云南省马关县第一中学2023届高三第七次月考数学试题

马关县第一中学2023届高三年级第七次月考

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号，座位号、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间为120分钟，满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集，，，则

A.   B.   C.   D.

2.已知复数满足，其中为虚数单位，则

A.   B.   C.1   D.2

3.下列函数中，值域为且为奇函数的是

A.   B.   C.   D.

4.等差数列中，，，当取得最小值时，的值为

A.4或5   B.5或6   C.4   D.5

5.函数的图象可能是

A.   B.

C.   D.

6.已知正数，满足，则的最大值是

A.   B.   C.   D.

7.如图所示，在正方体中，，分别为，的中点，点为棱上一点，设二面角的平面角为，直线与平面所成角为，则

A.   B.   C.   D.以上均有可能

8.已知，，，则，，的大小关系为

A.   B.   C.   D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.为了解某校学生在“学宪法，讲宪法”活动中的学习情况，对该校1000名学生进行了一次测试，并对得分情况进行了统计，按照分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是

A.图中的值为0.020

B.由直方图中的数据，可估计第75百分位数是85

C.由直方图中的数据，可估计这组数据的平均数为75

D.由直方图中的数据，可估计这组数据的众数为75

10.下列命题中为真命题的是

A.，   B.，

C.，    D.，

11.关于函数，下列说法正确的是

A.函数在上单调递减

B.函数的图象关于中心对称

C.函数的对称轴方程为，

D.将的图象向右平移个单位长度后，可以得到的图象

12．如图，正方形ABCD中，E为AB中点，M为线段AD上的动点，且，则下列结论正确的是

A.当M为线段AD上的中点时，

B.的最大值为

C.的取值范围为

D.的取值范围为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列的前4项为1，0，1，2，写出数列的一个通项公式，___________.

14.已知平面向量，，是两两夹角均为的单位向量，则___________.

15.已知椭圆：的右焦点是抛物线：的焦点，抛物线的准线与轴交于点，设点为椭圆与抛物线的一个交点，以为直径的圆过点，则椭圆的离心率为___________.

16.正实数，满足，，则的值为____________.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）记为数列的前项和，已知.

（1）证明：是等差数列；

（2）若，记，求数列的前项和.

18.（12分）

为了了解某城市70后和80后市民每周的体育锻炼时长情况，随机抽取了200人进行调查，并按年龄段及周平均体育锻炼时间是否少于7小时，将调查结果整理成列联表，统计得出样本中周平均体育锻炼时间少于7小时的人数占40%，70后的样本人数占样本总数的，80后每周平均体育锻炼时间不少于7小时的样本有60人.（70后指1970年至1979年出生的人构成的群体，80后指1980年至1989年出生的人构成的群体）

（1）请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析周平均体育锻炼时间长短与年龄段是否有关联；

（2）现从70后的样本中按周平均体育锻炼时间是否少于7小时，用分层抽样的方法抽取6人做进一步访谈，然后从这6人中随机抽取3人进行体检．记抽取的3人中周平均体育锻炼时间不少于7小时的人数为，求的分布列及数学期望.

参考公式及数据：，.

19.（12分）如图，在中，，为线段BC上一点，.

（1）求的值；

（2）当时，求线段的长.

20.（12分）已知四棱锥中，底面，平面平面，，.

（1）求证：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

21.（12分）已知双曲线：的右焦点为，点M，N分别为双曲线的左、右顶点，过点的直线交双曲线的右支于，两点.设直线，的斜率分别为，，且.

（1）求双曲线的方程；

（2）当点在第一象限，且时，求直线的方程.

22.（12分）已知函数，.

（1）若在上单调递增，求的取值范围；

（2）当时，证明：.

数学参考答案及评分意见

1.C【解析】，，.故选C.

2.C【解析】，，.故选C.

3.B【解析】A选项，，值域为，奇函数，故排除﹔

B选项，，值域为，奇函数，符合题意；

C选项，，值域为，非奇非偶函数﹐故排除﹔

D选项，，值域为，非奇非偶函数，故排除.故选B.

4.A【解析】设等差数列的首相为，公差为，解得则，令，解得.故选A.

5.D【解析】是非奇非偶函数，故排除A、B，，当时，，当时，，结合图象可排除C.故选D.

6.C【解析】解法一：因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，故选C.

解法二：，，令，，则，

当时，，当时，，故当时，在上取得最大值.故选C.

7.A【解析】设点为与的交点，易知平面，即平面，所以，过点作的垂线，垂足为，则，所以，从而，，在中，，所以，所以，故选A.

8.B【解析】设函数，，当时，，函数在上单调递减，，∴，即，∵，∴，综上，，即，故选B.

9.解析：选ABD.对于A，由题意得，解得0.020，故A正确；

对于B，，，故估计第75%分位数是，故B正确；对于C，这组数据的平均数为，故C错误；对于D，由直方图可知，众数为75，故D正确，故选：ABD

10.ABD【解析】对于A，因为，故正确；对于B，当时，等式成立，故正确；对于C，当时，，故错误；对于D，，，成立，故正确.故选ABD.

11.ACD【解析】对于A，，当时，，在区间上单调递减，A选项正确；对于B，当时，，B选项错误；对于C，令可得对称轴为，，所以C选项正确；将的图象向右平移个单位长度后即得，D选项正确.故选ACD.

12.ABC【解析】对于A选项，，，，，则A正确；对于B选项，，，，当且仅当时，等号成立，则B正确；对于C选项，M为线段AD上的动点，则的取值范围为；对于D选项，由选项B，C可知，，即，，所以D不正确.故选ABC.

13.或（答案不唯一）

【解析】因为，，，，所以数列的通项公式可以为；发现数列第2项，第3项，第4项，每一项都是项数减1，只有第一项不符合，所以数列的通项公式也可以写为

14.【解析】因为平面向量，，两两夹角均为，，且，且，所以，故答案为.

15.【解析】解法一：以为直径的圆过点，所以三角形为直角三角形，，则，，又为椭圆和抛物线的交点，为椭圆右焦点，同时是抛物线的焦点，故准线方程为，由抛物线定义，即，所以，所以，解得（舍掉负值），所以椭圆的离心率为.

解法二：由题意知，点即为椭圆的左焦点，设，则，所以，过点作垂直于准线的直线，垂足为，则，所以，解得，以为直径的圆过点，所以，即，所以，化简得，所以，解得（舍掉负值），所以椭圆的离心率为.

16.1【解析】解法一：由，，得，，所以，是方程的两个解，设函数，，所以函数在上单调递减，方程只有一个解，所以，故.

解法二：因为，所以，因为，所以即，设函数，当时，，所以函数在上单调递增，∵，，∴，∴，，∴.

17.【解析】（1），

当时，，

两式相减得，

，则有，

故是以2为公差的等差数列.

（2），则，

所以，

数列的前项和.

18.解析：（1）补充列联表如下：

假设：周平体育锻炼时间长短与年龄无关联，

∵，

∴依据小概率值的独立性检验分析判断成立，故周平均体育锻炼时间长短与年龄段无关联.

（2）由题意可知：抽取的6人中，周平均体育锻炼时间少于7小时的有人，不少于7小时的有人；

则所有可能的取值为1，2，3，

，，；

∴的分布列为：

∴数学期望.

19.【解析】（1）在中，由正弦定理可得，

即.

在中，由正弦定理可得，即.

因为，所以，

所以，

因为，所以.

（2）当时，由（1）可知.

设，则，

在中，由余弦定理可得，

代入化简可得，解得或（舍），

所以.

20.【解析】（1）证明：因为平面平面，平面平面，在平面内作，

则平面，所以，

因为底面，所以，

，则平面，因为，∴平面.

（2由（1）可知，，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，，则，，，，

所以，，，，

设平面的法向量为，

则即取，

设平面的法向量为，

则即取，

所以，由图可知二面角为锐二面角，

所以二面角的余弦值为.

21.【解析】（1）设，，，，，.

因为点是双曲线上的点，所以，∴，∴.

所以双曲线的方程为.

（2）设点，，点在第一象限，则，，，

又，，

故，

同理可得，，

即，

由（1）可知，设直线：，联立

化简得，

则，，，，

∴，∵，代入韦达定理得

所以，解得.

所以直线的方程为.

22.【解析】（1）在上单调递增﹐，所以恒成立，令，∴恒成立.

当时，恒成立；

当时，，所以在上单调递增，，

所以时，，故不符合题意；

当时，令，解得，当时，，单调递增；

当时，，单调递减，所以，

解得，

综上，的取值范围是.

（2）当时，，要证，即证，

只需证，即证，

令，，令，，

当时，，当时，，

所以，

，，，

故存在，使得，，

即在，时递增，在时递减，

令，则二次函数关于直线对称，函数图象开口向下，且，

故当时，，又，

∴，，

又，，所以函数在上存在唯一零点，使得.

，

当且仅当时等号成立①.

令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以时，，

即，当且仅当时等号成立②.

①②取等号的条件不一致，故.