山东省烟台市芝罘区（五四制）2023届九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

2022-2023学年山东省烟台市芝罘区九年级第一学期期中

数学试卷（五四学制）

一、选择题（每题3分，共36分）

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列等式成立的是（　　）

A．sinA＝sinB B．cosA＝cosB C．sinA＝cosB D．tanA＝tanB

2．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（　　）

A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）

3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinA＝，则BC＝（　　）

A．5 B．10 C．45 D．

4．抛物线y＝x2+6x+5可由抛物线y＝x2平移得到，平移方法是（　　）

A．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位 

B．先向左平移6个单位，再向上平移5个单位 

C．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位 

D．先回右平移3个单位，再向上平移1个单位

5．已知tanA＝0.85，用计算器求∠A的大小，下列按键顺序正确的是（　　）

A． 

B． 

C． 

D．

6．厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的中柱AD（D为底边中点）长10米，∠B＝36°，则跨度BC的长是（　　）

A．米 B．米 C．20tan36°米 D．10tan36°米

7．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝（x﹣1）2+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系用“＜”连接正确的是（　　）

A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1

8．已知直线l1∥l2∥l3，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含45°的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则sinα的值是（　　）

A． B． C． D．

9．在同一直角坐标系内，直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+8x+b的图象可能是（　　）

A． B． 

C． D．

10．如图，已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上，则cosA的值为（　　）

A． B． C． D．

11．校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高h（m）与水平距离x（m）之间的函数关系满足h＝﹣x2+x+，则该运动员掷铅球的成绩是（　　）

A．6m B．10m C．8m D．12m

12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（　　）

A．①③ B．②③ C．③④ D．②④

二、填空（每题3分，共18分）

13．函数y＝  的自变量x的取值范围是　   　．

14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，则tanB的值是 　   　．

15．在平面直角坐标系中，若函数y＝x2+2x﹣m的图象与坐标轴只有一个交点，那么m的取值范围是 　   　．

16．下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯次点B到点C上升的高度h是　   　m．

17．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，则tan∠EAF的值＝　   　．

18．已知函数y＝﹣（x﹣1）2+h的图象过点A（3，a）和B（m，b），且a＜b，则m的取值范围是 　   　．

三、解答题（共7道题，满分66分）

19．计算：3tan30°+2sin60°﹣（cos60°）﹣1．

20．已知抛物线y＝﹣x2+2x+3．

（1）求出这个抛物线的对称轴方程和顶点坐标；

（2）在给定的坐标系中画出这条抛物线，设抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，求△ABC的面积．

21．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们西北方向距离6海里的B处有一艘捕鱼船正在沿南偏西75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以14海里的速度沿北偏西某一方向航行，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．

22．如图，一个高3米的涵洞的剖面示意图为一段抛物线，涵洞底部宽AB＝6米，涵洞内水面宽度MN＝4米．

（1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数关系式；

（2）求涵洞内的水深．

23．如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1°）

（参考数据表）

24．为满足市场需求，某超市购进一种品牌糕点，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．

（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；

（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？

（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种糕点的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售糕点多少盒？

25．如图①，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1，D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m．

（1）求抛物线的表达式；

（2）求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；

（3）过点D向y轴作垂线（如图②），垂足为点E，是否存在点D，使△CDE与△AOC相似？若存在，请求出点D横坐标m的值；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题（每题3分，共36分）

1-12 CBACA  BDACD  BB

二、填空（每题3分，共18分）

13．x≥﹣1且x≠2．

14．．

15．m＜﹣1．

16．4

17．

18．﹣1＜m＜3．

三、解答题（共7道题，满分66分）

19.解：原式＝3×+2×﹣

＝﹣2

＝2﹣2．

20．解：（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点坐标是（1，4），对称轴是直线x＝1；

（2）画图象：

在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，

∴（x﹣3）（x+1）＝0，

解得x1＝3，x2＝﹣1，

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

又∵C（0，3），

∴AB＝4，OC＝3，

∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6．

21．解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时，

由题意得：∠ABC＝45°+75°＝120°，AB＝6海里，BC＝10x海里，AC＝14x海里．

过点A作AD⊥CB交其延长线于点D，

在Rt△ABD中，AB＝6海里，∠ABD＝180°﹣∠ABC＝60°．

∴BD＝ABcos60°＝3（海里），AD＝ABsin60°＝（海里），

∴CD＝（10x+3）海里，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：（14x）2＝（10x+3）2+（）2，

解得：x1＝1，x2＝（不合题意，舍去），

答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为1小时．

22．解：（1）如图，取AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，过点O且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，

设抛物线与y轴交于点C，则C（0，3），

∴A（﹣3，0），B（3，0），

设抛物线的解析式为：y＝ax2+c，

∴，解得．

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3．

（2）设MN与y轴相交于点D，由抛物线的对称轴可知，D为MN的中点，

∴DM＝DN＝2，

令x＝2，则y＝﹣×22+3＝．

∴涵洞内的水深为m．

23．解：如图：

由题意得：

DF＝AB＝0.15（米），

∵斜坡AC的坡比为1：2，

∴＝，＝，

∴BC＝2AB＝1.5（米），CD＝2DF＝0.3（米），

∵ED＝2.55米，

∴EB＝ED+BC﹣CD＝2.55+1.5﹣0.3＝3.75（米），

在Rt△AEB中，tan∠AEB＝＝＝，

查表可得，∠AEB≈11.310°，

∴为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于12度．

24．解：（1）由题意得，y＝700﹣20（x﹣45）＝﹣20x+1600；

（2）P＝（x﹣40）（﹣20x+1600）＝﹣20x2+2400x﹣64000＝﹣20（x﹣60）2+8000，

∵x≥45，a＝﹣20＜0，

∴当x＝60时，P最大值＝8000元，

即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；

（3）由题意，得﹣20（x﹣60）2+8000＝6000，

解得x1＝50，x2＝70．

∵抛物线P＝﹣20（x﹣60）2+8000的开口向下，

∴当50≤x≤70时，每天销售糕点的利润不低于6000元的利润．

又∵x≤58，

∴50≤x≤58．

∵在y＝﹣20x+1600中，k＝﹣20＜0，

∴y随x的增大而减小，

∴当x＝58时，y最小值＝﹣20×58+1600＝440，

即超市每天至少销售糕点440盒．

25．解：（1）当x＝0时，y＝4，

∴C （0，4），

当y＝0时，x+4＝0，

∴x＝﹣3，

∴A （﹣3，0），

∵对称轴为直线x＝﹣1，

∴B（1，0），

∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3），

∴4＝﹣3a，

∴a＝﹣，

∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）•（x+3）＝﹣x2﹣x+4；

（2）如图①，

作DF⊥AB于F，交AC于E，

∴D（m，﹣﹣m+4），M（m，m+4），

∴DM＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，

∴S△ADC＝OA＝•（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，

∵S△ABC＝＝＝8，

∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+）2+，

∴当m＝﹣时，S最大＝，

当m＝﹣时，y＝﹣＝5，

∴D（﹣，5）；

（3）存在．

设D点坐标（m，﹣﹣m+4），E（0，﹣﹣m+4），

则DE＝﹣m，CE＝﹣﹣m+4﹣4＝﹣﹣m，

在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC＝＝＝5，

∵△CDE∽△AOC，

∴＝或＝，

即＝或，

解得m＝﹣或m＝﹣1．

∴当m＝﹣或m＝﹣1时，存在点D，使得△CDE∽△AOC．