数学选择性必修 第二册3.1.3 组合与组合数综合训练题

【优选】3.1.3 组合与组合数-3优选练习

一．单项选择

1．10名同学合影，站成前排4人后排6人，现摄影师要从后排6人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（    ）

A． B． C． D．

2．如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D四块区域涂色分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同涂法的种数为(　　)

A．400 B．460 C．480 D．496

3．根据党中央关于“精准扶贫，脱贫攻坚”要求，我市从名大学毕业生中选人担任县长助理，则甲．乙至少有人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（    ）

A． B． C． D．

4．某学雷锋小分队要安排3个志愿者小组完成4个社区送温暖活动，每个小组至少去1社区.每个社区由小组完成.则不同的安排方式共有(    )

A．72种 B．18种 C．24种 D．36种

5．为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲．乙．丙在内的名学生中选派名学生参加，要求甲．乙．丙这名同学中至少有人参加，且当这名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的名学生不同的朗诵顺序的种数为（   ）

A． B． C． D．

6．有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数为（    ）

A．120 B．150 C．240 D．300

7．在某次数学测验中，记座号为的同学的考试成绩为，若且满足，则这四位同学考试成绩的所有可能有（    ）．

A．15种 B．20种 C．30种 D．35种

8．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有（    ）

A．45种 B．36种 C．28种 D．25种

9．从甲．乙．丙．丁．戊5个人中选1名组长1名副组长，但甲不能当副组长，不同的选法种数是（   ）

A．6 B．10 C．16 D．20

10．在外国人学唱中文歌曲的大赛中，有白皮肤选手6人，黑皮肤选手6人，黄皮肤选手8人，一等奖规定至少2个至多3个名额，且要求一等奖获奖选手不能全是同种肤色，则一等奖人选的所有可能的种数为（    ）

A．420 B．766 C．1080 D．1176

11．直线，在上有4个点，在上有6个点，把这些点作为端点连成线段，这些线段在与之间最多有交点（    ）.

A．24个 B．45个 C．80个 D．90个

12．满足，且的有序数组共有（    ）个.

A． B． C． D．

13．学校开设了6门选修课，要求每个学生从中选修4门，则一个学生有多少种不同的选法（    ）

A．24 B．20 C．10 D．15

14．若是正奇数，则被9除的余数为（   ）

A．2 B．5 C．7 D．8

15．2020年春节期间，因新冠肺炎疫情防控工作需要，．两社区需要招募义务宣传员，现有．．．．．六位大学生和甲．乙．丙三位党员教师志愿参加，现将他们分成两个小组分别派往．两社区开展疫情防控宣传工作，要求每个社区都至少安排1位党员教师及3位大学生，且由于工作原因只能派往社区，则不同的选派方案种数为（    ）

A．60 B．90

C．120 D．150

16．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有不同的选法种数为（    ）

A．420 B．660 C．840 D．880

17．为了落实“精准扶贫”工作，县政府分派5名干部到3个贫困村开展工作，每个贫困村至少安排一名干部，则分配方案的种数有（    ）

A．540 B．240 C．150 D．120

18．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（    ）

A．20 B．24 C．25 D．26

参考答案与试题解析

1．【答案】C

【解析】分两步：1.首先先从后排6人中选2人出来；2.将这2人与前排4人排列，且前排4人的相对顺序不变，可以看成有6个位置，先选2个位置排这2人，其他4人按原顺序排列，再由乘法原理计算即可.

详解：首先先从后排6人中选2人出来，共种不同选法，将这2人与前排4人排列，且前排4

人的相对顺序不变，可以看成有6个位置，先选2个位置排这2人有种不同排法，其余

位置按4人原顺序排好只有1种排法，由乘法原理，得不同调整方法的总数是.

故选：C

【点睛】

本题考查排列与组合的应用，涉及到定序排列问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.

2．【答案】C

【解析】分析：本题是一个分类计数问题，只用三种颜色涂色时，有种方法，用四种颜色涂色时，有种方法，根据分类计数原理得到结果.

详解：只用三种颜色涂色时，有种方法，

用四种颜色涂色时，有种方法，

根据分类计数原理得不同涂法的种数为120+360=480.

故答案为：C.

点睛：（1）本题主要考查计数原理，考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)排列组合常用的方法有一般问题直接法．相邻问题捆绑法．不相邻问题插空法．特殊对象优先法．等概率问题缩倍法．至少问题间接法．复杂问题分类法．小数问题列举法.

3．【答案】C

【解析】根据题意可知，丙没有入选，则只需在其余名大学毕业生中任选人的选法种数减去甲．乙两人都没有被选中的选法种数，进而可求得结果.

详解：根据题意可知，丙没有入选，则只需在其余名大学毕业生中任选人的选法种数减去甲．乙两人都没有被选中的选法种数，

因此，所求的选法种数为.

故选：C.

【点睛】

本题考查人员的安排问题，利用间接法求解较为简单，考查计算能力，属于基础题.

4．【答案】D

【解析】将四个社区分成三组，再分配到三个学雷锋小组，按分步计数原理即可计算结果.

详解：将四个社区分成三组，有种分法，

再将其分配给三个小组，有种安排方式，

由乘法计数原理可得，共有36种安排方式.

故选：D.

【点睛】

本题考查了分步计数原理，分组分配问题，属于基础题.

5．【答案】B

【解析】由题知结果有三种情况．甲．乙．丙三名同学全参加，有种情况，其中甲．乙相邻的有种情况，所以甲．乙．丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻顺序有种情况；甲．乙．丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有种情况；甲．乙．丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有种情况．则选派的4名学生不同的朗诵顺序有种情况，故本题答案选

6．【答案】B

【解析】由题意，分“其中1人3本，另2人每人一本”．“其中1人一本，另2人每人2本”两种情况讨论，由分类计数原理结合排列．组合的知识即可得解.

详解：有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，分两种情况：

①其中1人3本，另2人每人一本，有种；

②其中1人一本，另2人每人2本，有种．

所以不同的分法有种.

故选：B．

【点睛】

本题考查了计数原理的应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，属于中档题.

7．【答案】A

【解析】四位同学的成绩不同，先从中6个数取出4个数，而四位同学成绩有大小关系，每取出4个数对应一种情况，即可得出所有可能为.

详解：且满足，

则这四位同学考试成绩的所有可能有.

故选：A.

【点睛】

本题考查组合应用问题，定序相当于无序是解题的关键，属于基础题.

8．【答案】C

【解析】由题意可知，10 级楼梯要8 步走完，这8步中有6步是一步上一级，2步是一步上两级，所以此问题转化为从8步中选2步即为答案.

详解：由题意，这8步中有6步是一步上一级，2步是一步上两级，只需确定这8步中，哪2步是一步上两级即得答案为，

故选：C.

【点睛】

此题考查排列组合的实际应用，解题的关键是看清楚这个实际问题相当于数学中的什么问题，注意转化，属于中档题.

9．【答案】C

【解析】先选副组长，．故选C．

考点：组合的应用．

10．【答案】D

【解析】分别计算一等奖两个名额和三个名额的情况即可得解.

详解：一等奖两个名额，一共种，

一等奖三个名额，一共种，

所以一等奖人选的所有可能的种数为1176.

故选：D

【点睛】

此题考查计数原理的综合应用，需要熟练掌握利用组合知识解决实际问题，准确分类，结合对立事件求解.

11．【答案】D

【解析】从上取2点，从上取2点，这四个点构成的线段在与之间只有一个交点，由此可得最多的交点个数．

详解：从上取2点，从上取2点，这四个点构成的线段在与之间只有一个交点，所以交点个数最多为．

故选：D．

【点睛】

本题考查组合的应用，解题关键是确定交点的来源．在交点个数最多的情况下，一个交点与两条相交线段对应，与这两条线段的四个顶点对应，反过来这样的四点唯一确定一个交点，从而得到解法．

12．【答案】A

【解析】由于数组中数字的大小确定，从1到9共9个数任取4个数得一个有序数组，从而可得所求个数．

详解：∵数组中数字的大小确定，从1到9共9个数任取4个数得一个有序数组，所有个数为．

故选：A．

【点睛】

本题考查组合的应用，确定任取4个数与数组个数的关系是解题关键．

13．【答案】D

【解析】直接从6门任意选4门用组合数计算即可．

详解：学校开设了6门任意选修课，要求每个学生从中选修4门，共有种不同选法．

故选：D

【点睛】

本题考查了简单的组合问题，属于基础题．

14．【答案】C

【解析】根据二项式定理化简，再根据题意对化简的式子进行变形得到，再次展开进行求解即可.

详解：解：由题可知：原式=

，

因为为正奇数，所以上式可化简为：

所以该式除以9，余数为：7.

故选：C.

【点睛】

本题考查运用二项式定理解决余数问题，考查代数式的恒等变形能力，考查了数学运算能力.

15．【答案】A

【解析】将问题分为社区选派人和人两种情况，分别计算出两种情况下的选派方案种数，根据分类加法计数原理可求得结果.

详解：将选派方案分为社区选派人和人两种情况，

当社区选派人时，必由名党员教师，位大学生构成，共有：种选派方案；

当社区选派人时，必由名党员教师，位大学生构成，共有：种选派方案；

由分类加法计数原理可知：不同的选派方案种数有种.

故选：.

【点睛】

本题考查分类加法计数原理的应用，关键是能够将所给问题进行准确分类；本题易错点是忽略每个社区大学生人数的最低要求，造成求解错误.

16．【答案】B

【解析】利用间接法可得答案.

详解：从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，

共有种选法，

其中不含女生的有种选法，

所以服务队中至少有1名女生的选法种数为.

故选：B

【点睛】

本题考查了有限制条件的排列组合综合题，使用间接法是解题关键，属于基础题.

17．【答案】C

【解析】根据分派到3个贫困村得人数，分成两类，再分类计数相加即可得到答案.

详解：根据题意分派到3个贫困村得人数为或，

当分派到3个贫困村得人数为时，有种；

当分派到3个贫困村得人数为时，有种，

所以共有种.

故选：C

【点睛】

本题考查了两个计数原理和简单的排列组合问题，属于基础题.

18．【答案】D

【解析】利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为，再利用组合数的计算公式可得所求的种数.

详解：混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（种），

故选：D.

【点睛】

本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题.