高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.3 等比数列5.3.2 等比数列的前 n项和练习

【特供】5.3.2 等比数列的前n项和-3优选练习

一．填空题

1．已知数列是等比数列，有下列四个命题：①数列是等比数列；②数列是等比数列；③数列是等比数列；④数列是等比数列.其中正确命题的个数有个__________.

2．已知等比数列的前n项和为，，，则_______.

3．复印纸幅面规格只采用系列和系列，其中系列的幅面规格为：①所有规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系都为；②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；…；如此对开至规格.现有纸各一张.若纸的幅宽为，则纸的面积为____，这张纸的面积之和等于____.

4．记为等比数列的前项和.设，，则_______.

5．已知数列各项均为正数，为其前项和．若，，则______．

6．已知公差不为0的等差数列的首项，且成等比数列，则数列的通项公式为________．

7．已知数列的前项和为，，，，则____________.

8．在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴上，其横坐标为，且是首项为1．公比为2的等比数列，记．若，则点的坐标为________．

9．已知集合A＝{x|x＝6n﹣1，n∈N}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}．记Sn为数列{an}的前n项和，若Sm＝3014，则正整数m值为_____．

10．在等差数列中，，且，，成等比数列，则公差__________．

11．在各项均为正数的等比数列中，若，则________．

12．若正项等比数列满足，当取最小值时，数列的公比是__________.

13．已知数列的前n项和，若为等比数列，则________.

14．数列满足且，则的值是___________

15．已知数列的前项和为，且满足，则通项__________.

参考答案与试题解析

1．【答案】2

【解析】由是等比数列可得是常数，根据等比数列的判断方法，分别检验即可判断．

详解：数列是等比数列，所以，，

对于①，，所以，数列是等比数列，正确；

对于②，，数列不 是等比数列；

对于③，，所以，数列是等比数列；

对于④，，不是常数，所以错误．

共有2个命题正确.

故答案为：2

【点睛】

要判断一个数列是否是等比数列常用的方法，可以利用等比数列的定义，只需判断数列相邻两项的比是否是常数，属于中档题目．

2．【答案】

【解析】设等比数列的公比为，根据，求得，再结合求和公式，即可求解.

详解：设等比数列的公比为，

因为，所以，所以，

又由，所以.

【点睛】

本题主要考查等比数列的通项公式，以及等比数列的求和，其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式是解答的关键，着重考查运算能力.

3．【答案】       

【解析】根据题意，的长．宽分别为，的长．宽分别为，的长．宽分别为，的长．宽分别为，的长．宽分别为，所以的面积为

纸张的面积是以为首项，公比为的等比数列，所以这张纸的面积之和等于

故答案为：；

4．【答案】

【解析】,

，

故答案为：

5．【答案】127

【解析】根据化简得，又数列各项均为正数，可得,即证得数列为等比数列,根据已知即可解得所求.

详解：因为

化简得，

又数列各项均为正数，所以，

即数列是以为首项，2为公比的等比数列，

于是．所以．

故答案为：127.

【点睛】

本题考查了等比数列的求和公式,考查学生分析问题的能力，难度较易.

6．【答案】

【解析】根据条件列公差方程，解得结果，代入等差数列通项公式即可.

详解：设公差为

因为成等比数列，所以

故答案为：

【点睛】

本题考查等差数列与等比数列简单综合，考查基本分析求解能力，属基础题.

7．【答案】

【解析】根据，即可求出数列的通项公式，再根据，即可求出结果.

详解：当时，；

当时，因为，所以

所以；

所以；

所以当时，是以2为公比的等比数列；

所以，所以；

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了与的关系，熟练掌握是解题关键.

8．【答案】或

【解析】设点的坐标，利用两角差正切公式求，列式解得结果.

详解：设,因为

所以或

故答案为：或

【点睛】

本题考查两角差正切公式．等比数列，考查综合分析求解能力，属中档题.

9．【答案】37

【解析】设集合A中的元素从小到大依次排列构成数列{bn}，设集合B中的元素从小到大依次排列构成数列{cn}，列举出数列{bn}．{cn}中的一些项，根据列出的项，找到满足其前m项和等于3014的项数m即可．

详解：设集合A中的元素从小到大依次排列构成等差数列{bn}，其前n项和为Tn，

设集合B中的元素从小到大依次排列构成等比数列{cn}，其前n项和为Dn，

则数列{bn}：5，11，17，23，29，35，41，47，53，59，65，71，77，83，89，95，

101，107，113，119，125，131，137，143，149，155，161，167，173，179，…，

数列{cn}：2，4，8，16，32，64，128，256，…，

故数列{an}：2，4，5，8，11，16，17，23，29，32，35，41，47，53，59，64，65，

71，77，83，89，95，101，107，113，119，125，128，131，137，143，149，155，161，167，173，179，…，

∵T30+D73014＝Sm，∴m＝37.

故答案为：37.

【点睛】

本题主要考查利用等差．等比数列的前n项和公式求数列的和，属于基础题．

10．【答案】3

【解析】 ，，成等比数列，

， 解得d=3或d=-1,当d=-1时， 不符合等比数列，故d=3

故答案为3

11．【答案】2

【解析】根据等比数列性质直接求解.

详解：因为各项均为正数的等比数列，所以

故答案为：2

【点睛】

本题考查等比数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.

12．【答案】

【解析】设正项等比数列的公比为，

因为，所以由等比数列的性质可得，；

因此，

当且仅当，即，即（负值舍去）时，等号成立.

所以数列的公比是.

故答案为：.

13．【答案】

【解析】由等比数列的前n项和，可得数列的前三项，再根据等比数列的定义可得，由此可得结果．

详解：由等比数列的前n项和，可得首项，

，

，

再由等比数列的定义可得，解得t=？1，经检验符合题意.

故答案为：？1.

【点睛】

本题主要考查等比数列的定义，考查等比数列的项与前n项和的关系，属于基础题.

14．【答案】11

【解析】分析：由递推式可得数列是以为公比的等比数列，由得的值，由等比数列的性质得，代入即可得结果.

详解：因为，所以数列是以为公比的等比数列，

由得，

所以，即，

故答案为：11.

【点睛】

本题主要考查了等比数列的判定与性质，对数的运算，属于基础题.

15．【答案】

【解析】利用，求得数列的通项公式.

详解：当时，，所以；

当时，由，得，两式相减得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查已知求，属于基础题.