数学必修 第一册2.1.1 等式的性质与方程的解集练习题

【优质】2.1.1等式的性质与方程的解集随堂练习

一、单选题

1．曾侯乙编钟现存于湖北省博物馆，是世界上目前已知的最大、最重、音乐性能最完好的青铜礼乐器，全套编钟可以演奏任何调性的音乐并做旋宫转调．其初始四音为宫、徵、商、羽．我国古代定音采用律管进行“三分损益法”．将一支律管所发的音定为一个基音，然后将律管长度减短三分之一（即“损一”）或增长三分之一（即“益一”），即可得到其他的音．若以宫音为基音，宫音“损一”得徵音，徵音“益一”可得商音，商音“损一”得羽音，则羽音律管长度与宫音律管长度之比是（    ）

A． B． C． D．

2．将代数式因式分解的结果为

A．(x+5)(x－1) B．(x－5)(x+1) C．(x+5)(x+1) D．(x－5)(x－1)

3．已知函数，其中的图像关于直线对称，据此可推测，对任意的非零实数关于的方程的解集都不可能是（    ）

A． B． C． D．

4．现定义运算“★”：对于任意实数、，都有，如，若，则实数的值为（    ）

A．3或 B．或1 C． D．

5．若关于的一元一次方程的解集是，则的值是

A． B．2 C． D．0

6．已知,，则

A． B． C． D．

7．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三二税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何？”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤，则此人总共持金（    ）

A．2斤 B．斤 C．斤 D．斤

8．一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果这个两位数加上45，那么恰好成为把原两位数的个位数字和十位数字对调后组成的数，那么原两位数是

A．16. B．25 C．52 D．61

9．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（    ）

A．10名 B．18名 C．24名 D．32名

10．某人的智能手机密码是一个六位数字，将前三位数组成的数与后三位数组成的数相加得741，将前两位数组成的数与后四位数组成的数相加得633，该密码对应的六位数是（       ）

A．201126 B．210612 C．110631 D．120621

11．已知，则下列比例式成立的是（    ）

A． B． C． D．

12．多项式的一个因式为（      ）

A． B． C． D．

13．关于x的一元二次方程(m-2)x2+x+m2-4=0有一个根为0，则m的值应为（    ）

A．2 B．-2

C．2或-2 D．1

14．在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，则方程的所有解的和为（    ）

A． B．0 C．1 D．2

15．阅读材料：

对于多项式可以直接用公式法分解为的形式.但对于多项式就不能直接用公式法了，我们可以根据多项式的特点，在中先加上一项，再减去这项，使整个式子的值不变.

解题过程如下：

（第一步）

（第二步）

（第三步）

（第四步）

根据上述材料，回答问题.

上述因式分解的过程，从第二步到第三步，其中用到的因式分解方法是（    ）

A．提公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 D．十字相乘法

参考答案与试题解析

1．C

【分析】根据题意，设出宫音的律管长度，表示出羽音的律管长度，作比即可.

【详解】设以宫音为基音的律管长度为，则徵音的律管长度为，

商音的律管长度为，羽音的律管长度为，

所以，羽音律管长度与宫音律管长度之比是.

故选：C.

2．A

【分析】利用十字相乘法即可求解.

【详解】=(x+5)(x－1)

故选A.

【点睛】本题主要考查因式分解，关键是十字相乘法、提公因式、平方差，完全平方（和）差公式等进行分解，属于基础题.

3．D

【分析】方程不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项.

【详解】设关于的方程有两根，即或.

而的图象关于对称，因而或的两根也关于对称．而选项D中.

故选：D.

【点睛】方法点睛：

对于形如的方程（常称为复合方程），通过的解法是令，从而得到方程组，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征.

4．A

【分析】根据新定义运算列方程，解一元二次方程求得实数的值.

【详解】对于任意实数、，都有，，，

，，因式分解得，，；

故选A

【点睛】本小题主要考查新定义运算的理解和运用，考查一元二次方程的解法，属于基础题.

5．B

【分析】先解得方程根为，令其等于1即可得解.

【详解】解得.又由题意得是方程的解，所以，即.

故选B

【点睛】本题主要考查了解一次方程，属于基础题.

6．C

【解析】先求得集合的元素，由此求得补集.

【详解】依题意，所以，故，故选C.

【点睛】本小题主要考查集合补集的概念及运算，考查一元二次方程的解法，属于基础题.

7．C

【解析】设总共持金斤,再根据题意列式求解即可.

【详解】设总共持金斤,再根据过5关后剩 斤列式计算即可.

由题得.

即

故选：C

【点睛】本题主要考查了方程列式求解的方法,属于基础题型.

8．A

【分析】设原两位数的个位数字为，十位数字为，则，

从而得到结果．

【详解】设原两位数的个位数字为，十位数字为，则这个两位数为，

由题意得

解得

所以原两位数为.

故选A.

【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，两位数的表示方法，考查了阅读理解能力与计算能力．

9．B

【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.

【详解】由题意，第二天新增订单数为，

，故至少需要志愿者名.

故选：B

【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.

10．D

【分析】设该密码对应的六位数字是abcdef，根据题意，由求解.

【详解】设该密码对应的六位数字是abcdef，

由题意得：

即，

解得，

所以该密码对应的六位数字是120621

故选：D

11．B

【分析】由等式的性质可判断各选项的正误.

【详解】因为，则，则，，故B选项正确，ACD选项错误.

故选：B.

12．B

【分析】将多项式因式分解，由此确定正确选项.

【详解】依题意，所以多项式的因式为，.

故选：B

【点睛】本小题主要考查多项式因式分解，属于基础题.

13．B

【分析】将一元二次方程的根代入方程，结合二次项系数不为，可求出m的值．

【详解】∵关于x的一元二次方程(m-2)x2+x+m2-4=0有一个根为0，

∴m2-4=0且m-2≠0， 解得m=-2.

故选：B.

【点睛】本题考查一元二次方程的应用，考查学生计算能力，属于基础题．

14．C

【分析】根据新定义运算列方程，因式分解后求得方程的解，进而求得所有解的和.

【详解】根据题意得，整理得，

即，即，解得或，，

方程的所有解的和为1

故选C

【点睛】本小题主要考查新定义运算的理解和运用，考查一元二次方程的解法，属于基础题.

15．C

【分析】根据第二步到第三步，前面三项合成完全平方公式，后面两项为指数运算，由此确定正确选项.

【详解】由题知从第二步到第三步用到的因式分解方法是完全平方公式法.

故选C.

【点睛】本小题主要考查因式分解方法的识别，属于基础题.