高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.1.3 组合与组合数课时训练

【精挑】3.1.3 组合与组合数-2课时练习

一．单项选择

1．记者要为4名志愿者都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（    ）

A．144种 B．960种 C．72种 D．288种

2．名大学生被分配到所学校实习，每所学校至少分配一名大学生，则不同的分配方案有（    ）

A． B． C． D．

3．为做好社区新冠疫情防控工作，需将四名志愿者分配到甲．乙．丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有（    ）种

A．36 B．48 C．60 D．16

4．要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（    ）

A．2种 B．3种 C．6种 D．8种

5．某年级有6个班级，3位数学教师，每位教师任教2个班级，则不同分法的种数有（    ）

A．15 B．45 C．90 D．540

6．一个五位的自然数称为“凸”数，当且仅当它满足，（如12430，13531等）.则在所有五位数中“凸”数的个数是（    ）.

A．8568 B．2142

C．2139 D．1134

7．某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有(   )

A．16种 B．36种 C．42种 D．60种

8．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则（    ）

A．某学生从中选3门，共有30种选法

B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法

C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法

D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法

9．若6把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为（    ）

A． B． C． D．

10．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（  ）

A．48 B．60 C．72 D．120

11．求的值为（    ）

A．0 B．1 C．360 D．120

12．2020年4月8日武汉解除封城，某社区为预防新冠肺炎疫情反弹，决定从本社区的5男3女骨干干部中，选派2男1女组成一个督查巡视小组，对本社区的后续工作每天进行巡视督导，则不同的选法共有（    ）

A．12种 B．20种 C．30种 D．36种

13．某校开设类选修课3门，类选修课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中至少各选一门，则不同的选法共有（    ）

A．30种 B．35种 C．42种 D．60种

14．从0，2，4，6，8和1，3，5，7，9两组数中各取两个数，组成无重复数字的四位偶数的个数是（    ）

A．720 B．1120 C．1200 D．1680

15．某台小型晚会由个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位．节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

16．4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，则恰有2个空盒的放法有（    ）

A．144种 B．120种 C．84种 D．60种

17．夏日炎炎，雪糕成为很多人的解暑甜品，一个盒子里装有10个雪糕，其中草莓味2个，巧克力味3个，芒果味5个，假设三种口味的雪糕外观完全相同，现从中任意取3个，则恰好有一个是芒果味的概率为（    ）

A． B． C． D．

18．6名同学到甲．乙．丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（    ）

A．120种 B．90种

C．60种 D．30种

参考答案与试题解析

1．【答案】A

【解析】本题是一个分步问题，采用插空法，首先将4名志愿者排成一列，再将2位老人看成一个整体插到4名志愿者形成的三个空中，然后2位老人内部还有一个排列，根据分步计数原理得到结果．

详解：解：由题意知本题是一个分步问题，采用插空法，

先将4名志愿者排成一列，

再将2位老人看成一个整体插到4名志愿者形成的三个空中（除去两端的），

然后将2位老人排列，

则不同的排法有种．

故选：A．

【点睛】

本题考查分步计数原理，题目中要求两个元素相邻的问题，一般把这两个元素看成一个元素进行排列，注意这两个元素内部还有一个排列，属于基础题．

2．【答案】C

【解析】根据部分平均分组分配问题的求解方法和分步乘法计数原理可计算求得结果.

详解：将人分为人．人．人的三组，共有：种分法，

将三组安排到所学校共有种分法，

由分步乘法计数原理可得：不同的分配方案有种.

故选：.

【点睛】

本题考查排列组合的综合应用问题，主要考查了部分平均分组问题的求解，属于基础题.

3．【答案】A

【解析】根据题意可知必有二名志愿者去同一小区开展工作，结合排列数的定义进行求解即可.

详解：根据题意可知必有二名志愿者去同一小区开展工作，因此有种方式，

所以四名志愿者分配到甲．乙．丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者共有

种方式.

故选：A

【点睛】

本题考查了组合与排列的应用，属于基础题.

4．【答案】C

【解析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.

详解：第一步，将3名学生分成两个组，有种分法

第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法

所以，不同的安排方法共有种

故选：C

【点睛】

解答本类问题时一般采取先组后排的策略.

5．【答案】C

【解析】根据分步计数原理，三位老师依次选2个班级，可得其结果数，然后进行相乘即可.

详解：由题可知

，

故选C.

【点睛】

本题考查简单组合以及分步计数原理，属基础题.

6．【答案】B

【解析】详解：按分成7类，共有

个.

7．【答案】D

【解析】解：某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则有两种情况，

一是在两个城市分别投资1个项目．2个项目，此时有=36种方案，

二是在三个城市各投资1个项目，有=24种方案，

共计有60种方案

8．【答案】CD

【解析】根据排列组合的相邻关系和不相邻关系，以及有限制排列的关系，逐个分析选项即可.

详解：6门中选3门共有种，故A错误；

课程“射”“御”排在不相邻两周，共有种排法，故B错误；

课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有种排法，故C正确；

课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有种排法，故D正确．

故选：CD

【点睛】

本题考查排列组合的应用，属于基础题.

9．【答案】A

【解析】从中任取2把，基本事件总数，从中任取2把能将该锁打开包含的基本事件个数，由此能求出从中任取2把能将该锁打开的概率．

详解：解：6把不同的钥匙中只有2把能打开某锁，

从中任取2把，基本事件总数，

从中任取2把能将该锁打开包含的基本事件个数，

从中任取2把能将该锁打开的概率．

故选：A．

【点睛】

本题考查概率的求法，考古典概型．排列组合等基础知识，考查运算求解能力．推理论证能力，考查函数与方程思想，属于基础题．

10．【答案】A

【解析】对数字分类讨论，结合数字中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论

详解：数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位，

共有个

数字出现在第位时，同理也有个

数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位，

共有个

故满足条件的不同的五位数的个数是个

故选：

【点睛】

本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字分类讨论，属于基础题．

11．【答案】A

【解析】直接由组合数的公式计算可得答案.

详解：

故选：A

【点睛】

本题考查组合数的公式的应用，属于基础题.

12．【答案】C

【解析】根据组合的知识，分别计算男生的选法数和女生的选法数，然后利用分步乘法计数原理，可得结果.

详解：从5名男干部中选出2名男干部，有种选法，

从3名女干部中选出1名女干部，有种选法，

则共有10×3=30种不同的选法.

故选：C

【点睛】

本题考查排列．组合及分步乘法计数原理，属基础题.

13．【答案】A

【解析】根据题意，该同学所选课程共分两类：1门类选修课，2门类选修课；2门类选修课，1门类选修课；分别求出其对应的选法，再求和，即可得出结果.

详解：由题意，该同学所选课程共分两类：

①1门类选修课，2门类选修课；共有种选法；

②2门类选修课，1门类选修课；共有种选法；

综上，不同的选法共有：种.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查分类加法计数原理的应用，属于基础题型.

14．【答案】B

【解析】根据两组数的特点，按取到0和没有取到0进行讨论，然后直接计算即可.

详解：取到0，则组成无重复数字的四位偶数的个数是

没有取到0，则组成无重复数字的四位偶数的个数是

所以所求的结果数为

故选：B

【点睛】

本题考查特殊元素的排列组合问题，审清题意，细心计算，属基础题.

15．【答案】B

【解析】固定节目甲．丙的位置，将节目乙放在第二．三．五个位置中的任何一个位置，其他节目任意排列，利用分步计数原理可得出结果.

详解：由于节目甲必须排在第四位．节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，

则节目乙可放在第二．三．五个位置中的任何一个位置，其他节目任意排列，

由分步计数原理可知，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有种，故选B.

【点睛】

本题考查分步乘法计数原理，在求解排列组合综合问题时，若元素限制条件较多，可优先考虑该元素，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

16．【答案】C

【解析】根据题意，先选出两个空盒，之后可以一个盒放1个，另一个盒放3个，还可以每盒2个，得到结果.

详解：根据题意，可分两种情况，

可得，

故选：C.

【点睛】

该题考查的是有关排列组合的综合题，涉及到的知识点有分步乘法计数原理，分类加法计数原理，在解题的过程中，注意分析清楚对应的结果，属于简单题目.

17．【答案】A

【解析】根据题意得到，计算得到答案.

详解：根据题意：.

故选：A.

【点睛】

本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.

18．【答案】C

【解析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.

详解：首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；

然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；

最后剩下的名同学去丙场馆.

故不同的安排方法共有种.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.