·板块内考点衔接
1. D　【解析】根据题目所给图形可知，原图中已经有2个菱形了，再添2根小棒只要使拼接后的图形再增加一个菱形即可．符合条件的拼接方法有6种，如解图所示．

第1题解图
2. C　【解析】如解图，连接EF，交AC于点O，∵四边形EGFH是菱形，∴EF与GH互相垂直平分．又∵CF∥AE，∴△AOE≌△COF，∴AO＝CO.在Rt△ABC中，AC＝＝＝4，∴AO＝AC＝2.∵∠OAE＝∠BAC，∠AOE＝∠ABC＝90°.∴Rt△AOE∽Rt△ABC，∴＝，即＝，解得AE＝5.

第2题解图
3. C　【解析】∵四边形MBND是菱形，∴MD＝MB.∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°.设AB＝x，AM＝y，(x、y均为正数)则MB＝2x－y.在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2，即x2＋y2＝(2x－y)2, 解得x＝y，∴MD＝MB＝2x－y＝y, ∴＝＝.
4. C　【解析】如解图，设EF交BD于点I，AC交BD于点J，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∵EH∥BD，四边形EFGH是矩形，∴EF∥AC，则EI∥AJ.∴△BEI∽△BAJ.∵2AE＝BE，∴＝＝＝.∵AJ＝AC＝4，∴＝＝，解得EI＝. 易得EI＝FI，∴EF＝2EI＝2×＝.

第4题解图
5. 　【解析】如解图，连接DE、BD，DE与AC的交点即为点P.由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD＝PB，∴PE＋PB＝PE＋PD＝DE，即DE就是PE＋PB的最小值，∵∠BAD＝60°，AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∵AE＝BE，∴DE⊥AB，在Rt△ADE中，DE＝＝.

第5题解图


点对面·跨板块考点迁移
1. D　【解析】如解图，过点E作EF⊥x轴于点F，∵四边形OABC为菱形，∠AOC＝60°，∴∠AOE＝∠AOC＝30°，△AOC为等边三角形，AC⊥OB，∴∠FAE＝60°，∵A(4，0)，∴OA＝4，∴AE＝AO＝×4＝2，∴AF＝AE＝1，∴EF＝＝＝，∴OF＝AO－AF＝4－1＝3，∴E(3，)．

第1题解图


练习3　正方形
点对点·课时内考点巩固
1. C　【解析】根据题意可得中点四边形一定是平行四边形，若AC与BD相等则中点四边形是菱形，若AC与BD互相垂直，则中点四边形是矩形，∴当AC与BD相等且互相垂直时，中点四边形是正方形．
2. B　【解析】∵EC＝2，EB＝1，∠B＝90°，利用勾股定理可得BC＝，则正方形ABCD的面积为()2＝3.
3. 　【解析】 如解图，连接FC，则MN＝CF，在Rt△CFG中，FG＝5，CG＝5＋7＝12，∴CF＝＝13，∴MN＝.

第3题解图


点对线·板块内考点衔接
1. C　【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，又∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°＋60°＝150°，∴∠ABE＝(180°－150°)÷2＝15°，又∵∠BAC＝45°，∴∠BFC＝45°＋15°＝60°.
2. A　【解析】如解图，设BC＝x，则CE＝1－x，易证△ABC∽△FEC，∴＝＝＝，解得x＝， ∴阴影部分面积为：S△ABC＝××1＝.

第2题解图
3. A　【解析】如解图，连接EG.∵正方形ABCD的边长为2，∴对角线AC＝2，∠ACG＝45°，∵四边形AEFC为菱形，∴AE＝AC＝2，AF平分∠CAE，∴△ACG≌△AEG(SAS)，∴∠BEG＝∠ACG＝45°，∴△BEG是等腰直角三角形，∴BG＝BE＝AE－AB＝2－2.

第3题解图
4. 8　【解析】如解图，连接BD，∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴CD＝AD，∠DAE＝∠DCF＝45°，BD⊥AC. ∵AE＝CF, ∴△DAE≌△DCF(SAS), ∴DE＝DF，同理可证：DE＝BE，BE＝BF，∴四边形BEDF是菱形，∵AC＝8，AO＝OD，AE＝2，∴OE＝2，OD＝4，∴DE＝＝＝2.∴四边形BEDF的周长为4DE＝8.

第4题解图
5. 证明：∵BF⊥AE，DG⊥AE，
∴∠DGA＝AFB＝90°，∠ABF＋∠FAB＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FAB＋∠DAG＝90°.AB＝AD.
∴∠DAG＝∠ABF，∠DGA＝∠AFB.
在△DAG和△ABF中，
，
∴△DAG≌△ABF(AAS)．
∴AF＝DG, BF＝AG.
∴FG＝AG－AF＝BF－DG.
∴BF－DG＝FG.
6. 证明：在正方形ABCD中，∵AC⊥BD，AM⊥BE，
∴∠AOF＝∠BOE＝∠AME＝90°.
∴∠FAO＋∠AEB＝∠EBO＋∠AEB＝90°.
∴∠FAO＝∠EBO.
∵AC＝BD，OA＝AC，OB＝BD，
∴OA＝OB.
∴△AOF≌△BOE(ASA)．
∴OE＝OF.