2023届海南省海南中学高三第七次月考数学试题含解析

这是一份2023届海南省海南中学高三第七次月考数学试题含解析，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届海南省海南中学高三第七次月考数学试题 一、单选题1．设集合，，则集合的真子集个数为（    ）A．0 B．7 C．8 D．15【答案】B【分析】解指数不等式并求两集合的交集，再由一个集合中有n个元素，则它的真子集有个计算可得结果.【详解】因为，所以，所以的真子集个数为个.故选：B.2．已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则（    ）A． B． C．12 D．72【答案】A【分析】运用平面向量的数量积运算可求得结果.【详解】因为，且与夹角的余弦值为，所以.故选：A.3．函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正切型函数的对称性分析可得，进而可求得，再代入点，运算求解即可.【详解】如图所示，区域①和区域③面积相等，故阴影部分的面积即为矩形的面积，可得，设函数的最小正周期为，则，由题意可得：，解得，故，可得，即，可知的图象过点，即，∵，则，∴，解得.故选：A.4．某工厂随机抽取名工人,对他们某天生产的产品件数进行统计,数据如下表,则该组数据的第百分位数是（    ）件数7891011人数37541 A． B． C． D．【答案】C【分析】根据百分位数的求法求解即可.【详解】抽取的工人总数为,,那么第百分位数是所有数据从小到大排序的第项与第项数据的平均数,第项与第项数据分别为,所以第百分位数是,故选:C.5．已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，当时，.若，则（    ）A．2 B．0 C． D．【答案】A【分析】由函数性质判断函数的周期性，根据特殊值求的值，再根据函数的解析式，代入求值.【详解】为奇函数，，又为偶函数，，，即，所以函数的周期为4，由，令，易得，，解得，当时，.故选：A6．如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得出圆锥的母线，进而根据圆锥、圆台的轴截面，即可得出答案.【详解】假设圆锥半径，母线为，则.设圆台上底面为，母线为，则.由已知可得，，所以.如图，作出圆锥、圆台的轴截面则有，所以.所以圆台的侧面积为.故选：C.7．若正项递增等比数列满足：，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，求得，从而，再结合基本不等式可求.【详解】设等比数列的公比为.，即而而因为正项等比数列是递增数列，所以所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为2.故选：B8．已知双曲线的右焦点为，关于原点对称的两点，分别在双曲线的左、右两支上，，，且点在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】令双曲线左焦点，利用给定条件证得四边形为矩形，再利用双曲线定义结合勾股定理列式求解作答.【详解】令双曲线右焦点，则其左焦点，连接，如图，与互相平分于点O，所以四边形为平行四边形，又，则，因此四边形为矩形，令，由得，由双曲线定义知，，在中，，即，解得，在中，，而，于是得，解得，所以双曲线的离心率.故选：B 二、多选题9．下列命题正确的有（    ）A．若是的根，则该方程的另一个根必是.B．C．D．已知是虚数单位，，则的最小值为【答案】AC【分析】对于A，根据复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式求解即可；对于B，根据向量加法几何意义求解即可；对于C，根据复数的乘法运算法则和复数模的计算公式求解即可；对于D，根据虚数不可以比较大小，实数可以比较大小确定再结合对勾函数求出的最小值即可.【详解】对于A，根据复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式知，两个虚数根互为共轭复数，所以是的根，则该方程的另一个根必是，故选项A正确；对于B，设，，由向量加法几何意义可知：，故选项B错误；对于C，令，，则，故，，故选项C正确；对于D，即则，根据对勾函数知识时单调递增，所以，故选项D错误；故选：AC.10．函数的部分图像如图中实线所示，图中圆与的图像交于，两点，且在轴上，则下列说法正确的是（    ）A．函数的最小正周期是B．函数在上单调递减C．函数的图像向左平移个单位后关于直线对称D．若圆的半径为，则函数的解析式为【答案】AC【分析】由中心对称得到周期，从而得，由可得，从而可判断A，B，D，结合平移后的解析式可判断C.【详解】对于A，根据中心对称，可知点的横坐标为，所以的最小正周期，故A正确；对于B，由周期可得，又，即，，且，所以，因此，由，可得，所以函数在上不单调，故B错误；对于C，函数的图像向左平移个单位后，得到函数，令，则，当时，，故关于直线对称，故C正确；对于D，若圆半径为，则，所以，函数解析式为，故D错误．故选：AC.11．已知数列和满足，，，.则（    ）A． B．数列是等比数列C．数列是等差数列 D．【答案】BCD【分析】通过合理赋值即可判断A，对B两式作和即可判断，对C两式作差即可判断，对D，通过BC选项求出，则可判断D正确.【详解】对A选项，令，则，，则，则，则，则A错误，对B选项，由题意中两式相加得，故B正确，对C选项，由题意中两式作差得，即，则C正确，对D选项，由B得，，两式相加得，则，则若，显然，则成立,故选：BCD.12．下列不等关系正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，结合函数、指数函数、幂函数的单调性逐项判断各选项，可得出合适的选项.【详解】构造函数，其中，则，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，则.对于A选项，，即，即，可得，又因为，所以，，A对；对于B选项，，即，即，可得，在中，令，则，化简得，故，所以，即，所以，，故，B对；对于C选项，因为，则，故，故，C错；对于D选项，因为，即，则，即，所以，，又，因此，，D对.故选：ABD.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用. 三、填空题13．若展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含的项的系数为____________，【答案】【分析】利用赋值法，令可求得n；再由二项展开式的通项求得含项的系数.【详解】令，则的展开式各项系数之和为，则，其中通项，，令，则，则，故含的项的系数为.故答案为：.14．设O为坐标原点， F为抛物线C：的焦点，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线C交于M，N两点（点N在第一象限），当时，，则____________，【答案】【分析】运用抛物线定义及相似三角形性质可求得结果.【详解】设直线l与抛物线准线交于点E，过点M作准线的垂线垂足为B，准线与y轴交于点G，如图所示，  则，由抛物线定义知，，所以在中，，所以，又因为，所以，即：，所以，所以.故答案为：3.15．若过点只可以作曲线的一条切线，则的取值范围是__________.【答案】【分析】根据导数几何意义，设切点坐标为，则得切线方程，过点，则，构造函数，确定函数的单调性及取值情况，即可得的取值范围.【详解】解：函数的定义域为，则，设切点坐标为，则切线斜率为，故切线方程为：，又切线过点，则，设，则得，或，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以，又时，，时，，所以有且只有一个根，且，则，故的取值范围是.故答案为：. 四、双空题16．已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=9，AA1=10，过点A且与直线CD平行的平面将长方体分成两部分，且分别与棱DD1，CC1交于点H，M.（1）若DH=DC=9，则三棱柱ADH−BCM外接球的表面积为________；（2）现同时将两个球分别放入被平面分成的两部分几何体内.在平面变化过程中，这两个球半径之和的最大值为________.【答案】          【分析】（1）可将三棱柱补型成一个棱长为9的正方体，直接找正方体的外接球半径即为所求；（2）作出这两个球在长方体左侧面上的投影为两个大圆，都与直线相切.设两圆半径分别为，，，得到， ，令，则，，构造函数，，利用导数求出最大值.【详解】（1）由，可将三棱柱补型成一个棱长为9的正方体，该正方体的体对角线长为，故外接球半径，所以外接球的表面积为.（2）如图，这两个球在长方体左侧面上的投影为两个大圆，都与直线相切.设两圆半径分别为，，，由得，同理，，得，由已知，，令，则，，构造函数，，则，∴，当时，，单调递增；当时，，∴单调递减，∴.经检验，当时，，故的最大值为.故答案为：（1）；（2）. 五、解答题17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求A；(2)，BD=3，求面积的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由，利用正弦定理结合两角和的正弦公式，得到求解.（2）利用余弦定理结合基本不等式得到，再利用三角形面积公式求解.【详解】（1）解：由正弦定理可得，因为，所以，即，整理得：，因为，所以，所以，因为，所以.（2）在中，由余弦定理得：，即.整理得，当且仅当时，等号成立，所以，因为，所以，所以ABC面积的最大值为.18．已知为数列的前项和，满足，，，(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和，【答案】(1)(2) 【分析】（1）依题意可得，即数列是常数列，从而求出数列的通项公式；（2）利用等差数列求和公式求出，则，利用并项求和法计算可得.【详解】（1）因为，故，所以，故数列是常数列，所以，故.（2）由（1）知，所以，故，对任意的，，所以，即为数列的前项和，因为，故数列为等差数列，所以.19．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，分别是，的中点.(1)求证:平面；(2)再从条件①，条件②两个中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取中点，连接，,证明，根据线面平行的判定定理即可证明结论；（2）选条件①，由可证,继而证明平面,推出，结合,建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面的法向量，利用面面角的空间向量求法，即可求得答案；选条件②，根据，证明，结合,建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面的法向量，利用面面角的空间向量求法，即可求得答案；【详解】（1）取中点，连接，,因为为中点，所以有且,因为，，所以且,所以四边形为平行四边形,所以,又因为平面，平面，所以平面.（2）选择条件①：因为平面平面，为矩形,,平面平面平面,所以平面,平面,所以,又因为，由（1）可知，平面，所以，又因为，平面，所以平面,平面,所以,平面,故平面,以A为原点，以，，分别为轴、轴、轴建立坐标系，则，，，,则，，设平面的法向量，则，令，则，因为平面，故可作为平面的法向量，则平面与平面夹角的余弦值.选择条件②：.因为平面平面，为矩形,平面平面平面,所以平面,而PA在平面PAD中，所以,又因为，取中点为，连接，，则有，,所以,所以,则,所以,平面,故平面,以A为原点，以，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，,则，，设平面的法向量，则，令，则，因为平面，故可作为平面的法向量，则平面与平面夹角的余弦值.20．已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上两点．(1)若直线过左焦点，求的周长；(2)若直线过点，求的取值范围；．【答案】(1)(2) 【分析】（1）运用椭圆定义可求得结果.（2）讨论直线斜率为0时计算的值，与直线斜率不为0时，运用韦达定理代入中，进而转化为求关于m的函数的最值问题.【详解】（1）如图所示，  由题意知，所以，所以由椭圆的定义知，的周长为.（2）如图所示，  设，①当直线斜率为0时，不妨设，所以，，所以；②当直线斜率不为0时，设直线方程为：，由得，所以，，又因为，，所以，综上，的取值范围是.21．玩具柜台元旦前夕促销，就在12月31日购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送大奖.而每个甲系列盲盒可以开出玩偶，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个.(1)记事件：一次性购买n个甲系列盲盒后集齐玩偶；事件：一次性购买n个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求及；(2)柜台对甲、乙两个系列的盲盒进行饥饿营销，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为：而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为：如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为.①求；②若礼品店每卖出一个甲系列的盲盒可获利30元，卖出一个乙系列的盲盒可获利20元，由样本估计总体，若礼品店每天可卖出1000个盲盒，且买的人之前都已购买过很多次这两个系列的盲盒，估计该礼品店每天利润为多少元（直接写出答案）【答案】(1),；(2)①，②24000. 【分析】（1）由古典概型的概率公式可以直接解出；（2）依题意可得，即可得到是一个等比数列，从而求出，用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，可知服从二项分布，即可计算出结果.【详解】（1）由题意，.（2）①由题意可知：②当时，，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以因为每天购买盲盒的人都已购买过很多次，所以，对于每一个人来说，某天来购买盲盒时，可以看作n趋向无穷大，由样本估计总体可知：购买甲系列盲盒的概率近似于，假设用表示一天中购买甲系列盲盒的个数，则，所以，即购买甲系列盲盒的个数的期望为400，所以礼品店应卖出甲系列盲盒400个，乙系列盲盒600个.估计利润为：（元）.22．已知函数，，(1)若，证明：．(2)若，①证明：函数存在唯一的极值点．②若，且，证明：．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）作差法构造函数，研究其最值即可.（2）①运用导数及零点存在性定理研究函数的极值点. ②根据已知条件可得，再运用（1）当时，进行放缩即可证得结果.【详解】（1）证明：令，则所以当时，单调递增；当时，单调递减，所以所以，当且仅当.即：.（2）①证明：函数的定义域为，则，，令，，则在上恒成立，所以函数在上单调递减．因为，所以，又因为，所以，所以，由零点存在性定理可知，在上存在唯一零点．又当时，，即，函数单调递增，当时，，即，函数单调递减，所以函数在处取得极大值，即函数存在唯一的极值点．②证明：由①知，，则，即，则（*），由，，知，又因为，即，所以（**），所以由（*）（**）可得，由（1）知时，，所以，所以，所以，即，所以，即．【点睛】方法点睛：运用导数证明不等式策略（1）将不等式转化为函数的最值问题，（2）将不等式转化为两个函数的最值进行比较，（3）适当放缩证明不等式.