人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.5 数学归纳法复习练习题

【优编】5.5 数学归纳法课时练习

一．单项选择

1．已知数列满足，且，．

（1）求的通项公式；

（2）设，求使不等式对一切且均成立的最大整数．

2．已知数列满足，.

（1）求，，，并由此猜想出的一个通项公式（不需证明）；

（2）用数学归纳法证明：当时，.

3．已知函数，且，

(1)求函数的表达式；

(2)若数列的项满足，试求；

(3)猜想数列的通项，并用数学归纳法证明.

4．若，则对于，___________.

5．在数列中，a1=1，，则a3=______，an=_______.

6．已知.用数学归纳法证明，请补全证明过程：(1)当时，；(2)假设时命题成立，即，则当时，______，即当时，命题成立.综上所述，对任意，都有成立.

7．已知数列中，．

（1）求出，，的值；

（2）利用（1）的结论归纳出它的通项公式，并用数学归纳法证明．

8．用数学归纳法证明“”（）时，从“到”时，左边应增添的式子是__________.

9．已知数列中，.

（1）写出数列的前5项.

（2）猜想数列的通项公式.

10．已知，，直线，，与曲线所围成的曲边梯形的面积为.其中，且.

（1）当时，恒成立，求实数的值；

（2）请指出，，的大小，并且证明；

（3）求证：.

11．用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N)能被9整除”,要利用归纳假设证明当n=k+1时的情况,只需展开(　　)

A．(k+3)3 B．(k+2)3

C．(k+1)3 D．(k+1)3+(k+2)3

12．在数列中，，且.

(Ⅰ)求，猜想的表达式，并加以证明；

(Ⅱ)设，求证：对任意的自然数，都有；

13．我们称满足：（）的数列为“级梦数列”.

（1）若是“级梦数列”且.求：和的值；

（2）若是“级梦数列”且满足，，求的最小值；

（3）若是“0级梦数列”且，设数列的前项和为.证明：（）.

14．某林场现有木材存量为，每年以25%的增长率逐年递增，但每年年底要砍伐的木材量为，经过年后林场木材存有量为

（1）求的解析式

（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不应少于，如果，那么该地区会发生水土流失吗？若会，要经过几年？（取）

15．各项都为正数的数列满足，.

(1)求数列的通项公式；

(2)求证：对一切恒成立．

参考答案与试题解析

1．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）当时，；当时，.

猜想：当，下面利用数学归纳法证明：，.

假设当时，猜想成立，即，

那么，，

由数学归纳法可知，对任意的，；

（2）由（1）可得，

因为不等式对一切且恒成立，

可得，

令，

则

，，

所以，数列为单调递增数列，，所以，，

因此，整数的最大值为.

2．【答案】（1），，，（2）证明见解析

试题分析：（1）由，，，2，，可求得，继而可求得，，由此猜想的一个通项公式：（2）证明，利用数学归纳法证明：易证①当时，不等式成立；②假设当时结论成立，即，去推证时，结论也成立即可.

详解：（1）由，得；

由，得；

由，得；

由此猜想的一个通项公式：.

（2）先证明：

下面用数学归纳法证明

当时，，成立．

假设当时成立．即，

那么当时，

即当时也成立．

所以．

再证明当时，，

①当时，，不等式成立，

②假设当时结论成立，即，

当时，

，

而，

所以

即时，结论也成立．

由①和②可知，当时，.

【点睛】

本题考查了数列的递推公式，数学归纳法，考查计算．推理与证明的能力，属于中档题．

【解析】

3．【答案】解：（1）；（2）；（3），证明见解析

试题分析：(1)由，且，可得到关于的方程，求解即可得到函数的表达式；（2）由，分别令，即可求出；（3）由（2）中结论可归纳出的通项，用数学归纳法证明即可.

详解：(1)，且，

，，解得或，

因为，所以只有符合题意，

.

(2)由(1)中，且，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

(3)由(2)中结论易得.

证明如下：

当时，结论显然成立，

假设当时，结论成立，即，

则当时，，

即当时，结论也成立，

故.

【点睛】

本题考查了函数表达式的求法，考查了数学归纳法，考查了学生的推理能力与计算能力，属于中档题.

（1）根据女性频率直方图估计女性使用微信的平均时间；

（2）若每天玩微信超过4小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，请你根据已知条件完成的列联表，并判断是否有的把握认为“微信控”与“性别”有关？

参考公式：，其中.

参考数据：

【答案】（1）（小时）；（2）有90%的把握认为微信使用时间与性别有关.

试题分析：（1）根据女性使用微信的时间频率直方图，利用每组中间值乘以本组频率然后求和，得出女性使用微信的平均时间；

（2）求出a，可得列联表，然后计算的值，然后得出结论.

详解：解：（1）女性平均使用微信的时间为：（小时）

（2），解得

列联表为：

所以有90%的把握认为“微信控”与“性别”有关.

【点睛】

本题考查利用频率分布直方图求解平均数，考查独立性检验问题，难度一般.

【解析】

4．【答案】

【解析】根据的含义，以及的变化给式子带来的变化，进行求解.

【详解】

由题可知

则

故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查数学归纳法中增加项的求解，属基础题；解题的关键是理解的意义.

5．【答案】     

【解析】分析：第一空：运用代入法先求出，然后再求出即可；

第二空：根据递推公式再求出的值，可以猜想出数列的通项公式，最后利用数学归纳法进行证明即可.

详解：第一空：因为，，所以，；

第二空：由第一空可知：，所以可得，

因为，，，

，所以猜想，数学归纳法证明如下：

（1）当时，显然；

（2）假设当时成立，即，

当时，

综合（1）（2），所以，

故答案为：；

6．【答案】

【解析】由已知得，进而，既得答案.

详解：因为

所以

所以当时，

当时，

故答案为：

【点睛】

本题考查数学归纳法由第k项到k+1项，注意已知表达式的使用，属于难题.

7．【答案】（1），（2），证明见解析

试题分析：（1）分别根据递推公式代值计算即可；

（2）由（1）猜想出结论，并根据数学归纳法证明即可

详解：解：（1）因为，，

所以当时，，

当时，，

当时，，

所以，

（2）由（1）可猜想

证明：i)当时，显然成立；

ii)假设时成立，即，

则当时，，

所以由i)，ii)可知时，均成立，所以猜想正确

【点睛】

此题考查数列的通项与求和，考查数学归纲法的应用，考查分析问题的能力，属于中档题

【解析】

8．【答案】

【解析】根据左边式子的含义，以及的变化给式子带来的变化，进行求解.

【详解】

当时，左边

当时，左边

 =

故左边应增添的式子为：

故答案为：.

【点睛】

本题考查数学归纳法中增加项的求解，属基础题；解题的关键是理解左边式子的意义.

9．【答案】（1）；（2）

试题分析：（1）利用递推关系式，根据，逐项代入即可求解.

（2）根据前项即可猜想.

详解：（1）由，可得：

，，

，.

（2）猜想：

【点睛】

本题考查了由递推关系式求数列中的项．根据前几项求数列的通项公式，属于基础题.

【解析】

10．【答案】（1）1；（2），证明见解析；（3）见解析

试题分析：（1）构造函数，借助导数分析函数单调性，研究的范围，即得解.

（2）借助第（1）问的结论进行放缩，即得证；

（3）借助第（1）问的结论进行放缩和叠加，即得证；

【详解】

（1）由已知得时，不合题意，所以.

恒成立，即恒成立.

令，.

当时，在上为增函数，此时成立.

当时，在上为减函数，不合题意，所以.

令，，当时，在上为增函数，此时，恒成立.

当时，在上为减函数，不合题意，所以.

综上得.

（2）由（1）知.令，得，

从而，

又因为，则.

（3）由已知

，

因为，所以

，

.

从而.

【点睛】

本题考查了定积分的几何意义．不等式的恒成立问题．对数的运算等，考查的核心素养是逻辑推理．数学运算，属于难题.

【解析】

11．【答案】A

【解析】假设当n＝k时，原式能被9整除，

即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．

当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．

12．【答案】（1），；猜想，证明见解析.（2）见解析.

试题分析：【详解】

（1）容易求得：，--

故可以猜想，下面利用数学归纳法加以证明：

（i）显然当时，结论成立，-

（ii）假设当；时（也可以），结论也成立，即

，-

那么当时，由题设与归纳假设可知：

即当时，结论也成立，综上，对,成立．

（2）-

所以

-

所以只需要证明

（显然成立）

所以对任意的自然数，都有

【解析】

13．【答案】(1),;（2）；(3)见解析．

试题分析：（1）根据递推关系式，可求数列前四项的值，代入所求式子即可求解；（2）根据递推关系式，采用裂项相消的方法可化简条件，然后写出构造均值不等式即可求出其最小值；（3）通过，利用累加法求出，通过两边同除可得，累加求的范围，从而得出结论.

试题解析：

（1）是“1级梦数列”,所以，当n=2,3,4,时，代入可求得；

（2）由条件可得：，

∴

解得

∴

当且仅当时取等号.

（3）根据，可得①

又由得

累加得：，

所以②

由①②得

点睛：本题涉及数列，数学归纳法，不等式，累加，构造诸多数学思想方法，是跨章节以数列为背景的综合性问题，属于非常困难的难题.解决此类问题，需要灵活，综合运用所学知识，并且要创造性的运用到题目中，对题目所给条件，数列的递推关系式灵活变形是解决本题的关键，这需要平时大量方法积累以及运算技巧的锤炼，才可能解出此类难度的问题.

【解析】

14．【答案】（1）（2）会；8年后

【解析】（1）根据前三年木材存量，归纳出解析式，再用数学归纳法进行证明即可；

（2）根据（1）中所求函数关系式，结合参考数据，解不等式即可.

【详解】

（1）1年后，木材存量，

2年后，木材存量

3年后，木材存量

根据以上数据归纳推理得：

用数学归纳法证明如下：

①当时，，显然成立；

②假设当时，成立，

则当时，

即证，当时，

（2）当时，若该地区今后发生水土流失，则木材存量必须小于

则，解得

两边取对数得

即

故：经过8年后，该地区就会发生水土流失.

【点睛】

本题考查归纳推理，以及用数学归纳法证明，涉及不等式的求解，属函数应用综合题.

15．【答案】（1）；（2）见解析

试题分析：（1）根据等差数列定义判断为首项为1，公差为2的等差数列，再根据等差数列通项公式得，最后解出数列的通项公式；

（2）利用数学归纳法证明，先证明起始项成立，再根据归纳假设证明成立，最后总结.

详解：(1)因为，

所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，

所以，

又，则.

(2)证明：由(1)知，即证.

①当时，左边，右边，所以不等式成立；

当时，左边右边，所以不等式成立．

②假设当时不等式成立，

即

当时，

左边

所以当时不等式成立．

由①②知对一切不等式恒成立．

【点睛】

本题考查数列通项的求法和数列不等式，前者可归结等差数列的通项公式，后者可用数学归纳法来证明，本题数中档题.

【解析】