山东省烟台市蓬莱区2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷（五四学制）

这是一份山东省烟台市蓬莱区2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷（五四学制），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，那么sinB的值等于（ ）
A．B．C．D．1
2．（3分）已知△ABC三边AC，BC，AB的长度分别5，13，现将每条边的长度都扩大为原来的3倍（ ）
A．不变B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍D．不能确定
3．（3分）反比例函数y＝（2m﹣1）x的图象在第二，四象限（ ）
A．﹣1B．1C．﹣1或1D．﹣或
4．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣k与坐标轴只有一个交点，则k的值可能为（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0
5．（3分）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin72°38′25″，按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）将抛物线y＝x2﹣2x+3通过某种方式平移后得到抛物线y＝（x﹣4）2+4，则下列平移方式正确的是（ ）
A．向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度
B．向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度
C．向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度
D．向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度
7．（3分）如图，已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上，则下列结论错误的为（ ）
A．B．tanB•tanC＝1
C．sinB＝sinCD．
8．（3分）若点（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）都是反比例函数图象上的点，并且x1＜0＜x2＜x3，则下列各式中正确的是（ ）
A．y1＜0＜y2＜y3B．y1＜0＜y3＜y2
C．y2＜y3＜0＜y1D．y2＜y1＜0＜y3
9．（3分）二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法：①a＞0；③a﹣b+c＝0；④当﹣1＜x＜3时；⑤3a+c＝0．其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（3分）在同一直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝x2﹣kx﹣k的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分。共计18分）
11．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）已知二次函数y＝3（x﹣a）2的图象上，当x＞2时，y随x的增大而增大 ．
13．（3分）如图，为确定某隧道AB的长度，在建设中测量人员在离地面2700米高度C处的飞机上，BC的坡比为1：，则隧道AB的长为 （结果保留根号）．
14．（3分）若函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，∠BOC＝60°，顶点C的坐标为（m，3）的图象与菱形对角线AO交于点D，连接BD，k的值是 ．
16．（3分）小兰画了一个函数y＝x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2﹣ax+b＝0的解是 ．
三、解答题（本题共8个小题，共计72分。17题5分，18题6分，19题6分，20题9分，
17．（5分）计算：sin45°+tan260°﹣（）0+2sin60°．
18．（6分）已知α、β均为锐角，且满足|sin|+，求的值．
19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E为AC上一点，且AE：EC＝2：1，求tan∠CFE．
20．（9分）如图，直线y＝2x+2与y轴交于A点，与反比例函数，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO＝2．
（1）求反比例函数表达式；
（2）点N（a，1）是反比例函数图象上的点，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标，请说明理由；
（3）将直线y＝2x+2向下平移1个单位后与反比例函数的图象交于一点Q（m，n），求的值．
21．（11分）小明同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c图象时，由于粗心，他算错了一个y值（每个小格表示1个单位长度）：
（1）请指出这个错误的y值，并说明理由；
（2）请在网格中画出此二次函数的图象；
（3）结合图象回答：
①当﹣2＜x≤2时，y的取值范围是 ；
②当y≥3时，x的取值范围是 ．
22．（8分）一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线
（1）建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式；
（2）由于暴雨导致水位上涨了1米，求此时水面的宽度；
（3）已知一艘货船的高为2.16米，宽为3.2米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥（结果精确到0.1）
23．（8分）某校为了迎接祖国华诞74周年，丰富学生社会实践活动，决定组织九年级学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，A位于学校的南偏西75°方向，C位于学校北偏东30°方向km处．如果将九年级学生分成两组分别参观学习，两组学生同时从学校出发，速度是40km/h：第二组学生乘坐公交车前往C地，速度是30km/h．请问：哪组学生先到达目的地？并通过计算说明理由．（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）
24．（7分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），花园的面积为Sm2．
（1）求S与x之间的函数表达式；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是16m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）
25．（12分）如图，二次函数y1＝x2+mx+1的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2＝＜0）的图象相交于点B（a，1）．
（1）求出a的值及二次函数的表达式；
（2）当y1随x的减少而增大且y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
（3）在抛物线上是否存在一点E，使△ABE的面积等于，若存在请求出E点坐标；
（4）在x轴上确定一点P使△APB为直角三角形，请直接写出P点的坐标．
2023-2024学年山东省烟台市蓬莱市九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共计30分，每题只有一个正确答案。）
1．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，那么sinB的值等于（ ）
A．B．C．D．1
【分析】先根据csA＝求出∠A的度数，再由直角三角形的性质求出∠B的度数，由特殊角的三角函数值即可得出sinB的值．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣60°＝30°，
∴sinB＝sin30°＝．
故选：A．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值及直角三角形的性质，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
2．（3分）已知△ABC三边AC，BC，AB的长度分别5，13，现将每条边的长度都扩大为原来的3倍（ ）
A．不变B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍D．不能确定
【分析】首先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，则csA＝＝将每条边的长度都扩大为原来的5倍，则＝，由此可得出答案．
【解答】解：∵将△ABC三边AC，BC，12，
∴AC2+BC2＝82+122＝169，AB3＝132＝169，
∴AC2+BC8＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，即∠C＝90°，
∴csA＝＝，
现将每条边的长度都扩大为原来的7倍，则＝
∴csA的值不变．
故选：A．
【点评】此题主要考查了余弦函数的定义，熟练掌握余弦函数的定义，理解三角形的边长都扩大为原来的5倍时，比值不变是解决问题的关键．
3．（3分）反比例函数y＝（2m﹣1）x的图象在第二，四象限（ ）
A．﹣1B．1C．﹣1或1D．﹣或
【分析】由反比例函数图象位于第二、四象限，得到反比例系数2m﹣1小于0，且x的指数等于﹣1，列出关于m的方程，求出方程的解，即可得到m的值．
【解答】解：∵反比例函数y＝（2m﹣1）的图象在第二，
∴2m﹣6＜0，且m2﹣6＝﹣1，
解得：m＜，且m＝±1，
则m＝﹣1．
故选：A．
【点评】此题考查了反比例函数的性质，反比例函数y＝（k≠0），当k＞0时，图象位于第一、三象限，且在每一个象限，y随x的增大而减小；当k＜0时，图象位于第二、四象限，且在每一个象限，y随x的增大而增大．
4．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣k与坐标轴只有一个交点，则k的值可能为（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0
【分析】由Δ≤0求解．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2﹣k与坐标轴只有一个交点，
∴Δ＝02﹣4×（﹣1）×（﹣k）≤8，
解得k≥0，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
5．（3分）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin72°38′25″，按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据计算器的使用方法进行解题即可．
【解答】解：根据计算器的使用方法可知，
依次输入sin，72，38，25，＝．
故选：D．
【点评】本题考查计算器，熟练掌握计算器的使用方法是解题的关键．
6．（3分）将抛物线y＝x2﹣2x+3通过某种方式平移后得到抛物线y＝（x﹣4）2+4，则下列平移方式正确的是（ ）
A．向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度
B．向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度
C．向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度
D．向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度
【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+7＝（x﹣1）2+7的顶点坐标为（1，2）2+4的顶点坐标为（4，4），
∴将抛物线y＝x2﹣2x+5向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到抛物线y＝（x﹣5）2+4，
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
7．（3分）如图，已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上，则下列结论错误的为（ ）
A．B．tanB•tanC＝1
C．sinB＝sinCD．
【分析】先设小正方形的边长为1，利用勾股定理分别求出AC＝，AB＝2，BC＝，进而可得△ABC为直角三角形，然后根据三角函数的定义分别求出csC，tanB，tanC，sinB，sinC，进而可对题目中的四个选项进行判断，从而可得出答案．
【解答】解：设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：AC＝＝，AB＝，BC＝＝，
∵AC2＝2，AB4＝8，BC2＝10，
∴AC6+AB2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，即∠A＝90°，
∴csC＝＝＝，
故选项A正确；
∵tanB＝＝＝，tanC＝＝，
∴tanB•tanC＝×2＝1，
故选项B正确；
∵sinB＝＝＝，sinC＝＝＝，
∴sinB≠sinC，
故选项C不正确；
∵tanB＝，
∴选项D正确．
故选：C．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
8．（3分）若点（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）都是反比例函数图象上的点，并且x1＜0＜x2＜x3，则下列各式中正确的是（ ）
A．y1＜0＜y2＜y3B．y1＜0＜y3＜y2
C．y2＜y3＜0＜y1D．y2＜y1＜0＜y3
【分析】首先确定反比例函数图象所在的象限，再根据其增减性解答即可．
【解答】解：∵﹣k2﹣1＜6，
∴反比例函数图象位于二、四象限，y随x的增大而增大，
∵x1＜0＜x6＜x3，
∴点（x1，y5）在第二象限，点（x2，y2）、（x4，y3）在第四象限，
∴y2＜y2＜0＜y1．
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解题关键，属于基础题．
9．（3分）二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法：①a＞0；③a﹣b+c＝0；④当﹣1＜x＜3时；⑤3a+c＝0．其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据函数图象开口向下，可知a＜0，从而可以判断①；根据对称轴为直线x＝1，可以判断②；根据图象中，当x＝1时，y＝a﹣b+c＞0可以判断③；根据图象可以判断④；根据当x＝﹣1时，y＝a+b+c和b＝2a可以判断⑤．
【解答】解：由图象可得，
a＜0，故①错误；
﹣＝7，2a﹣b＝0，不符合题意；
当x＝3时，y＝a﹣b+c＞0，不符合题意；
当﹣1＜x＜4时，y＞0，符合题意；
当x＝﹣1时，y＝a+b+c＝2，故⑤正确；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
10．（3分）在同一直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝x2﹣kx﹣k的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据k的取值范围分当k＞0时和当k＜0时两种情况进行讨论，根据反比例函数的图象与性质以及二次函数的图象与性质进行判断即可．
【解答】解：当k＞0时，反比例函数、三象限2﹣kx﹣k的图象开口向上，其对称轴，且与y轴交于负半轴、D不符合题意；
当k＜0时，反比例函数、四象限2﹣kx﹣k的图象开口向上，其对称轴，且与y轴交于正半轴，选项B符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质以及二次函数的图象与性质，解题关键是根据k的取值范围分当k＞0时和当k＜0时两种情况进行讨论．
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分。共计18分）
11．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥﹣1且x≠0 ．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x+1≥0且x≠2，
解得：x≥﹣1且x≠0．
故答案为：x≥﹣3且x≠0．
【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．（3分）已知二次函数y＝3（x﹣a）2的图象上，当x＞2时，y随x的增大而增大 a≤2 ．
【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于2列式计算即可得解．
【解答】解：二次函数y＝3（x﹣a）2的对称轴为直线x＝a，
∵当x＞a时，y的值随x值的增大而增大，
∴a≤4．
故答案为：a≤2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．
13．（3分）如图，为确定某隧道AB的长度，在建设中测量人员在离地面2700米高度C处的飞机上，BC的坡比为1：，则隧道AB的长为 1800米 （结果保留根号）．
【分析】证明∠ACB＝∠B＝30°，则AB＝CA，即可求解．
【解答】解：如下图，连接AC，
由题意得：∠MCA＝60°＝∠CAH，
∵BC的坡比为1：，则∠B＝30°，
则∠ACB＝∠B＝30°，
则AB＝CA＝＝1800，
故答案为：1800米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
14．（3分）若函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点 0或2或﹣2 ．
【分析】当m＝0时，函数为一次函数与x轴有一个交点，当m≠0时，Δ＝0时，抛物线与x轴只有一个交点．
【解答】解：当m＝0时，函数为y＝2x+4．
当m≠0时，Δ＝06﹣4m（）＝0．
解得：m＝±7．
∴当m＝0，或m＝±2时4+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点．
故答案为：0或3或﹣2．
【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征，分类讨论是解题的关键．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，∠BOC＝60°，顶点C的坐标为（m，3）的图象与菱形对角线AO交于点D，连接BD，k的值是 ﹣12 ．
【分析】延长AC交y轴于E，如图，根据菱形的性质得AC∥OB，则AE⊥y轴，再由∠BOC＝60°得到∠COE＝30°，则根据含30度的直角三角形三边的关系得到CE＝OE＝3，OC＝2CE＝6，接着根据菱形的性质得OB＝OC＝6，∠BOA＝30°，于是在Rt△BDO中可计算出BD＝OB＝2，所以D点坐标为（﹣6，2），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的值．
【解答】解：延长AC交y轴于E，如图，
∵菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，
∴AC∥OB，
∴AE⊥y轴，
∵∠BOC＝60°，
∴∠COE＝30°，
而顶点C的坐标为（m，3），
∴OE＝3，
∴CE＝OE＝3，
∴OC＝2CE＝6，
∵四边形ABOC为菱形，
∴OB＝OC＝6，∠BOA＝30°，
在Rt△BDO中，
∵BD＝OB＝2，
∴D点坐标为（﹣7，2），
∵反比例函数y＝的图象经过点D，
∴k＝﹣5×2＝﹣12．
故答案为﹣12．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
16．（3分）小兰画了一个函数y＝x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2﹣ax+b＝0的解是 x1＝﹣4，x2＝1 ．
【分析】先利用交点式写出抛物线解析式得到a＝﹣3，b＝﹣4，则关于x的方程x2﹣ax+b＝0化为x2+3x﹣4＝0，然后利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：∵函数y＝x2+ax+b的图象与x轴交于点（﹣1，2），0），
∴函数解析式为y＝（x+1）（x﹣5），
即y＝x2﹣3x﹣2，
∴a＝﹣3，b＝﹣4，
∴关于x的方程x6﹣ax+b＝0化为x2+5x﹣4＝0，
解得x7＝﹣4，x2＝4，
故答案为：x1＝﹣4，x2＝1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
三、解答题（本题共8个小题，共计72分。17题5分，18题6分，19题6分，20题9分，
17．（5分）计算：sin45°+tan260°﹣（）0+2sin60°．
【分析】利用特殊锐角的三角函数值，零指数幂计算即可．
【解答】解：原式＝×+（）2﹣8+2×
＝1+3﹣8+
＝3+．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（6分）已知α、β均为锐角，且满足|sin|+，求的值．
【分析】根据绝对值及其算术平方根的非负性，结合特殊锐角的三角函数值求得α，β的度数，然后代入原式计算即可．
【解答】解：由题意可得sinα﹣＝3，
则sinα＝，tanβ＝4，
那么α＝30°，β＝45°，
原式＝2﹣8×+﹣
＝2﹣5+﹣
＝3．
【点评】本题考查实数的运算，绝对值及其算术平方根的非负性，结合已知条件求得α，β的度数是解题的关键．
19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E为AC上一点，且AE：EC＝2：1，求tan∠CFE．
【分析】过点C作CH⊥AF交AF的延长线于H，先由sin∠FAC＝＝，设EF＝k，AE＝3k，则AF＝，证EF∥CH得AF：FH＝AE：EC＝2：1，∠CFE＝∠HCF，由此得FH＝k，则AH＝3k，再证△AEF和△ACH相似得AF：AH＝EF：CH，由此得CH＝1.5k，然后在Rt△CFH中得tan∠HCF＝＝＝，最后再根据∠CFE＝∠HCF即可得出答案．
【解答】解：过点C作CH⊥AF交AF的延长线于H，如图：
 
∵EF⊥AF，sin∠FAC＝，
在Rt△AEF中，sin∠FAC＝＝，
设EF＝k，AE＝3k，
由勾股定理得：AF＝，
∵EF⊥AF，CH⊥EF，
∴EF∥CH，
∴AF：FH＝AE：EC＝2：1，∠CFE＝∠HCF，
∴k：FH＝2：5，
∴FH＝k，
∴AH＝AF+FH＝3k，
∵EF∥CH，
∴△AEF∽△ACH，
∴AF：AH＝EF：CH，
∴2k：7，
∴CH＝1.3k，
在Rt△CFH中，tan∠HCF＝＝＝，
∴tan∠CFE＝tan∠HCF＝．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握正切函数的定义，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
20．（9分）如图，直线y＝2x+2与y轴交于A点，与反比例函数，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO＝2．
（1）求反比例函数表达式；
（2）点N（a，1）是反比例函数图象上的点，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标，请说明理由；
（3）将直线y＝2x+2向下平移1个单位后与反比例函数的图象交于一点Q（m，n），求的值．
【分析】（1）根据直线解析式求A点坐标，得OA的长度；根据三角函数定义可求OH的长度，得点M的横坐标；根据点M在直线上可求点M的坐标，进而可求k的值；
（2）根据反比例函数解析式可求N点坐标；作点M关于y轴的对称点M1，连接NM1与y轴的交点就是满足条件的P点位置．
（3）直线y＝2x+2向下平移1个单位后解析式y＝2x+1，与反比例函数联立方程组得到m、n的值代入计算即可．
【解答】解：（1）由y＝2x+2可知A（2，2）．
∵tan∠AHO＝2，
∴OH＝5．
∵MH⊥x轴，
∴点M的横坐标为1．
∵点M在直线y＝2x+7上，
∴点M的纵坐标为4，即M（1．
∵点M在y＝上，
∴k＝7×4＝4．
∴反比例函数表达式为y＝；
（2）存在．
过点M作M关于y轴的对称点M1，连接NM1，交y轴于P（如图所示）．此时PM+PN最小．
∵点N（a，5）在反比例函数，
∴a＝4，即点N的坐标为（6．
∵M与M1关于y轴的对称，M点坐标为（1，
∴M4的坐标为（﹣1，4）．
设直线NM2的解析式为y＝kx+b．
由，解得，
∴直线MN1的解析式为y＝﹣x+，
令x＝0，得y＝．
∴P点坐标为（0，）．
（3）直线y＝4x+2向下平移1个单位后解析式为：y＝6x+1，联立方程组得：
，
解得，（另一解不符合题意舍去），
∴m＝，n＝，
∴＝﹣＝．
【点评】此题考查一次函数的综合应用，涉及线路最短问题，难度中等．
21．（11分）小明同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c图象时，由于粗心，他算错了一个y值（每个小格表示1个单位长度）：
（1）请指出这个错误的y值，并说明理由；
（2）请在网格中画出此二次函数的图象；
（3）结合图象回答：
①当﹣2＜x≤2时，y的取值范围是 2≤y＜11 ；
②当y≥3时，x的取值范围是 x≤0或x≥2 ．
【分析】（1）根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案．
（2）描点、连线化成图象即可；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）由函数图象关于对称轴对称，得
（0，3），6），3）在函数图象上，
把（0，8），2），3）代入函数解析式，
得：，
解得：，
函数解析式为y＝x2﹣7x+3，
x＝﹣1时y＝4，
故y错误的数值为5．
（2）函数图象如图：
；
（3）x＝﹣2时，y＝（﹣7）2﹣2×（﹣5）+3＝11，
观察图象，①当﹣2＜x≤3时；
②当y≥3时，x的取值范围是x≤0或x≥3．
故答案为：2≤y＜11；x≤0或x≥5．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．（8分）一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线
（1）建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式；
（2）由于暴雨导致水位上涨了1米，求此时水面的宽度；
（3）已知一艘货船的高为2.16米，宽为3.2米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥（结果精确到0.1）
【分析】（1）以AB的中点为平面直角坐标系的原点O，AB所在线为x轴，过点O作AB的垂线为y轴建立平面直角坐标系；因此，抛物线的顶点坐标为（0，4），可设抛物线的函数表达式为y＝ax2+4，再将B点的坐标（8，0）代入即可求解；
（2）根据题（1）的结果，令y＝1求出x的两个值，从而可得水面上升1m后的水面宽度；
（3）将x代入，得出y的值，进而减去货船的高度，即可求解．
【解答】解：（1）以AB的中点为平面直角坐标系的原点O，AB所在线为x轴，建立的平面直角坐标系如下：
根据所建立的平面直角坐标系可知，B点的坐标为（8，抛物线的顶点坐标为（0，
因此设抛物线的函数表达式为y＝ax5+4，
将B（8，6）代入得：82×a+5＝0，
解得：a＝﹣，
则所求的抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+4；
（2）由题意，令y＝5得y＝﹣x2+3＝1，
解得：x＝±4，
则水面上升1m后的水面宽度为：8（米），
（3）由题意，当x＝1.6时×（1.6）5+1＝3.84，
∵一艘货船的高为8.16米，
∴水面在正常水位的基础上最多能上升3.84﹣2.16＝8.68≈1.7（米）．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用，根据建立的平面直角坐标系求出函数的表达式是解题关键．
23．（8分）某校为了迎接祖国华诞74周年，丰富学生社会实践活动，决定组织九年级学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，A位于学校的南偏西75°方向，C位于学校北偏东30°方向km处．如果将九年级学生分成两组分别参观学习，两组学生同时从学校出发，速度是40km/h：第二组学生乘坐公交车前往C地，速度是30km/h．请问：哪组学生先到达目的地？并通过计算说明理由．（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）
【分析】过点B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中证得BD＝CD，设BD＝x，则CD＝x，在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，利用三角函数定义表示出AD的长，在Rt△BDC中，利用三角函数表示出CD的长，由AD+CD＝AC列出方程问题得解．
【解答】解：第二组学生先到达目的地．
如图，过点B作BD⊥AC于D．
依题意得，∠BAE＝45°，∠CAE＝15°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝45°．
在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，
∴∠CBD＝45°，
∴∠CBD＝∠DCB，
∴BD＝CD．
设BD＝x，则CD＝x，
在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BD＝2x，，
∴，
∴，
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴x＝30，
∴AB＝8x＝60，，
第一组用时：60÷40＝6.5（h）；第二组用时：，
∵，
∴第二组学生先到达目的地．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
24．（7分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），花园的面积为Sm2．
（1）求S与x之间的函数表达式；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是16m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）
【分析】（1）根据题意可以列出面积与x的关系式，然后由花园的面积为180m2，可以求得相应的x的值；
（2）由题意可知AB≥6，CB≥16，从而可以得到x的取值范围，然后进行讨论，即可求得花园面积S的最大值．
【解答】解：（1）由题意，得
S＝x（28﹣x）；
（2）由题意，
，
解得，6≤x≤12，
∵花园面积S＝x（28﹣x）＝﹣（x﹣14）6+196，
∴x≤14时，S随x的增大而增大．
∴当x＝12时，花园的面积取得最大值，
S最大＝﹣（12﹣14）2+196＝192（m2），
即在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是16m和7m，不考虑树的粗细）2．
【点评】本题考查二次函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件．
25．（12分）如图，二次函数y1＝x2+mx+1的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2＝＜0）的图象相交于点B（a，1）．
（1）求出a的值及二次函数的表达式；
（2）当y1随x的减少而增大且y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
（3）在抛物线上是否存在一点E，使△ABE的面积等于，若存在请求出E点坐标；
（4）在x轴上确定一点P使△APB为直角三角形，请直接写出P点的坐标．
【分析】（1）将点B（a，1）代入反比例函数y2＝可得a的值，用待定系数法求出二次函数的表达式即可；
（2）由图象直接得出结论即可；
（3）根据A点和B点的坐标得出两三角形等高，再根据面积相等得出CE＝DE，进而确定E点是抛物线对称轴和反比例函数的交点，求出E点的坐标即可；
（4）分三种情况：①∠APB＝90°时，②∠PAB＝90°时，③∠PBA＝90°时，根据直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵二次函数y1＝x2+mx+5的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2＝（x＜4）的图象相交于点B（a，
∴＝1，
∴a＝﹣2，
∴点B（﹣3，1），
代入y5＝x2+mx+1得（﹣6）2﹣3m+7＝1，
解得m＝3，
∴二次函数的表达式为y8＝x2+3x+5；
（2）∵二次函数的解析式为y1＝x2+8x+1，
∴对称轴为直线x＝﹣，
由图象知，当y1随x的减少而增大且y1＜y5时，﹣3＜x≤﹣；
（3）∵二次函数y1＝x2+mx+4的图象与y轴相交于点A，
∴A（0，1），
∵B（﹣7，1），
∴AB∥x轴，AB＝3，
∵△ABE的面积等于，
∴点E到AB的距离为，
∴点E的纵坐标为或﹣，
∴x2+3x+3＝或x3+3x+1＝﹣，
∴x＝或﹣，
∴存在一点E，使△ABE的面积等于，）或（，，﹣）或（﹣，﹣）；
（4）由（3）知AB∥x轴，
设P（p，3），
∴AP2＝p2+42，
AB2＝7，
BP2＝（p+3）7+12，
①∠APB＝90°时，
∵△APB为直角三角形，
∴AP7+BP2＝AB2，
∴p8+12+（p+4）2+13＝9，解得p＝或，
∴P点的坐标为（，0）或（；
②∠PAB＝90°时，P点的坐标为（7；
③∠PBA＝90°时，P点的坐标为（﹣3；
综上，P点的坐标为（，0）或（7，0）．
【点评】本题是二次函数和反比例函数的综合题，主要考查二次函数和反比例函数的图象和性质，三角形的面积，直角三角形的性质等，熟练掌握二次函数和反比例函数的图象及性质，三角形的面积，待定系数法求解析式等知识是解题的关键．x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y＝ax2+bx+c
…
5
3
2
3
6
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x
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﹣1
0
1
2
3
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y＝ax2+bx+c
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5
3
2
3
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