第十八章：平行四边形重点题型复习-【题型分类归纳】2022-2023学年八年级数学下册同步讲与练（人教版）

第十八章：平行四边形重点题型复习

题型一 平行四边形性质的理解与应用

【例1】如图，平行四边形的对角线，相交于点O，若，，则的长可能是（　　）

A．7 B．6 C．5 D．4

【变式1-1】平行四边形的一个内角为，它的对角度数是（　　）

A． B． C． D．或

【变式1-2】如图，在中，为边延长线上一点，连结、．若△ADE的面积为2，则的面积为（　　）．

A．5 B．4 C．3 D．2

【变式1-3】四边形是平行四边形，点B为的中点，延长至点C，使，连接，则在中， ___________．

【变式1-4】如图，已知平行四边形，是的角平分线，交于点E

（1）求证：；

（2）若点E是的中点，，求的度数

题型二 平行四边形判定定理的理解与应用

【例2】能判定四边形是平行四边形的是（　　）

A． ∥，  B．，

C． ，  D． ，

【变式2-1】下列说法不正确的是（    ）

A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．平行四边形的对角相等，邻角互补

C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．两组对角互补的四边形是平行四边形

【变式2-2】在四边形中，，分别添加下列条件：①；，其中能使四边形成为平行四边形的条件有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

【变式2-3】如图，在四边形中，，与交于点E，点E是的中点，延长到点F，使．连接．

（1）求证：；

（2）求证：四边形是平行四边形．

【变式2-4】如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？

题型三 平行四边形的性质与判定的应用

【例3】如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，与相交于点O，若小正方形的边长为1，则的长为__________．

【变式3-1】如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，．点对应直尺的刻度为12，将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（   ）．

A．96 B． C．192 D．

【变式3-2】如图，在等边中，于，．点分别为上的两个定点且，点为线段上一动点，连接，则的最小值为______．

【变式3-3】如图，在中，是的中点，延长到点，使，连接，．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）若，求四边形的面积．

【变式3-4】如图，一块草地的中间有一条弯路，∥，∥．请给出一种方案，把道路改直，且草地的种植面积保持不变．

题型四 三角形中位线的理解与应用

【例4】顺次连接任意四边形的各边中点，所得图形一定是（    ）

A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形

【变式4-1】如图，将△ABC沿着它的中位线DE对折，点A落在F处．若∠C＝120°，∠A＝20°，则∠FEB的度数是（　　）

A．140° B．120° C．100° D．80°

【变式4-2】图1是三角形空地，计划用栅栏分成两部分种植不同的植物如图2，则栅栏AB的长度是（    ）

A．2m B．3m C．4m D．1m

【变式4-3】如图所示，在中，已知点D，E，F为，，中点，平方厘米，则的值为_____．

【变式4-4】如图，在中，，若，．求证：．

题型五 矩形性质的理解与应用

【例5】如图，在矩形中，交于点O，于点E，，则的度数为_________

【变式5-1】如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【变式5-2】如图，在长方形中，，将沿翻折，使得点落在边上处，则折痕的长是______．

【变式5-3】如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作于点E，连接，若，，则矩形的面积为______________．

【变式5-4】如图，在矩形中，是对角线，、分别平分、，交边、于点、．

（1）若，，求的长．

（2）求证：．

题型六 矩形判定定理的理解与应用

【例6】关于原命题“矩形的两条对角线相等”和它的逆命题“对角线相等的四边形是矩形”，下列说法正确的是（    ）

A．原命题逆命题都正确 B．原命题逆命题都错误

C．原命题错误逆命题正确 D．原命题正确逆命题错误

【变式6-1】要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（    ）

A．测量四边形画框的两个角是否为

B．测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分

C．测量四边形画框的一组对边是否平行且相等

D．测量四边形画框的四边是否相等

【变式6-2】平行四边形的对角线与相交于点，若要使平行四边形成为矩形，则需要添加的一个条件是___________．（只写出一种情况即可）

【变式6-3】如图，已知在四边形中，交于点O，E、F、G、H分别是四边上的中点，求证：四边形是矩形．

【变式6-4】如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，于点E，于点F，且．

（1）求证：四边形ABCD是矩形．

（2）若，求的度数．

题型七 矩形的性质与判定的应用

【例7】如图，在中，对角线、相交于点O，且，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

【变式7-1】如图，将一矩形纸片沿着虚线剪成两块全等的四边形纸片，根据图中标示的长度与角度，则剪得的四边形纸片中较短的边的长是（    ）

A．4 B．3 C．5 D．

【变式7-2】如图，直角三角形ABC的面积为4，点D是斜边AB的中点，过点D作于点E，于点F，则四边形DECF的面积为（    ）

A．1 B．2 C．2.5 D．3

【变式7-3】如图，在中，，且，，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段的最小值为_____．

【变式7-4】如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,

（1）求证：；

（2）若点E、F分别为线段AB、AO的中点，连接EF，，BC=6,求AB的长及四边形ABCD的面积.

题型八 直角三角形斜边的中线

【例8】如图，在中，，D为边的中点．若，则的长是________

【变式8-1】已知的三边长分别为3、4、5，则最长边上的中线长为 _____．

【变式8-2】如图，在中，、分别为、的中点，点在上，且，若，，则的长为（   ）

A．1.5 B．1 C．0.5 D．2

【变式8-3】如图，、分别是的高，M为的中点，，，则的周长是（    ）

A．16 B．14 C．13 D．18

【变式8-4】如图， ，，E为的中点，若，，则的长是______．

题型九 菱形性质的理解与应用

【例9】如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，连接，若，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

【变式9-1】如图，在菱形中，E、F分别是的中点，若，则菱形的周长是（    ）

A．12 B．16 C．20 D．24

【变式9-2】已知在菱形中，，，则菱形的面积为（    ）

A．160 B．80 C．40 D．96

【变式9-3】如图，菱形的边长为2，边在轴上，，对角线、相交于点，则点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

【变式9-4】如图，在菱形中，于点E，于点F．

（1）求证：．

（2）当，时，求菱形的面积．

题型十 菱形判定定理的理解与应用

【例10】判定一个四边形是菱形，你有哪些方法？

【变式10-1】如图，四边形中，E，F，G，H分别是边、、、的中点．若四边形为菱形，则对角线、应满足条件_______．

【变式10-2】如图，已知四边形是平行四边形，从①，②，③中选择一个作为条件，补充后使四边形成为菱形，则应选择______（填序号）．

【变式10-3】顺次连接矩形的四边中点所得的四边形一定是（　　）

A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．正方形

【变式10-4】如图，在矩形的边上取一点，连接，使得，在边上取一点，使得，连接．过点作于．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求的长．

题型十一 菱形性质与判定的应用

【例11】如图，等边的边长为，将向右平移到的位置，连接，，则的长为______．

【变式11-1】如图，在菱形ABCD的外侧，作等边△DCE，连接AE、DE．若对角线AC＝AB，则∠DEA＝______度．

【变式11-2】如图，将沿方向平移得到，连接，下列条件能够判定四边形为菱形的是（    ）

A． B． C． D．

【变式11-3】如图，中，，是边上的中线，分别过点A，C作的平行线交于点E，连接交于点O，求证：

（1）四边形是菱形；

（2）若，求四边形的面积．

【变式11-4】如图，在矩形中，对角线交于点，分别过点作，的平行线交于点，连接交于点．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求菱形的面积．

题型十二 正方形性质的理解与应用

【例12】正方形的对角线长为，则边长为________．

【变式12-1】如图，正方形中，点是对角线上的一点，且，连接，，则的度数为（　　）

A． B． C． D．

【变式12-2】如图，正方形的边长为3，E为边上一点，，故正方形沿折叠，使点A恰好与点E重合，连接，，，则四边形的面积为（    ）

A． B． C．6 D．5

【答案】D

【变式12-3】如图，将正方形放在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【变式12-4】如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且四边形为正方形．

（1）求证：；

（2）若平行四边形的面积为，，直接写出线段的长为 ___________．

题型十三 正方形判定定理的理解与应用

【例13】下列说法不正确的是（    ）

A．对角线互相垂直的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形

C．有一个角是直角的平行四边形是正方形 D．邻边相等的矩形是正方形

【变式13-1】如果证明平行四边形为正方形，那么我们需要进一步证明（　　）

A．且 B．且

C．且 D．和互相垂直平分

【变式13-2】如图，平行四边形对角线互相垂直，若添加一个适当的条件使四边形成为正方形，则添加条件可以是_____（只需添加一个）．

【变式13-3】求证：依次连结正方形各边中点所成的四边形是正方形．

【变式13-4】已知：如图，四边形ABCD中，，∠ADC＝90°，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．求证：四边形ABCD是正方形．

题型十四 正方形性质与判定的应用

【例14】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　）

A．2 B． C． D．

【变式14-1】如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　）

A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定

【变式14-2】如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，且AB=24，BC=10，将AC绕点C顺时针旋转90°至CE．连接AE，且F、G分别为AE、EC的中点，则四边形OFGC的面积是（ ）

A．100 B．144 C．169 D．225

【变式14-3】下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线互相垂直；②它是一个正方形；③它是一个菱形．下列推理过程正确的是（   ）

A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③

C．由③推出①，由①推出③ D．由①推出③，由③推出②

【变式14-4】如图，正方形中，P是对角线AC上一点，连接，过B点作，且，连接、，交于点E，的延长线与交于点F．

（1）求证：；

（2）若正方形的边长为4，且，求线段PQ的长．

题型十五 平行四边形的综合应用

【例15】已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（    ）

A．当∠ABC=90°时，它是矩形 B．当AB=BC时，它是菱形

C．当AC⊥BD时，它是菱形 D．当AC=BD时，它是正方形

【变式15-1】如图，矩形的对角线，相交于点O，，，若，则四边形的周长为（    ）

A．12 B．18 C．24 D．30

【变式15-2】如图，点F在正五边形ABCDE的内部，四边形ABFE是平行四边形，则∠DAF等于（　　）

A．18° B．24° C．30° D．36°

【变式15-3】如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点H在边AD上，AH＝2，E为边AB上一个动点，连接HE．以HE为一边在HE的右上方作菱形HEFG，使点G落在边DC上，连接CF．

（1）当菱形HEFG为正方形时，DG的长为___；

（2）在点E的运动过程中，△FCG的面积S的取值范围为___．

【变式15-4】如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F，G是边AC的三等分点，DF，EG的延长线相交于点H，连接HA，HC．

（1）填空：四边形FBGH的形状是_____；

（2）求证：四边形ABCH是正方形；

（3）若AB＝6，求DF的长．