人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.4 点到直线的距离课后练习题

【基础】2.2.4 点到直线的距离作业练习

一．填空题

1．直线必定经过定点_______．

2．已知的三个顶点的坐标分别为，，，则BC边上的高所在直线的一般式方程为______________.

3．直线与直线的夹角是，则实数的值为___________．

4．过点，且与直线的夹角为的直线方程是_______．

5．已知直线与互相垂直，则_________.

6．若直线与直线平行，则实数的值是_______________.

7．若直线，其中，则与夹角的取值范围为________________.

8．已知直线被两条直线与截得的线段中点为坐标原点，那么直线的方程是_______．

9．直线关于点A(1,2)的对称直线方程为_________________

10．若直线的倾斜角为，则______.

11．已知的三个顶点，若点分别是边的中点，则线段所在直线的点斜式方程是________________.

12．与两平行直线等距离的直线方程是_______．

13．过两直线的交点且与直线平行的直线方程是_______．

14．点关于直线的对称点的坐标是______．

15．已知中，，所在平面内存在点使得，则面积的最大值为__________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】根据题意得到，解得答案.

详解：，则，

，解得，，故直线过定点.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了直线过定点问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

2．【答案】

【解析】首先求边上的高所在直线的斜率，先写出点斜式方程，再化为一般式直线方程.

【详解】

边上的高所在直线的斜率，

边上的高所在直线方程是，

一般方程是.

故答案为：

【点睛】

本题考查直线方程，意在考查求直线方程的方法和直线形式，属于简单题型.

3．【答案】0或4

【解析】利用两直线的夹角公式计算即可.

详解：直线的斜率，直线的斜率为，

所以由夹角公式知，

解得或，

故答案为：0或4

【点睛】

本题主要考查了两直线的夹角公式，直线的斜率，反正切函数，属于中档题.

4．【答案】或

【解析】已知两直线的夹角，可求夹角的正切值，根据两直线夹角的正切公式求解出直线的斜率，再根据直线的点斜式方程求出直线的方程，注意将其转化为一般式方程.

详解：设直线的斜率为，因为直线的斜率为，且两直线夹角为，

所以，所以或，

又因为直线过点，所以的方程为：或，

即为：或.

故答案：或.

【点睛】

本题考查两直线夹角的正切公式的应用以及直线的点法向式方程的求解， 已知两条直线的夹角为（）且两条直线的斜率为，则，属于中档题.

5．【答案】1

【解析】根据两直线垂直的条件，即可求解.

【详解】

因为线与互相垂直，

所以，

即，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了两直线垂直的条件，属于容易题.

6．【答案】

【解析】利用一般式方程中两直线平行的条件，即可得解.

详解：直线与直线平行，

，解得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查一般式方程中两直线平行的条件，属于基础题.若两条直线的方程是用一般式给出的，设直线的方程分别为,，则两直线平行与垂直的结论如下：（1）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，且；（2）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，或.

7．【答案】

【解析】求出和的斜率，利用两条直线的夹角公式求得，的夹角的正切值，结合对勾函数和正切函数图象特征，即可求得答案.

详解：

设和夹角为，

根据二条直线夹角公式可得：

令 ()

根据对勾函数图象 特征可得：或

，可得

即：

由，结合正切函数图象特征可得

与夹角的取值范围为

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了求两条直线的夹角范围，解题关键是掌握二条直线夹角公式和正切函数图象特征，及其对勾函数求最值的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

8．【答案】

【解析】设所求直线与已知两直线的交点分别为，设，则，分别代入已知直线，解得，进而得出直线的方程，得到答案.

详解：设所求直线与已知两直线的交点分别为，设，

因为关于原点对称，所以,

又因为分别在已知两直线上，可得，解得，

即点在直线上，

又由直线过原点，所以直线的方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了直线方程的求法，其中解答中要注意中点坐标公式的合理应用，其中解答方法具有一定的技巧性，着重考查推理与运算能力.

9．【答案】

【解析】在所求直线上取点，关于点A(1,2)对称的点的坐标为，代入直线，可得直线方程.

详解：解：在所求直线上取点，关于点A(1,2)对称的点的坐标为，

代入直线，可得

即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查求一个点关于另一个点的对称点的方法，考查直线的方程，比较基础.

10．【答案】

【解析】首先利用直线方程求出直线斜率，通过斜率求出倾斜角.

【详解】

由题知直线方程为，

所以直线的斜率，

又因为倾斜角，

所以倾斜角.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了直线倾斜角与直线斜率的关系，属于基础题.

11．【答案】或者

【解析】先利用中点公式求解出点的坐标，然后求解的斜率，利用点斜式写出方程.

详解：因为，点分别是边的中点，

所以，

直线的斜率为，

所以线段所在直线的点斜式方程是或者.

故答案为：或者

【点睛】

本题主要考查直线方程，直线方程求解一般先求解斜率，侧重考查数学运算的核心素养.

12．【答案】

【解析】设所求直线方程为，利用平行直线间的距离公式得到值.

详解：设所求直线为，由与，距离相等，则与，平行.

设直线的方程为：

则由两平行直线间的距离公式有，即，解得

∴直线的方程为：

故答案为：

【点睛】

本题考查两直线间的距离，利用待定系数法设直线方程，解题的关键是熟练掌握两平行线间的距离公式.属于基础题.

13．【答案】

【解析】联立方程得到交点坐标为，根据平行和交点得到直线方程.

详解：联立方程：，解得，

设直线方程为，代入点得到，解得，

故直线方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了根据平行求直线方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.

14．【答案】

【解析】设所求的点的坐标为，，根据线段的中点在直线上和直线与直线垂直可得出关于．的方程组，进而可解得所求点的坐标.

详解：设所求的点的坐标为，记点，则线段的中点为，

由于线段的中点在直线上，则，即.

直线的斜率为，且直线与直线垂直，则，整理得.

所以，，解得.

因此，点关于直线的对称点的坐标是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查点关于直线的对称点的坐标的求解，考查计算能力，属于中等题.

15．【答案】

【解析】详解：设，以所在直线为轴．其中垂线所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示），则，设，由，得，即，

则，

则，

即，

解得，即，

即面积的最大值为.