高中人教B版 (2019)6.3 利用导数解决实际问题同步测试题

【名师】6.3 利用导数解决实际问题课堂练习

一．单项选择

1．有一个圆锥，其母线长为,要是体积最大，则该圆锥的高为（   ）

A.        B.        C.        D.

2．设球的半径为时间t的函数．若球的体积以均匀速度C增长，则球的表面积的增长速度与球半径（ ）

A．成正比，比例系数为C B．成正比，比例系数为2C

C．成反比，比例系数为C D．成反比，比例系数为2C

3．一个边为的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖方盒，当无盖方盒的容积最大时，的值应为（   ）

A.        B.        C.        D.

4．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　)

A．8    B.    C．－1   D．－8

5．已知定义在上的奇函数满足，则（   ）

A.     B.

C.     D.

6．一矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图像上，如图，则此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（ ）

A.     B.     C.     D.

7．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是

(　　)．

A. cm2   B．4  cm2

C．3 cm2   D．2 cm2

8．如图所示，一质点在平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在轴上的投影点的运动速度的图象大致为(    )

9．某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每平方米的造价为15元，箱侧面每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为(　　)

A． 900元    B． 840元    C． 818元    D． 816元

10．函数的大致图象是

11．已知函数f(x)在R上可导，且f(x)=x2+2xf ′(2），则与的大小关系为（   ）

A. f（-1）= f（1）                B. f（-1）＞f（1）

C. f（-1）＜ f（1）               D.不确定

12．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20厘米，要使其体积最大，则其高应为（    ）厘米．

A．    B．100      C．20         D．

13．某公司在甲．乙两地销售一种品牌车,利润（单位：万元）分别为L1=5.06x－0.15 x 2和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（     ）

A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51

14．一艘船的燃料费（单位：元/时）与船速（单位：）的关系是.若该船航行时其他费用为540元/时，则在的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为(    )

A． B． C． D．

15．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为s=t4-t3+2t2，那么速度为零的时刻是　(　　)

A.1秒末                      B.0秒

C.4秒末                      D.0，1，4秒末

参考答案与试题解析

1．【答案】C

【解析】设圆锥的底面半径为，高为，则，即，圆锥的体积为，所以，令，则，因为时，，，所以，体积取得最大值，故选C．

【考点】圆锥的体积公式；利用导数研究函数的单调．极值与最值．

【方法点晴】本题主要考查了圆锥的体积公式．利用导数研究函数的单调．利用的导数研究函数的极值与最值等知识点的应用，着重考查了函数与方程思想的综合应用．学生的推理与运算能力及分析问题和解答问题的能力，本题的解答中设圆锥的底面半径为，高为，得出，得到圆锥的体积为，即可利用导数判定处函数的单调性与极值最值．

2．【答案】D

【解析】详解：由题意可知球的体积为,

则，由此可得,

而球的表面积为，

所以.

故选：D.

【点晴】

本题考查球的表面积，考查逻辑思维能力，计算能力.求出球的表达式，然后求球的导数，推出，利用面积的导数是体积，求出球的表面积的增长速度与球的半径的比例关系.本题是将几何体的表面积和导数的知识结合到一起，对学生的能力考查比较着重，综合性较强.

3．【答案】C

【解析】因无盖方盒的底面边长为,高为,其容积,则,当时,,函数单调递增; 当时,,函数单调递减.故当时, 无盖方盒的容积最大,故应选C.

考点：棱柱的体积与导数在实际生活中的运用.

【易错点晴】本题以现实生活中的一个最为常见的无盖方盒的做法为背景,考查的是导函数与函数的单调性之间的关系的应用问题.解答本题的关键是如何选取变量建立函数关系,最后再运用导数进行求解.解答时,设无盖方盒的,高为,底面边长为,进而求该无盖方盒的容积,然后运用导数求得当时, 无盖方盒的容积最大,从而使得问题最终获解.

4．【答案】C

【解析】原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.

5．【答案】D

【解析】分析：构造函数，利用导数以及已知条件判断函数的单调性，然后转化求解即可．

详解：设g（x）=，定义在R上的奇函数f（x），所以g（x）是奇函数，x＞0时，

g′（x）=，…，因为函数f（x）满足2f（x）-xf'（x）＞0（x＞0），所以g′（x）＞0，所以g（x）是增函数，

可得：  故选：D.

点睛：本题考查函数的导数的应用，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．

6．【答案】A

【解析】设是函数图像上两点的横坐标,则,且几何体的高为,半径为,由此可得,即,令,则,几何体的体积为,由于,令可得,故,应选A.

【考点】导数在实际生活中的运用．

【易错点晴】本题重在考查导数在实际生活中的运用.解答本题时,先依据题设条件构建目标函数,进而确定函数的定义域,最后运用导数使得问题巧妙获解.值得强调的是,解答本题的关键是建构目标函数,目标函数中的变量是两个,然后利用纵坐标相等化为一个变量,进而借助换元法将变量进一步化为可导函数的变量,最后借助导数求出函数的最大值是本题获解.

7．【答案】D

【解析】设一个正三角形的边长为x cm，则另一个正三角形的边长为(4－x)cm，则这两个正三角形的面积之和为S＝x2＋ (4－x)2＝ [(x－2)2＋4]≥2 (cm2)，故选D.

8．【答案】B

【解析】

9．【答案】D

【解析】设箱底一边的长度为，箱子的总造价为元，得到关于的函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可得到答案．

【详解】

设箱底一边的长度为x m，箱子的总造价为l元，

根据题意，得＝15×＋12×2＝240＋72 (x>0)，

72.

令0，解得x＝4或x＝－4(舍去)．

当0<x<4时， <0；当x>4时， >0.

故当x＝4时， 有最小值816.

因此，当箱底是边长为4 m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．

故选D.

【点睛】

本题主要考查了导数的实际应用问题，其中解答中认真审题，得到造价关于的函数，利用导数求解函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

【解析】

【解析】

12．【答案】A

【解析】设高为，体积为，所以有

得，在上递增，在上递减，所以高为时取得最大值

考点：导数求最值

13．【答案】B

【解析】主要考查构建函数模型，利用导数解决生活中的优化问题．

解：设甲地销售辆，依题意L1+L2=5.06－0.15 +2（15－）==，所以当取整数10时，最大利润为45.6，故选B．

14．【答案】A

【解析】根据题意列出总费用与航速的关系,再求导分析函数的单调性与最值求解即可.

【详解】

由题, 的航程需要小时,故总的费用.

即.故.

令有.故当时,单调递减,

当时,单调递增. 使得航行的总费用最少,航速应为

故选：A

【点睛】

本题主要考查了利用导数解决实际问题中的最值问题,需要根据题意列出关于航速的函数解析式,再求导分析单调性与最值即可.属于中档题.

15．【答案】D

【解析】∵s′=t3-5t2+4t，令s′=0，得t1=0，t2=1，t3=4，故选D.