高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.3 利用导数解决实际问题课后练习题

【基础】6.3 利用导数解决实际问题优质练习

一．单项选择

1．若一个四棱锥底面为正方形, 顶点在底面的射影为正方形的中心, 且该四棱锥的体积为,当其外接球的体积最小时, 它的高为（   ）

A．                 B．                C．               D．

2．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为s=t4-t3+2t2，那么速度为零的时刻是　(　　)

A.1秒末                      B.0秒

C.4秒末                      D.0，1，4秒末

3．某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则该生产厂家获取的最大年利润为（   ）

A．300万元 B．252万元 C．200万元 D．128万元

4．在日常生活中，石子是我们经常见到的材料. 现有一棱长均为3的正四棱锥石料的顶角和底面一个角损坏，某雕刻师计划用一平行于底面的截面截四棱锥分别交，，，于点，，，，做出一个体积最大的新的四棱锥，为底面的中心，则新四棱锥的表面积为（    ）

A． B． C． D．

5．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为(　　)

A.     B.      C.     D．2

6．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20厘米，要使其体积最大，则其高应为（    ）厘米．

A．    B．100      C．20         D．

7．如果圆柱截面的周长l为定值，则体积的最大值为(　　)．

A. 3π   B. 3π

C. 3π   D. 3π

8．一矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图像上，如图，则此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（   ）

A．        B．        C．        D．

9．如图，已知点沿着半径为的半圆弧按逆时针方向从点行进到点（不含），由，线段围成的平面图形的面积记为，设，.则的图象为（    ）

A． B．

C． D．

10．已知函数在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则的取值范围为

    A．      B．       C．（1，2）      D．（1，4）

11．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为(　　)．

A．2πr2   B．πr2 

C．4πr   D. πr2

12．设球的半径为时间t的函数．若球的体积以均匀速度C增长，则球的表面积的增长速度与球半径（ ）

A．成正比，比例系数为C B．成正比，比例系数为2C

C．成反比，比例系数为C D．成反比，比例系数为2C

13．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x，0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是(　　)

A．150    B．200

C．250    D．300

14．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒．则所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为(　　)

A．6 cm　　　　　　 B．8 cm

C．10 cm    D．12 cm

15．已知可导函数满足，则当时，和的大小关系为（    ）

（A）                  （B）

（C）                  （C）

参考答案与试题解析

1．【答案】A

【解析】设四棱锥底面正方形边长为，四棱锥高为，外接球半径为，则，所以，因为，所以时取唯一一个极小值，也是最小值，即外接球的体积最小，因此选A.

考点：导数实际应用

【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′（x）＞0或f′（x）＜0求单调区间；第二步：解f′（x）＝0得两个根x1．x2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．

2．【答案】D

【解析】∵s′=t3-5t2+4t，令s′=0，得t1=0，t2=1，t3=4，故选D.

3．【答案】C

【解析】求得函数的导数，得到函数的单调性，进而求解函数的最大值，即可得到答案.

【详解】

由题意，函数，所以，

当时，，函数为单调递增函数；

当时，，函数为单调递减函数，

所以当时，有最大值，此时最大值为200万元，故选C.

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记函数的导数在函数中的应用，准确判定函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

4．【答案】A

【解析】根据题意，结合棱锥的性质可知其为相似几何体，得到其边的比值，利用锥体体积公式，列出式子，应用导数求得最值，之后应用表面积公式求得结果.

详解：因为平面与平面平行，

所以四边形与四边形相似，

所以四边形为正方形，

设，所以，

易知四棱锥与四棱锥的高的比为，

设，，

则当时，，当时，，

所以时，取得最大值.此时，

所以四棱锥的表面积为.

故选：A.

【点睛】

该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有相似几何体，锥体的体积公式，锥体的表面积公式，应用导数解决其最值，属于中档题目.

5．【答案】C

【解析】设该直棱柱的底面边长为x，高为h，表面积为S，则V＝x2·h，h＝，表面积S＝x2＋3·x·，S′＝x＋，令S′＝0，得x＝.故选C.

6．【答案】A

【解析】设高为，体积为，所以有

得，在上递增，在上递减，所以高为时取得最大值

考点：导数求最值

7．【答案】A

【解析】设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，

∴h＝，

V＝πr2h＝πr2－2πr3.

则V′＝lπr－6πr2，

令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>0，

∴r＝是其唯一的极值点．

∴当r＝时，V取得最大值，最大值为3π.

8．【答案】A

【解析】设是函数图像上两点的横坐标,则,且几何体的高为,半径为,由此可得,即,令,则,几何体的体积为,由于,令可得,故,应选A.

考点：导数在实际生活中的运用．

【易错点晴】本题重在考查导数在实际生活中的运用.解答本题时,先依据题设条件构建目标函数,进而确定函数的定义域,最后运用导数使得问题巧妙获解.值得强调的是,解答本题的关键是建构目标函数,目标函数中的变量是两个,然后利用纵坐标相等化为一个变量,进而借助换元法将变量进一步化为可导函数的变量,最后借助导数求出函数的最大值是本题获解.

9．【答案】A

【解析】由，，可得，进一步可得，通过分析的导函数即可得到答案.

详解：取AB的中点O，连接，因为，，

所以，则，

所以，，

，，这说明在上是递减的，即

的图象上点的切线的斜率大于0且随x增大越来越小，故选项A中的图象符合.

故选：A

【点睛】

本题考查由解析式选择函数图象的问题，涉及到导数的几何意义，考查学生逻辑推理能力，数形结合的思想，是一道中档题.

【解析】

11．【答案】A

【解析】设内接圆柱的高为h，底面半径为x，则由组合体的知识得h2＋(2x)2＝(2r)2，又圆柱的侧面积S＝2πxh，

∴S2＝16π2(r2x2－x4)，(S2)′＝16π2(2r2x－4x3)，

令(S2)′＝0得x＝r(x＝0舍去)，

∴Smax＝2πr2，故选A.

12．【答案】D

【解析】详解：由题意可知球的体积为,

则，由此可得,

而球的表面积为，

所以.

故选：D.

【点晴】

本题考查球的表面积，考查逻辑思维能力，计算能力.求出球的表达式，然后求球的导数，推出，利用面积的导数是体积，求出球的表面积的增长速度与球的半径的比例关系.本题是将几何体的表面积和导数的知识结合到一起，对学生的能力考查比较着重，综合性较强.

13．【答案】D

【解析】由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20000，0≤x≤390.由P′(x)＝－＋300，令P′(x)＝0，得x＝300.当0≤x<300时，P′(x)>0，当300<x≤390时，P′(x)<0，所以当x＝300时，P(x)最大．

14．【答案】B

【解析】设截去小正方形的边长为x cm，铁盒的容积为V cm3.【题文】所以V＝x(48－2x)2(0<x<24)，

V′＝12(x－8)(x－24)．令V′＝0，则x＝8∈(0，24)，且此是所做铁盒的容积最大．

【解析】