人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.5 数学归纳法综合训练题

【名师】5.5 数学归纳法优选练习

一．单项选择

1．已知函数满足条件：①，②，③，④当时，有．

（1）求，，的值；

（2）由，，，的值，猜想的解析式；

（3）证明你猜想的的解析式的正确性．

2．用数学归纳法证明“能被9整除”，在假设时命题成立之后，需证明时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项（    ）能被9整除.

A． B． C． D．

3．数列又称黄金分割数列，因为当趋向于无穷大时，其相邻两项中的前项与后项的比值越来越接近黄金分割数.已知数列的递推关系式为.

（1）证明：数列中任意相邻三项不可能成等比数列；

（2）用数学归纳法证明：数列的通项公式为.

4．已知数列满足，，，求证：数列是递增数列.

5．用数学归纳法证明不等式“（，）”的过程中，由推导时，不等式的左边增加的式子是（    ）

A． B．

C． D．

6．在数列中，，且.

(Ⅰ)求，猜想的表达式，并加以证明；

(Ⅱ)设，求证：对任意的自然数，都有；

7．用数学归纳法证明“”能被整除”的第二步中时，为了使用假设，应将变形为（    ）

A． B．

C． D．

8．用数学归纳法证明不等式是正整数，，从到变化时，左边增加的项数是（    ）

A． B． C． D．

9．已知数列中，，.

（1）写出的值，猜想数列的通项公式；

（2）用数学归纳法证明（1）中你的结论.

10．凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为（ ）

A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n

C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2

11．如图所示的数阵，第行最右边的数是_________．

12．如图，曲线与直线相交于，作交轴于，作交曲线于，…，以此类推.

（1）写出点和的坐标；

（2）猜想的坐标，并用数学归纳法加以证明.

13．用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N)能被9整除”,要利用归纳假设证明当n=k+1时的情况,只需展开(　　)

A．(k+3)3 B．(k+2)3

C．(k+1)3 D．(k+1)3+(k+2)3

14．用数学归纳法证明等式，当时，等式左端应在的基础上加上（    ）

A． B． C． D．

15．用数学归纳法证明，成立.那么，“当时，命题成立”是“对时，命题成立”的（    ）

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

参考答案与试题解析

1．【答案】（1），，；（2）；（3）证明见解析.

试题分析：（1）利用赋值法，求得，，的值.

（2）根据，，，的值，猜想.

（3）利用数学归纳法证明猜想正确.

详解：（1）依题意，.

令得：；

令得：；

由于且当时，有，所以，即，则.

（2）由于，故猜想.

（3）①当时，，函数解析式成立；

②假设当时，，

则当时：

（i）若，则.

（ii）若，则，，所以

.

即当时，函数解析式成立.

综合①②知，成立.

【点睛】

本小题主要考查数学归纳法证明，属于难题..

【解析】

2．【答案】B

【解析】假设时命题成立，即能被9整除，计算当时，，即可得解.

详解：解：假设时命题成立，即能被9整除，

当时，

能被9整除

要证上式能被9整除，还需证明也能被9整除

故选：

【点睛】

本题考查数学归纳法，数学归纳法是证明一个与自然数集相关的性质，其步骤为：设是关于自然数的命题，若（奠基）在时成立；（归纳） 在为任意自然数）成立的假设下可以推出成立，则对一切自然数都成立．

3．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

试题分析：（1）利用反证法进行证明，假设存在．．三项成等比数列，可得出，根据定义得出，可得出，可求得的值，再由为有理数可推出矛盾，从而可得出结论成立；

（2）利用数学归纳法证明数列的通项公式，先验证．时成立，再假设当时，结论成立，再由通过计算得出，由数学归纳法可得出结论成立.

详解：（1）证明：（反证法）假设存在．．三项成等比数列，则，

所以，所以，解得，

由条件可知数列的所有项均大于，所以，

又数列的所有项均为整数，所以应该为有理数，这与（无理数）矛盾，所以假设不成立，所以原命题成立；

（2）证明：①易验证．时命题成立.

②假设时命题成立，即，

则当时，

.

所以，时，命题也成立.

由①②可知，数列的通项公式为.

【点睛】

本题考查等比数列的证明，同时也考查了利用数学归纳法证明数列的通项公式，考查推理能力，属于中等题.

【解析】

4．【答案】证明见解析.

试题分析：若，要证是递增数列．即证对任意成立，然后利用数学归纳法的证明步骤证明即可．

详解：证明：若，要证是递增数列.

即，即证对任意成立.

下面用数学归纳法证明：

当时，对任意成立.

①当时，，结论成立

②假设当（，）时结论成立，即

因为函数在区间内单调递增，

所以，

∴当时，成立.

由①，②知，对任意，成立.

因此，，即是递增数列.

【点睛】

本题考查数列的递推关系式的应用，数学归纳法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．

【解析】

5．【答案】D

【解析】把用替换后两者比较可知增加的式子．

详解：当时，左边，

当时，左边，

所以由推导时，不等式的左边增加的式子是，

故选：D.

【点睛】

本题考查数学归纳法，掌握数学归纳法的概念是解题基础．从到时，式子的变化是数学归纳法的关键．

6．【答案】（1），；猜想，证明见解析.（2）见解析.

试题分析：【详解】

（1）容易求得：，--

故可以猜想，下面利用数学归纳法加以证明：

（i）显然当时，结论成立，-

（ii）假设当；时（也可以），结论也成立，即

，-

那么当时，由题设与归纳假设可知：

即当时，结论也成立，综上，对,成立．

（2）-

所以

-

所以只需要证明

（显然成立）

所以对任意的自然数，都有

【解析】

7．【答案】B

【解析】根据数学归纳法的证明过程，结合题意，即可容易判断选择.

详解：根据数学归纳法，

当时，

应将变形为，

此时，和都可以被3整除.

故该变形是合理的.

故选：.

【点睛】

本题考查数学归纳法证明整除问题，属基础题.

8．【答案】A

【解析】根据和时不等式左边的形式可确定增加的项数.

详解：当时，不等式左边为：；

当时，不等式左边为：；

左边增加的项数为：.

故选：.

【点睛】

本题考查数学归纳法的应用，关键是明确不等式左侧的变化特点，属于基础题.

9．【答案】（1），，，猜想（2）见解析

试题分析：（1）依递推公式计算，并把各分子都化为3，可归纳出；

（2）用数学归纳法证明即可．

详解：解：（1），，∴，，，

猜想

（2）用数学归纳法证明如下：

①当时，由知猜想成立；

②假设时，猜想成立，即

则

∴时，猜想成立，

根据①②可知，猜想对一切正整数都成立.

【点睛】

本题考查归纳推理，考查数学归纳法，属于基础题．在用数学归纳法证明时，在证明时的命题时一定要用到时的归纳假设，否则不是数学归纳法．

【解析】

10．【答案】C

【解析】凸多边形边数增加1条，即增加一个顶点，自这一顶点向其它不相邻的k-2个顶点可引k-2条对角线，原来一条边变为对角线，所以共增加k-1条，故选C．

考点：本题主要考查数学归纳法的概念及方法步骤，多边形．

点评：简单题，注意认真分析图形的变化．

11．【答案】

【解析】观察发现：第1行，1个数，最右边的数是1；第2行，2个数，最右边的数是；

第3行，3个数，最右边的数是；第4行，4个数，最右边的数是

由此可以得到结论．

详解：第1行，1个数，最右边的数是1，

第2行，2个数，最右边的数是，

第3行，3个数，最右边的数是，

第4行，4个数，最右边的数是，

归纳得出：第行，个数，最右边的数是.

故答案为：，

【点睛】

本题考查数列在数阵中的应用，考察不完全归纳法的应用，属于中档题．

12．【答案】（1），，；，，；（2），证明见解析.

【解析】分析：（1）将直线，曲线方程联立，由即可求得，由垂直关系可得直线方程，令即可求得坐标，依次类推即可求得结果；

（2）由（1）可归纳出；设，，由直线方程可求得坐标，由直线斜率为可推导得到递推关系式；根据递推关系式，利用数学归纳法即可证得结论.

详解：（1）由得：，即；

直线方程为：，即，

令，解得：，；

直线方程为：，由得：，即；

直线方程为：，即，

令，解得：，；

直线方程为：，

由得：，即；

直线方程为，即，

令，解得：，；

（2）由（1）猜想的坐标为，

设，，则直线的方程为：，

令，解得：，，

直线的斜率为，即，即，

，

用数学归纳法证明的坐标如下：

①当时，满足；

②假设当时，成立，

那么当时，由得：

，解得：，

即当时，成立；

综上所述：.

【点睛】

方法点睛：数学归纳法证明与有关的式子的基本步骤如下：

①当时，验证所证式子成立；

②假设当时，所证式子成立；

③利用②中假设成立的式子，证明当时，所证式子成立；

④综合上述结果即可得到结论.

13．【答案】A

【解析】假设当n＝k时，原式能被9整除，

即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．

当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．

14．【答案】B

【解析】写出和时的两式，然后比较可得．

详解：时等式为，

时等式为，

当时，等式左端应在的基础上加上，

故选：B．

【点睛】

本题考查数学归纳法，数学归纳法的关键．难点就在于用的假设结论证明的的结论，因此观察出与之间式子的关系至关重要．

15．【答案】B

【解析】根据必要不充分条件的定义可得结论.

详解：“当时，命题成立”不能推出“对时，命题成立”，

“对时，命题成立”可以推出“当时，命题成立”，

所以“当时，命题成立”是“对时，命题成立”的必要不充分/

故选：B

【点睛】

本题考查了必要不充分条件的概念，关键是掌握必要不充分条件的概念，属于基础题.