数学八年级下册2.1 一元二次方程课时练习

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第二讲 二元一次方程
考点1：认识二元一次方程
分析：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程.从定义可以知道，我们的二元一次方程的特征，①含两个未知数，②未知数的次数的一次，③分母中不能有未知数.④不能有两个未知数的乘积.
例题1：下列方程：①2x﹣=1；②＋=3；③x2﹣y2=4；④5（x+y）=7（x+y）；⑤2x2=3；⑥x+=4，其中是二元一次方程的是（　　）
A． ① B．①④ C．①③ D．①②④⑥
解：①2x﹣=1是二元一次方程；②+=3不是整式方程；③x2﹣y2=4不是二元一次方程；④5（x+y）=7（x+y）是二元一次方程；⑤2x2=3不是二元一次方程；⑥x+=4不是整式方程．
选：B．
例题2：已知2x2m+5n+8+3ym﹣n﹣3=6是关于x、y的二元一次方程，则m+n=　　．
解：根据二元一次方程的定义，得，
解得：，
∴m+n=﹣．
答案：﹣．
例题3：若方程（m2﹣9）x2﹣（m﹣3）x﹣y=0是关于x，y的二元一次方程，则m的值为________；
解：由题意，得
m2﹣9=0且m﹣3≠0，
解得m=﹣3，
答案：﹣3．
例题4：若方程x|a|﹣1+（a﹣2）y=3是二元一次方程，则a的取值范围是________；
解：根据二元一次方程的定义，得
|a|﹣1=1且a﹣2≠0，
解得a=﹣2．
答案：﹣2.
例题5：方程（k2-4）x2+（k+2）x+（k-6）y=k+8是关于x、y的方程，试问当k为何值时，
（1）方程为一元一次方程？
（2）方程为二元一次方程？
解：（1）因为方程为关于x、y的一元一次方程，所以：
①，解得k=﹣2；
②，无解，
所以k=﹣2时，方程为一元一次方程．
（2）根据二元一次方程的定义可知，解得k=2，
所以k=2时，方程为二元一次方程．
考点2：二元一次方程的解
分析：能使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解，一般二元一次方程的解有无数个.那么我们只要碰到二元一次方程的解，只需要把这个解代入方程中即可.
例题1：下列说法正确的是（　　）
A.一元一次方程一定只有一个解 B.二元一次方程x+y=2无解
C.方程2x=3x没有解 D.方程中未知数的值就是方程的解
解：A、正确；
B、错误，x=1时y=1；
C、错误，x=0时成立；
D、错误，方程能使方程两边同时成立的未知数的值就是方程的解；
选：A．
例题2：如果是方程4x﹣3ay=0的一个解，则a2a=___________；
解：把 代入方程4x﹣3ay=0，得：
12+6a=0．
∴a=﹣2，
把a=﹣2代入a2a得：
（﹣2）﹣2×2=，
答案：．
例题3：若是方程2x+y=0的解，则6a+3b+2=　　．
解：把代入方程2x+y=0，得2a+b=0，
∴6a+3b+2=3（2a+b）+2=2．
答案：2．
例题4：已知,都是关于x，y的二元一次方程y=x+b的解，且m﹣n=b2+2b﹣4，求b的值=____;
解：∵，都是关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解，
∴．
∴m﹣n=2b﹣1．
又∵m﹣n=b2+2b﹣4，
∴b2+2b﹣4=2b﹣1．
化简得b2=3，解得：b=±．
答案：±
例题5：x=﹣3，y=1为下列哪一个二元一次方程式的解？（　　）
A． x+2y=﹣1 B．x﹣2y=1 C．2x+3y=6 D．2x﹣3y=﹣6
解：将x=﹣3，y=1代入各式，
A、（﹣3）+2×1=﹣1，正确；
B、（﹣3）﹣2×1=﹣5≠1，故此选项错误；
C、2×（﹣3）+3‧1=﹣3≠6，故此选项错误；
D、2×（﹣3）﹣3‧1=﹣9≠﹣6，故此选项错误；
选：A．
考点3：解二元一次方程及解不定方程
分析：我们一般把一个未知数看做常数，另一个作为未知数，然后利用解一元一次方程的方法解出.这里会出现整数解，正整数解之类的题型，那么我们先用一个未知数表示另一个未知数，然后找出符合题目要求的解，这样会比较方便.
例题1：把方程﹣=1写成用含x的代数式表示y，以下各式中正确的是（　　）
A．y＝ B．y= C．y=x﹣2 D．y=2﹣x
解：移项得：，
两边都乘以﹣2，得：．
选：C．
例题2：把x=1代入方程x-2y=4…①，那么方程①变成（　　）
A.关于y的一元一次方程 B.关于x的一元一次方程
C.关于y的二元一次方程 D.关于x的二元一次方程
解：把x=1代入方程x-2y=4得：1-2y=4，
∴得到一个关于y的一元一次方程，
选：A．
例题3：方程4x+3y=16的所有非负整数解为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
解：由已知，得y=，
要使x，y都是正整数，
合适的x值只能是x=1，4，
相应的y值为y=4，0．
分别为，．
故选：B．
例题4：二元一次方程7x+y=15有几组正整数解（　　）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
解：方程可变形为y=15﹣7x．
当x=1，2时，则对应的y=8，1．
故二元一次方程7x+y=15的正整数解有，，共2组．
故选：B．
例题5：写出方程5x﹣3y=4的解，要求满足|x|=|y|，　　．
解：由|x|=|y|，得到x=y或x=﹣y，
将x=y代入5x﹣3y=4得：2y=4，即y=2，将y=2代入5x﹣3y=4得：x=2；
将x=﹣y代入5x﹣3y=4得：﹣8y=4，即y=﹣0.5，将y=﹣0.5代入5x﹣3y=4得：x=0.5，
则方程的解为或．
故答案为：或．
例题6：甲、乙两同学同时求二元一次方程ax+by﹣9=0的整数解，甲求出一个解；乙错把“﹣9”看成“9”，从而求得一个解，则a=　　，b=　　．
解：由题意得方程组，
解得．
答案：45，﹣27．
例题7：已知方程3x+2y=10.
（1）用关于x的代数式表示y .
（2）求当x＝-2，0，3时对应的y的值，并写出方程3x+2y=10的三个解.
解：（1）
(2)当x＝-2，0，3时，y=8，5，
考点4：二元一次方程组的定义
分析：由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组，也就是说，两个方程，一共含有两个未知数，可以两个都是二元一次方程，也可以是一个是一元一次方程，但一共要两个未知数.还有次数都是一次，不能有未知数的乘积，字母不能在分母中，字母不能在根号下.
例题1：下列方程组中，不是二元一次方程组的是（　　）
A． B． C． D．
解：A、符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组，故本选项错误；
B、符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组，故本选项错误；
C、是二元二次方程组，不是二元一次方程组，故本选项正确；
D、符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组，故本选项错误；
选：C．
例题2：下列各方程组中，不是二元一次方程组的是（　　）
A． B． C． D．
解：下列各方程组中，不是二元一次方程组的是，
选：B．
例题3：下列方程组①；②；③；④；⑤，其中是二元一次方程组的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解：① 是三元一次方程组；
②是二元一次方程组；
③是二元二次方程组；
④是分式方程；
⑤是二元一次方程组，
选：A．
例题4：已知|x-2y+1|+（x-y-5）2=0，据此列出x、y的二元一次方程组________．
解：∵|x﹣2y+1|≥0，（x﹣y﹣5）2≥0，
且|x﹣2y+1|+（x﹣y﹣5）2=0
∴x﹣2y+1=0、x﹣y﹣5=0
∴方程组为：
答案：
例题5：若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则代数式a+b+c的值是_______．
解：若方程组是关于x，y的二元一次方程组，
则c+3=0，a﹣2=1，b+3=1，
解得c=﹣3，a=3，b=﹣2．
所以代数式a+b+c的值是﹣2．
或c+3=0，a﹣2=0，b+3=1，
解得c=﹣3，a=2，b=﹣2．
所以代数式a+b+c的值是﹣3．
答案：﹣2或﹣3
考点5：二元一次方程组的解
分析：同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解.从定义中就给出了我们解题方法，也就是说，只要告诉我们方程组的解，那你只需要把他们分别代入两个二元一次方程中即可，若要我们编个方程解为指定的值，你只需要两个解减下，加下就可以了.
例题1：若二元一次联立方程式的解为x=a，y=b，则a+b之值为何？（　　）
A． B． C．7 D．13
解：
①×2﹣②得，7x=7，
x=1，代入①中得，2+y=14，
解得y=12，
则a+b=1+12=13，
选：D．
例题2：二元一次方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
解：
①+②，得 3x=9，
解得x=3，
把x=3代入①，
得3+y=5，
y=2，
所以原方程组的解为．
选：C．
例题3：设方程组的解是，那么a，b的值分别为（　　）
A．﹣2，3 B．3，﹣2 C．2，﹣3 D．﹣3，2
解：把代入方程组，得
，
解得
．
选：A．
例题4：如果方程组的解为，那么被“★”“■”遮住的两个数分别是（　　）
A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3
解：把代入2x+y=16得12+■=16，解得■=4，
再把代入x+y=★得★=6+4=10，
选：A．
例题5：已知关于x，y的二元一次方程组的解是，写出一个满足上述条件的二元一次方程组　　．
解：先围绕列一组算式，
如2+3=5，2﹣3=﹣1，
然后用x、y代换，
得等，
答案不唯一，符合题意即可．
答案：．
例题6：已知是方程组的解，则m2－n2的值为_________．
解：将代入得
∴m2－n2=
答案：﹣8.
考点6：解二元一次方程组
分析：二元一次方程组的解法说白了就一种，消元，消元分为代入消元和加减消元.代入消元的步骤为，①将方程组中的一个方程变形，用一个未知数表示另一个未知数；②将变形后的方程代入另一个方程，得到一元一次方程，解得其中一个未知数的值；③将解得的未知数值代入变形后的方程，得到另一个未知数的值，从而得到方程组的解.用加减法解二元一次方程组的一般步骤是：①将其中一个未知数的系数化成相同（或互为相反数）；②通过两个方程加减消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解一元一次方程得到一个未知数的值；④将得到的未知数的值代入任意一个方程，得到另一个未知数的值，从而得到方程的解.当然了，有的时候整体法解要简单点哦.
例题1：用代入法解下列方程组：
(1) （2) （3） （4）
解：（1）由①式代入②得
Y-50+y=180
Y=115,
∴
（2）由①得y=3-2x
3x-5(3-2x)=11
x=2

（3）由①得x=2-2y
2(2-2y)+y=7
y=-1

(4)将①时代入②得
7x-2(3x)=2
x=2

例题2：用加减法解下列方程组：
(1) （2） (3) （4）
解：（1）①+②得8x=12
∴x=
∴y=
∴
(2)①-②得3n=15
∴ n=5
∴m=2
∴
(3)①×2-②得0=8x-4
∴x=
∴y=
∴
(4)化简
①×③-②得
∴x=，
∴
例题3：解特殊的二元一次方程组
（1） (2) (3)




(4) （5） (6)



（7） (8)
解：（1）由①式化简3x-2y=8 ③
③+②得6x=18,
∴x=3
∴y=
∴
（2）解：由①化简6p+8q=80③
有②式化简6p-27q=-60④
③－④得
35q=140
∴q=4
∴p=3
∴
（3）解:由①式得30x+50y=60③
由②得30x-18y=12④
③-④得68y=48
∴y=
∴x=
∴方程的解为
（4）解：②×2得10（x+1）-3(y+3)=70③
①＋③得，10x+10+0.25x=71.5
10.25x=61.5
解得：x=6，
代入得y=-3
∴方程的解为
（5）解：①+②得：3x-2y=18③
①-②得：2x+3y=-14④
③，④组成方程组得：

解得：
（6）解：①×10得：
5（x-y）-2（x+y）=10③
②+③得：x-y=2④
代入③得x+y=0⑤
④⑤组成方程组得

解得：
（7）解：①+②得：4029x+4029y=4029.
整理得：x+y=1③.
①-②得：-x+y=-3④
③④组成方程组得：
解得：
（8）解：①×2-②得：|y|=3
代入①得：|x|=4;
解得：或或或
考点7：利用二元一次方程组的解法解决非负数、同类项等问题
分析：非负数问题；同类项问题等，根据实际情况建立二元一次方程组求解即可；
例题1：已知：|m﹣n+2|+3（2m+n+4）2=0，则mn的值是　　．
解：∵|2m﹣1|+（n+2）2=0，
∴2m﹣1=0，n+2=0，
解得，m=0.5，n=2，
∴mn=0.5×（﹣2）=﹣1，
答案：﹣1．
例题2：若|a﹣b+1|与互为相反数，则（a+b）2的值是　　．
解：根据题意得：|a﹣b+1|+=0，
∴，
解得：，
则原式=9，
答案：9
例题3：在等式y=kx+b中，当x=2时，y=2，当x=0时，y=﹣4，则当x=﹣2时，y的值是　　．
解：把x=2，y=2；x=0，y=﹣4代入y=kx+b中得：，
解得：k=3，b=﹣4，即y=3x﹣4，
当x=﹣2时，y=﹣6﹣4=﹣10，
答案：﹣10
例题4：若2a2b5n﹣2和3a1﹣mbn﹣2m是同类项，则m+n=　　．
解：∵2a2b5n﹣2和3a1﹣mbn﹣2m是同类项，
∴，
解得：m=﹣1，n=1，
则m+n=0，
答案：0
考点8：二元一次方程组同解问题，
分析：两方程组解相同，其实就是四个方程解是同一个，我们只要把任意两个方程组层方程组就可以了，就把能解出的方程解出来，分别代入另外两个方程中，解出另外的方程可得.若出现解相等，解互为相反数，或者解出现其它关系式，其实我们就得出了另外一个二元一次方程，再组成二元一次方程可得.
例题1：若方程组与方程组有相同的解，则a、b的值分别为（　　）
A．1，2 B．1，0 C． D．
解：先解得：，
把代入方程组得：
，
解得：；
选：A．
例题2：若方程组的解x与y互为相反数，则a的值等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵x，y的值互为相反数，
∴x+y=0，
则4x+3y=1可以变形为4x﹣3x=1，解得x=1，
则y=﹣1，
把x=1，y=﹣1代入ax﹣（a﹣1）y=3，可得a+（a﹣1）=3，
解得a=2．
选：B．
例题3：关于的方程组的解也是二元一次方程的解，则的值是 ；
解：解方程组得

把x，y代入二元一次方程x+3y+7m=20得
++7m=20
解得m=2
答案：2
例题4：若满足方程组的解x、y，其中x比-y大1，则k＝ ．
解：
①+②得：3x-3y=12.③
由题意可知：x+y=1④
③④组成方程可得：
解得：.
代入①得：k=.
答案为：
例题5：已知关于x、y的二元一次方程组．
（1）消去a，试用含y的代数式表示x；
（2）若方程组的解中x、y互为相反数，则求出该方程组的解．
解：（1），
②×2得：4x+14y=2a﹣36③，
③﹣①得：x+19y=﹣36，
∴x=﹣19y﹣36．
（2），
∵x，y互为相反数，
∴x=﹣y，
方程①得：﹣3y﹣5y=2a，
解得：a=﹣4y，
方程②得：﹣2y+7y=a﹣18，
解得：a=5y+18，
∴﹣4y=5y+18，
解得：y=﹣2，
∴x=﹣y=2，
∴方程组的解为：．
考点9：方程组解的个数问题.
分析：在我们一元一次方程中，现在我们二元一次方程也出现了这种情况，我们掌握了这规律就很容易得出答案.
若二元一次方程有唯一解，则，有无数解，则 .无解，则
例题1：当k=　 　时，关于x，y的二元一次方程组有无数个解．
解：根据等式的性质，当==时，方程组有无数个解，
解得：k=﹣4，
答案：﹣4．
例题2：若关于x，y的二元一次方程组无解，则a=　　．
解：，
由②得，y=2x﹣1③，
③代入①得，ax+3（2x﹣1）=1，
即（a+6）x=4，
∵方程组无解，
∴a+6=0，
∴a=﹣6．
答案：﹣6．
例题3：选择一组值使方程组 （1）有无数多解，（2）无解，（3）有唯一的解.
解：①当时，方程组有无数个解．
∴m=10，n=14．
②当时，方程组无解，
此时m=10，n≠14，
∴m=10，n=9．
③当，
∴m≠10，n为任意实数即可，
∴a=8，c=8
例题4：已知关于x，y的方程组当a，b满足什么条件时，方程组有唯一解，无解，有无数解？
解：①当时，方程组有无数个解．
∴a=2，b=5．
②当时，方程组无解，
此时a=2，n≠5，
③当，
∴a≠2，b为任意实数即可，
例题5：关于x，y的二元一次方程（a﹣1）x+（a+2）y+5﹣2a=0，当a取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是? 并证明对于任何a值，它都能使方程成立.
解：（x+y﹣2）a+（﹣x+2y+5）=0，
由方程的解与a无关，得
x+y﹣2=0，且﹣x+2y+5=0，
解得，
考点10：整体法解二元一次方程
分析：当我们看到了一个整体形式的式子在两个方程中出现，那么我们就要想到整体法来解方程.
例题1：用适当的方法解方程组，
解：，
由②得3（x+y）+（x﹣y）=6，③
③﹣①得5（x﹣y）=2，即x﹣y=，
把x﹣y=代入③，得x+y=，
解方程组，得．
例题2：解方程组
解：
①×2＋②得：17x=51
解得：x=3
把x=3代入①得：9－6－4y=3
解得：y=0
方程组的解为：

例题3：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则的解是？
解：将解方程组变形为，
∴以与为未知数的方程组
的解为，
解得，
∴方程组的解为．

例题4：三个同学对问题“若关于x、y的方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．
（1）参考上面他们的讨论，请写出解答过程．
（2）利用上面的讨论方法，解方程：．
（1），
方程组两边除以5得：，
∵方程组的解是，即，
∴，
解得：；

（2），
变形得：，
∴，
解得．
考点11：看错了题型解法
分析：看错了，我没代入解，不解这个被看错的字母即可，其它的字母解出来是正确值.
例题1：甲、乙两人共同解方程组,由于甲看错了方程①中的,得到方程组的解为；乙看错了方程②中的,得到方程组的解为.试计算的值.
解：甲看错了①式中x的系数a，解得，但满足②式的解，所以﹣12+b=﹣2，解得b=10；
同理乙看错了②式中y的系数b，解得，满足①式的解，所以5a+20=15，解得a=﹣1．
所以当a=﹣1，b=10时，
a2013+（﹣b）2014=（﹣1）2013+（﹣×10）2014=﹣1+1=0．
例题2：甲、乙两人解方程组，甲因看错a，解得，乙将其中一个方程的b 写成了它的相反数，解得，求a、b 的值．
解：将x=2，y=3分别代入4x﹣by=﹣1得：8﹣3b=﹣1，
解得：b=3，
将x=﹣1，y=﹣2代入4x+3y=﹣1后，左右两边不相等，
故：ax+3y=5，将x=﹣1，y=﹣2代入后可得：
﹣a-6=5，
解得：a=﹣11，
答案：a=﹣11，b=3．
例题3：小亮解方程组的解为由于不小心,滴上了两滴墨水,刚好遮住了两个数●和★,则两个数●与★的值为( )
A. B. C. D.
解：∵方程组的解为，
∴将x=5代入2x﹣y=12，得y=﹣2，
将x=5，y=﹣2代入2x+y得，2x+y=2×5+（﹣2）=8，
∴●=8，★=﹣2，
选：D．
例题4： 在解方程组时，小明因看错了b的符号，从而求得的解为；小芳因看漏了c，求得的解为，则a+b+c的值为___________.
解：由题意得方程组，
解得．
则a+b+c=7．
答案：7．
例题5：在解方程组时，哥哥正确地解得，弟弟因把c写错而解得．求：
（1）a+b+c的值．
（2）弟弟把c写错成了什么数？
解：（1）∵哥哥正确地解得，弟弟因把c写错而解得，
∴代入得：3a﹣2b=2，3c+14=8，﹣2a+2b=2，
即，
解方程②得：c=﹣2，
①+③得：a=4，
把a=4代入①得：12﹣2b=2，
b=5，
∴a+b+c=4+5+（﹣2）=7．
（2）∵弟弟因把c写错而解得，
∴﹣2c﹣7×2=8，
解得c=﹣11．
故弟弟把c写错成了﹣11．
考点12：二元一次方程组整数解的问题
分析：首先把方程的解给解出来，然后利用都是整数，找出分子的所以约数.
例题1：a取哪些正整数值，方程组的解x和y都是正整数？

解：，
①×2+②得，5x=10，
解得x=2，
将x=2代入①，得2+2y=5﹣a，
解得y=．
∵方程组有正整数解，且a为正整数，
∴a=1，
∴a取1时，方程组的解x和y都是正整数．
例题2：要使方程组的解都是整数， k应取哪些整数值？
解：由x﹣2y=1得：x=2y+1，代入x+ky=k得，，
所以当k=1时，y=0，x=1
当k=﹣1时，y=﹣2，x=﹣3；
当k=﹣3时，y=4，x=9；
当k=﹣5时，y=2，x=5；
故k应取1，﹣1，﹣3，﹣5．
例题3：已知关于的方程组有整数解,即都是整数,是正整数，求的值.
解：①×2-②式，得
（2a+1）y=-5．
∵a是正整数，y为整数
∴2a+1=5，y=-1，
解得：a=2．
例题4：已知关于x、y的方程组
（1）求这个方程组的解；
（2）当a取什么整数时，这个方程组的解中x为负数，y为非正数．
解：
（1）在方程组中，
①×2+②可得：5x=﹣5a﹣4，
∴x=﹣a﹣，
把x=﹣a﹣代入①可得：﹣a﹣+2y=a﹣4，
∴y=a﹣，
∴方程组的解为；
（2）∵x为负数，y为非正数，
∴，即，解得﹣＜a≤，
∵a为整数，
∴a的值为0或1．
考点13：二元一次方程（组）与代数的综合应用
分析：关于谁的方程，那么谁就是未知数，其它的字母我们一律当常数对待，然后再解关于其方程即可.
例题1：对于代数式ax+b（a，b是常数），当x分别等于4、2、1、﹣1时，小虎同学依次求得下面四个结果：5、2、﹣1、﹣5，其中只有一个是错误的，则错误的结果是（　　）
A．5 B．2 C．﹣1 D．﹣5
解：∵当x分别等于4、2时，代数式的值是5、2，
∴代入得：，
解得：a=1.5，b=﹣1；
∵当x分别等于4、1时，代数式的值是5、﹣1，
∴代入得：，
解得：a=2，b=﹣3；
∵当x分别等于2、1时，代数式的值是2、﹣1，
∴代入得：，
解得：a=3，b=﹣4；
∵当x分别等于1、﹣1时，代数式的值是﹣1、﹣5，
∴代入得：，
解得：a=2，b=﹣3；
∴当x=2时，代数式是2错误，
选：B．
例题2：如表，在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式都表示一个数），使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等．则每一行的和是（　　）
3
4
x
﹣2
y
a
2y﹣x
c
b
A．7 B．6 C．5 D．4
解：由题意，得
，
解得．
3﹣2+2y﹣x=3﹣2+4+1=6．
选：B．
例题3：已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的是（　　）
①当a=5时，方程组的解是；②当x，y的值互为相反数时，a=20；③不存在一个实数a使得x=y；④若22a﹣3y=27，则a=2．
A．①②④ B．②③ C．②③④ D．③④
解：①把a=5代入方程组得：，
解得：，本选项错误；
②由x与y互为相反数，得到x+y=0，即y=﹣x，
代入方程组得：，
解得：a=20，本选项正确；
③若x=y，则有，可得a=a﹣5，矛盾，
故不存在一个实数a使得x=y，本选项正确；
④方程组解得：，
由题意得：2a﹣3y=7，
把x=25﹣a，y=15﹣a代入得：2a﹣45+3a=7，
解得：a=，本选项错误，
则正确的选项有②③，
故选：B．
例题4：在y=kx+b中，当x=1时，y=4，当x=2时，y=10，则k=　6　，b=　﹣2　．
解：依题意得：，
解得．
例题5：观察表格，由表格可得a=　1　，b=　﹣2　，c=　3　．
x
0
1
2
ax2

1

ax2+bx+c
3

3
解：根据x=1，ax2=1，
∴a=1，
x=0时，ax2=0，x=2时，ax2=4．
根据x=0，x2+bx+c=3，
∴c=3，
当x=2时，x2+bx+c=3，
∴4+2b+3=3，
∴b=﹣2，
∴当x=1时，x2+bx+c=1﹣2+3=2．
故答案为a=1，b=﹣2，c=3．

例题6：甲、乙两人共同解方程组，由于甲错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，
（1）求出a，b的值；
（2）求2a﹣3b+5的立方根；
（3）此方程组正确的解应该是多少？
解：（1）将x=﹣3，y=﹣1代入②得：﹣12+b=﹣2，即b=10，
将x=5，y=4代入①得：5a+20=15，即a=﹣1；
（2）∵a=﹣1，b=10，
∴2a﹣3b+5=﹣2﹣30+5=﹣27，
则﹣27的立方根为﹣3；
（3）方程组为，
①×2+②得：2x=28，即x=14，
将x=14代入①得：y=5.8，
则方程组的解为．
例题7：已知x，y满足方程组，
（1）用x的代数式表示y；
（2）若不论x取何值，代数式（kx﹣y）（y+x）的值都为常数，求此时k的值以及该代数式的值．
解：（1），
将①式左右两边都乘3得，3x+9y=12﹣3a③，
②+③，得4x+8y=12，即y=﹣x+；
（2）（kx﹣y）（y+x）=（kx+x﹣）（﹣x++x）=[（k+）x﹣]，
当k=﹣时，无论x取何值，代数式（kx﹣y）（y+x）的值都为常数﹣．
例题8：已知关于x、y的方程组，给出下列结论：
①当a=1时，方程组的解也是方程x+y=2的解；
②当x=y时，a=﹣；
③不论a取什么实数，2x+y的值始终不变；
④若z=﹣xy，则z的最小值为﹣1．
请判断以上结论是否正确，并说明理由．
解：关于x、y的方程组，
解得：．
①将a=1代入，得：，
将x=4，y=﹣4代入方程左边得：x+y=0，右边=2，左边≠右边，本选项错误；
②将x=y代入，得：，
即当x=y时，a=﹣，本选项正确；
③将原方程组中第一个方程×3，加第二个方程得：4x+2y=8，
即2x+y=4，不论a取什么实数，2x+y的值始终不变，本选项正确；
④z=﹣xy=﹣（a+3）（﹣2a﹣2）=a2+4a+3=（a+2）2﹣1≥﹣1，
即若z=﹣xy，则z的最小值为﹣1，此选项正确．
故正确的选项有：②、③、④．
考点14：多元一次方程
分析：我们学习了二元一次方程组的解法后，就能解多元一次方程，我们解方程的思路都是消元，但被我们碰到了未知数的个数多于方程组的个数，那么我们并不能解出每一个未知数的值，我们可以解出他们之间的比例关系.然后用遇比例设“k”法解方程.
例题1：三元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．

解：
①+②+③得：2x+2y+2z=12，
x+y+z=6④，
④﹣①得：z=5，
④﹣②得：x=1，
④﹣③得：y=0，
所以原方程组的解为：，
选：C．
例题2：已知是方程组的解，则a+b+c的值是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．无法确定
解：由题意将x=1，y=2，z=3代入方程组得：
，
①+②+③得：a+2b+2b+3c+c+3a=2+3+7，
即4a+4b+4c=4（a+b+c）=12，
则a+b+c=3．
选：A．
例题3：已知x+4y﹣3z=0，且4x﹣5y+2z=0，x：y：z为（　　）
A．1：2：3 B．1：3：2 C．2：1：3 D．3：1：2
解：联立得：，
①×5+②×4得：21x=7z，解得：x=z，代入①得：y=z，
则x：y：z=z：z：z=：：1=1：2：3．
选：A．
例题4：已知，则=　　．
　解：，
①×7﹣②×6得：2x﹣3y=0，
解得：x=y，
①×2+②×3得：11x﹣33z=0
解得：x=3z，
∵x=y，x=3z，
∴y=2z，
∴===．
答案：．
例题5：已知，xyz≠0，求的值．
解：，
整理得，
解得x=，
代入===．

例题6：在等式y=ax2+bx+c中，当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=6时，y=60，求a、b、c的值．

解：将x=﹣1，y=0；x=2，y=3；x=6，y=60，分别代入等式得：，
②﹣①得：3a+3b=3，即a+b=1④，
③﹣①得：35a+7b=60⑤，
⑤﹣④×7得：28a=53，即a=，
将a=代入④得：b=﹣，
将a=，b=﹣代入①得：c=﹣．