高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.3 等比数列5.3.2 等比数列的前 n项和课后复习题

【优选】5.3.2 等比数列的前n项和同步练习

一．单项选择

1．已知数列为等比数列，其前项和为，若，，则（    ）．

A．或32 B．或64 C．2或 D．2或

2．《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事：今有垣厚十尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问：何日相逢？各穿几何？意思就是说，有一堵十尺厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞．大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺．大老鼠每天的打洞进度是前一天的2倍，小老鼠每天的进度是前一天的一半．第3天结束后，两只老鼠相距（    ）

A．尺 B．尺 C．尺 D．尺

3．正项等比数列满足，则（    ）

A． B． C． D．

4．康托（）是十九世纪末二十世纪初德国伟大的数学家，他创立的集合论奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使“康托三分集”的各区间长度之和小于，则需要操作的次数的最小值为（    ）

（参考数据：，）

A．4 B．5 C．6 D．7

5．已知等比数列前项的和为，若，则值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

6．已知数列是等比数列，且那么的值等于（    ）

A． B． C． D．

7．数列的首项，且，令，则（    ）

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023

8．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算术》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵(如图)，称做“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的"帕斯卡三角形”早了300多年，若用表示三角形数阵中的第行第个数，则按照自上而下，从左到右顺次逐个将杨辉三角中二项式系数相加，加到这个数所得结果为（    ）

A． B． C． D．

9．已知，，，成等差数列，，，，，成等比数列，则（    ）．

A． B． C． D．或

10．已知是首项为2的等比数列，是其前n项和，且，则数列前20项和为（    ）

A．﹣360 B．﹣380 C．360 D．380

11．已知数列的前项和为，，，则（    ）

A． B． C． D．5

12．设，数列的前项和，则（    ）

A．是等差数列 B．是等比数列

C．当时， D．当时，

13．设是无穷数列，，给出命题：①若是等差数列，则是等差数列；②若是等比数列，则是等比数列；③若是等差数列，则是等差数列，其中正确命题的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

14．若，则S=（    ）

A． B． C． D．

15．等比数列中，，，则的前12项和为（    ）

A．90 B．60 C．45 D．32

参考答案与试题解析

1．【答案】B

【解析】分析：利用等比数列的性质由，可求得，再由可求出，从而可求出的值

详解：∵数列为等比数列，，解得，

设数列的公比为，，

解得或，

当，则，

当，则．

故选：B．

2．【答案】A

【解析】分析：利用等比数列的通项公式和求和公式即可获解.

详解：设大老鼠第天打洞的距离为，则数列是首项为1，公比为2的等比数列，其前项和为；小老鼠第天打洞的距离为，则数列是首项为1，公比为的等比数列，其前项和为．则，则，从而相距尺．

故选：A

3．【答案】A

【解析】分析：利用等比数列的性质求出的值，再将所求和式利用对数运算法则变形，借助等比数列性质即可作答.

详解：设正项等比数列公比为，则，

因，则，

所以.

故选：A

4．【答案】C

【解析】分析：先由题设得到前几次操作去掉的区间的长度，然后总结出第次操作去掉的区间的长度和为，把次操作和去掉的区间的长度之和转化为等比数列的前项和，求出前项和，再求解不等式即可．

详解：解：第一次操作去掉的区间长度为；

第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为；

第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为；

，

第次操作去掉个长度为的区间，长度和为，

于是进行了次操作后，所有去掉的区间长度之和为，

由题意知：，解得：，

又为整数，

可得的最小值为6，

故选：．

5．【答案】D

【解析】分析：求出，再由得出的值.

详解：

，解得

故选：D

6．【答案】C

【解析】分析：利用完全平方和公式和等比中项的性质，即可得到答案；

详解：

，

故选：C.

7．【答案】C

【解析】分析：由题意得，结合已知有是首项．公比均为4的等比数列，进而得到，即可求目标式的值.

详解：∵，

∴，即且，

∴数列是以4为首项，公比为4的等比数列，故，

由得：，

设数列的前项和为，则，

∴．

故选：C

8．【答案】B

【解析】分析：用表示第行中所有数字的和，由图可得，要求前所的数的和，先求出前99行的所有数的和，再由杨辉三角发现，，从而可得，从而可得，观察每行的第3个数发现当时，，从而可求出，进而可求得结果

详解：解：由杨辉三角可知，第行中有个数，用表示第行中所有数字的和，

因为时，，

当时，，

当时，，

所以由此可知，

所以，

由图可知，，

所以,

因为，所以，

再观察每行的第3个数，,，

所以当时，，

所以，

所以所求的总和为

故选：B

9．【答案】B

【解析】分析：由，，，成等差数列可求出公差，从而可求出，由，，，，成等比数列，可知是和的等比中项，从而可求出，进而可求得答案

详解：解：因为，，，成等差数列，所以公差,

所以，

因为，，，，成等比数列，所以是和的等比中项，

所以，解得或，

因为等比数列中奇数项同号，所以，

所以，

故选：B

10．【答案】A

【解析】分析：从等比数列的前n项和满足的等式中，解出公比，进而得到数列的通项公式，也就得到了数列的通项公式，而后使用等差数列求和公式求和.

详解：根据题意，所以，

从而有，

所以，

所以数列的前20项和等于

故选：.

11．【答案】B

【解析】分析：根据并结合已知条件得，故数列为等差数列，进而得，再求和即可得答案.

详解：∵，

∴，∴．

∴数列为等差数列，公差为．

又∵，故首项为，

∴，∴，

∴．

故选：B

12．【答案】D

【解析】分析：利用等差数列．等比数列的定义可判断A．B；根据与之间的关系可判断C．D.

详解：A，，当时，是等差数列；

当时，不是等差数列，故A错误；

B，，当时，，

当时，，

显然不是等比数列.

C，当时，，当时，，

当时，，显然不满足上式，故C错误；

D，当时，，当时，，

当时，，从项起数列是以为公差的等差数列，

所以，故D正确.

故选：D

13．【答案】C

【解析】分析：利用等差数列的通项公式及定义判断，，；利用等比数列的通项公式可判断

详解：解：对于①：若是等差数列，设公差为，

则，

则，

所以是等差数列，故①正确；

对于②：若是等比数列，设公比为，

当时，则，

当时，则，

故不是等比数列，故②不正确；

对于③：若是等差数列，设公差为，

，

所以数列的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，故③正确；

故选：．

14．【答案】B

【解析】分析：根据题意可得为数列前项和，利用等比数列前项和公式即可得解.

详解：根据题意

为数列前项和，

而为等比数列，

所以，

故选：B.

15．【答案】C

【解析】分析：根据等比数列的性质求得公比，然后再计算和．

详解：设数列的公比为，则，

所以，同理，

所以．

故选：C．