八年级下册17.1 勾股定理优秀课后作业题

17.1 勾股定理

一、勾股定理

1、描述：斜边的平方等于两直角边的平方和；

2、表示方法：如果直角三角形两条边长分别为、，斜边为，那么.

注：①勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一；

②勾股定理只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。

二、勾股定理的证明

证明方法有很多，常用的是拼图的方法。用拼图方法验证勾股定理的思路：

①图形经过割补拼接后，没有重叠，没有空隙，面积不改变；

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

三、勾股定理的应用

1、已知直角三角形的任意两边求第三边

2、己知直角三角形的任意一边确定另外两边的关系

3、证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题

4、求解几何体表面上的最短路径问题

5、构造方程（或方程组）计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题

注：在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，明确直角三角形中斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理计算；必要时应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理求解。

题型一 用勾股定理求三角形边长

【例1】若一个直角三角形的一条直角边和斜边长分别为6，10，则第三边长为________．

【变式1-1】在中，，，，分别为，，的对边，若，，则的长为（    ）

A． B． C． D．

【变式1-2】已知三角形三边为a、b、c，其中a、b两边满足．如果这个三角形是直角三角形，那么这个三角形的第三边c的值是_____．

【变式1-3】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，若是的高，则的长为（    ）．

A． B． C． D．

【变式1-4】如图，，点在上，于点，于点，若，，则的长为（　　）

A． B． C． D．

题型二 勾股定理与点坐标问题

【例2】在平面直角坐标系中，已知点，点，则线段的长度为（    ）．

A．5 B．4 C．3 D．2

【变式2-1】在平面直角坐标系中，点，，当线段最短时，的值是______．

【变式2-2】已知点P(),则P到原点O的距离PO等于（   ）

A.1  B.3  C.5  D.5

【变式2-3】在平面直角坐标系中，，点P是x轴正半轴上一点，且，则点P的坐标是________．

【变式2-4】若，另一点在轴上，到轴的距离等于到原点的距离，则点坐标为_____．

题型三 勾股定理的证明方法

【例3】如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的一条直角边长为，大正方形的边长为，则中间小正方形的面积是（    ）

A． B． C． D．

【变式3-1】美国数学家伽菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法，如图，在直角梯形中，，，是边上一点，且，．如果的面积为1，且，那么的面积为（    ）

A．1 B．2 C． D．5

【变式3-2】到目前为止，勾股定理的证明已超过 种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知，点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接，，若，，则四边形的面积为_____．

【变式3-3】在学习勾股定理时，我们学会运用图(I)验证它的正确性：图中大正方形的面积可表示为：，也可表示为：，即由此推出勾股定理，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．

(1)请你用图(Ⅱ)(2002年国际数字家大会会标)的面积表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形全等)；

(2)请你用(Ⅲ)提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证

【变式3-4】（1）如图，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图3．由图1、图3你能得到的公式是_________；

（2）爱思考的小聪看到三边为，，的直角三角形（如图4），四个这样全等的直角三角形与中间小正方形组成大正方形，他想利用大正方形的两种不同的面积表示方法得到等式．请你代替小聪来表示这个大正方形的面积：

方法一：_______________；（用，，来表示）

方法二：_______________（用，，来表示）

（3）你能得出一个关于，，的等式：________；并写出这个等式的推导过程．

题型四 用勾股定理求图形面积

【例4】如图，在中，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是______．

【变式4-1】如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积和为（    ）

A．150 B．200 C．225 D．无法计算

【变式4-2】如图，所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形.若正方形B，C，D的面积依次为4，3，9，则正方形A的面积为（    ）.

A．2 B．5 C．1 D．6

【变式4-3】如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为___________．

【变式4-4】如图，在中，，分别以、、为直径向外作半圆，它们的面积分别记作、、，其中，， __________（用含的代数式表示）

题型五 用勾股定理求解折叠图形问题

【例5】如图所示，长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，则长为（    ）

A． B． C． D．

【变式5-1】如图所示，是一张纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【变式5-2】如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点E与点A重合，折痕为DC，则______．

【变式5-3】如图，在长方形中，E为上一点，将沿翻折，点D恰好落在边上的点F处．若，则的长为____________．

【变式5-4】如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为_______

题型六 用勾股定理求线段的平方和/差

【例6】在中，，，则（    ）．

A．100 B．200 C．300 D．400

【变式6-1】在中，斜边，则______．

【变式6-2】如图，在四边形中，对角线分别为，，且于点，若，，则 _______．

【变式6-3】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则________．

【变式6-4】如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于_____．

题型七 勾股定理与无理数表示

【例7】如图，根据作图的痕迹可知，点C表示的实数为（　　）

A． B． C． D．

【变式7-1】如图所示，点B所表示的数是___________．

【变式7-2】请在数轴上用尺规作出所对应的点．（要求保留作图痕迹）

【变式7-3】如图，四边形是正方形，且边在数轴上，，以点4为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点E，则点E对应的实数是______．

【变式7-4】如图，的直角边OA的长为2，直角边的长为1，在x轴上，在上截取，以原点O为圆心，长为半径画弧，交x轴的正半轴于点P，则中点的横坐标是（   ）

A． B． C． D．

题型八 勾股定理的实际应用

【例8】为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为米的市民正对门缓慢走到离门米的地方时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离等于（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米

【变式8-1】如图，小华将升旗的绳子拉倒竖直旗杆的底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，此时绳子末端距离地面，则绳子的总长度为______．

【变式8-2】如图，有一个圆柱，底面圆的周长为16πcm，高cm，P为的中点，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为（　　）

A．cm B．cm C．cm D．cm

【变式8-3】如图所示，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（　　），却踩坏了花草．

A．1米 B．2米 C．3米 D．4米

【变式8-4】如图，校园内的一块草坪是长方形，已知，，从A点到C点，同学们为了抄近路，常沿线段走，那么同学们少走了______m．