2024届云南省曲靖市第一中学高三上学期第二次月考数学试题含解析

这是一份2024届云南省曲靖市第一中学高三上学期第二次月考数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解不等式化简集合B，再利用集合的包含关系求解即得.
【详解】显然，由，得，
当时，即，解得，满足，则；
当时，则，解得；
所以.
故选：C
2．若，其中是虚数单位，且，设，则为（ ）
A．2B．C．6D．
【答案】D
【分析】化简可得，然后根据复数相等的条件列出关系式，求出的值，根据共轭复数的概念以及复数的求模运算，即可得出答案.
【详解】由得，，
所以且，
解得，，
所以，，
所以.
故选：D.
3．的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为：日均值在以下，空气质量为一级；日均值在，空气质量为二级；日均值超过为超标.如图是某地8月1日至日的日均值（单位：）变化的折线图，下列关于日均值说法正确的是（ ）
A．这天日均值的百分位数为
B．前4天的日均值的极差小于后4天的日均值的极差
C．前4天的日均值的方差大于后4天的日均值的方差
D．这天的日均值的中位数为
【答案】B
【详解】解：对于A，将天中的日均值按从小到大排列为，，，，，，，，，，根据百分位数的定义可得，这天中日均值的百分位数是，故选A错误；
对于B，前4天的日均值的极差为，后4天的日均值的极差为，故选项B正确；
对于C，由折线图和方差的定义可知，前4天的日均值波动性小，所以前4天的日均值的方差小于后4天日均值的方差，故选项C错误；
对于D，这天中日均值的中位数为，故选项D错误.
故选：B.
4．数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
【答案】A
【分析】根据以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可
【详解】由题意得数列为递增数列等价于对任意恒成立，
即对任意恒成立，故，
所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件，
故选：A
5．已知，则的值为（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】A
【分析】通过构角，根据条件，利用余弦的和角公式和辅助角公式得，，即可求出结果.
【详解】由题意可得：
，
所以，得到，，
所以，，
故选：A.
6．已知数列的前项和为，设，，则（ ）
A．B．C．D．1012
【答案】C
【分析】由已知推得，进而得出的前几项，观察可得的周期，根据数列的周期性，求和即可得出答案.
【详解】易知，由得.
又，
所以，，，
故数列是以3为最小正周期的周期数列，
所以.
故选：C.
7．中，为边的中点，为线段上的任意一点（不含），且，（ 为正实数），若恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】化简，根据点共线，求得，且，得到，结合基本不等式求得的最小值，进而求得的最大值.
【详解】因为中，为边的中点，可得，
又因为点共线，则，且，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
又由恒成立时，，
所以的最大值为.
故选：D.
8．已知函数若函数有四个不同的零点，记作，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数解析式，求得的关系，从而对目标式进行消元，构造关于的函数，求其值域即可.
【详解】对于，可知其对称轴为，
令，解得或；
令，解得或；
作出函数的图象如图所示：

若函数有四个不同的零点，
即方程有四个不同的实根，
则与有四个不同的交点，交点横坐标依次为，
对于，，可得，所以；
对于，，，，，可得；
故
由对钩函数性质可知在上单调递增，
得，
所以的取值范围是.
故选：B.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．可表示为
B．5个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手10次
C．若把英语单词“happy”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有59种
D．将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有8种不同的分派方法
【答案】BC
【分析】根据排列数的计算公式可判断A；两两握手，即随便选出两人握手的所有可能结果数，再通过计算即可判断B；先对h，a，y进行排列，再将p放入位置中即可，列出式子计算即可判断C；按3，1分组和2，2分组两种情况，分别求出对应的安排方法，相加即可判断D．
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，5人两两握手，即从5人中随便选出2人握手，即共握（次），故B正确；
对于C，在5个位置中选3个位置填入h，a，y，剩下2个位置填入p，共有（种），其中正确的只有1种，则可能出现的错误共有（种），故C正确；
对于D，将4人按3，1分派，共种；将4人按2，2分派，共有种，
故每个学校至少派1人，共有14种分派方法，故D错误．
故选：BC．
10．若方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（ ）
A．若曲线为双曲线，则或
B．若曲线为椭圆，则
C．曲线可能是圆
D．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则
【答案】ACD
【分析】利用方程表示双曲线求解的取值范围可判断A；方程表示椭圆求解可判断B；方程是否表示圆可判断C；方程表示焦点在轴上的椭圆求解可判断D.
【详解】对于A，方程表示双曲线，则，解得或，故A正确；
对于B，方程表示椭圆，则，解得且，故B错误；
对于C，当时，方程表示圆，故C正确；
对于D，方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，故D正确；
故选：ACD
11．已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．为奇函数B．的图象关于轴对称
C．在上单调递增D．若，则
【答案】ABC
【分析】先根据题意求出的解析式，求得，结合奇函数的定义即可判断A；求得，结合偶函数的定义即可判断B；根据正弦函数的图象及性质即可判断C；根据题意可得到与中，一个取得最大值，另一个取得最小值，进而即可判断D．
【详解】由题意得，即，
又，则，所以，
对于A，由，
又，则函数为奇函数，故A正确；
对于B，由，
又，则函数为偶函数，所以图象关于轴对称，故B正确；
对于C，由，则，
又由正弦函数的图象及性质可知函数在上单调递增，故C正确；
对于D，易知的周期为，且，
又，则与中，一个取得最大值，另一个取得最小值，
所以与相隔最近为半个周期，即，故D错误．
故选：ABC．
12．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】取对数，利用对数的性质对各选项逐一判断即可.
【详解】对A，由，可得，所以A错误；
对B，由，得，因为，所以，所以B正确；
对C，由，，可得，，所以，所以C正确；
对D，由，，可得，
因为，所以等号不成立，所以，又，所以，所以D正确.
故选：BCD
三、填空题
13．为了比较甲、乙、丙、丁四组数据的线性相关性强弱，某同学分别计算了甲、乙、丙、丁四组数据的线性相关系数，求得数值依次为，，0.36，0.93，则这四组数据中线性相关性最强的是 组数据．
【答案】甲
【分析】根据相关系数的含义，其绝对值越接近1，线性相关性越强即可得到答案．
【详解】根据题意，因为线性相关系数的绝对值越大，线性相关性越强，
由甲、乙、丙、丁四组数据的线性相关系数分别为，，0.36，0.93，
所以甲组数据的线性相关性最强．
故答案为：甲．
14．直线与直线垂直，且被圆截得的弦长为，则直线的一个方程为 .（写出一个方程即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】设，根据题意求得圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式，列出方程，求得的值，即可求解.
【详解】因为直线与直线垂直，可设，
由圆，可得圆心坐标为，半径为，
又因为弦长为，可得圆心到直线的距离为，
即，解得或.
所以直线的方程为或，
故答案为：（或）.
15．已知向量，，若非零向量满足，则取最小值时，的坐标为 .
【答案】
【分析】设，根据已知列出关系式，代入坐标整理得出.表示出，根据二次函数的性质，即可得出最值，求出答案.
【详解】设，
则由，得，所以，
所以，即，化得.
又，
所以.
当时，取得最小值，
此时，即.
故答案为：.
16．已知是函数的导函数，且满足在上恒成立，则不等式的解集是 .（用区间表示）
【答案】
【分析】依题意令，利用导数说明函数的单调性，将转化为，即，结合单调性转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】令，则，所以在上单调递增，
由，两端同除以，并移项得，
即，又在上单调递增，所以，解得.
所以不等式的解集是.
故答案为：.
四、解答题
17．已知是首项为1的等比数列，且，，成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据已知根据等差中项的性质列出关系式，求解即可得出；
（2）根据（1）的结论得出，，然后根据错位相减法求和，即可得出答案.
【详解】（1）设等比数列的公比为，，
因为，，成等差数列，
所以，即，
化简可得，解得.
又，
所以数列的通项公式为.
（2）因为，
所以，
则，①，
，②
①-②得，
所以.
18．某中学高三年级为丰富学生课余生活，减轻学习压力，组建了篮球社团.为了了解学生喜欢篮球是否与性别有关，随机抽取了该年级男、女同学各50名进行调查，部分数据如表所示：
附：
(1)根据所给数据完成上表，依据的独立性检验，能否有的把握认为该校高三年级学生喜欢篮球与性别有关？
(2)社团指导老师从喜欢篮球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范罚分线处定点投篮.已知这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人投篮一次，假设各人进球相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望.
【答案】(1)有的把握认为该年级学生喜欢篮球与性别有关.
(2)分布列见解析，
【分析】（1）先完善列联表，再计算，从而利用独立性检验进行判断即可；
（2）利用独立事件的概率公式，结合随机变量分布列的求法与数学期望公式即可得解.
【详解】（1）依题意，列联表如下：
零假设：该年级喜欢篮球与性别无关，
的观测值为，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以有的把握认为该年级学生喜欢篮球与性别有关.
（2）依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以的分布列为：
数学期望.
19．已知向量，，设函数.
(1)求函数的单调递增区间及其图象的对称轴方程；
(2)已知分别为三角形的内角对应的三边长，为锐角，，且恰是函数在上的最大值，求三角形的面积.
【答案】(1)单调递增区间为，，对称轴方程为，
(2)或
【分析】（1）先利用向量数量积的运算律和坐标表示及三角函数的二倍角公式和辅助角公式求出，再根据正弦函数的图象和性质求解即可；
（2）先利用正弦函数的性质求出角，代入余弦定理求出，再根据三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）
，
由，，得，
所以函数的单调递增区间为，，
令，，解得，
所以曲线的对称轴方程为，.
（2）由（1）知，
当时，则当即时函数取得最大值，
又恰是函数在上的最大值，且为锐角，可得，
由余弦定理可得，解得或，
当时，三角形的面积，
当时，三角形的面积.
所以三角形的面积为或.
20．已知数列满足，，设的前项积为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)
(2)证明过程见详解
【分析】（1）先根据题意得出，再两边取对数可得，从而得出数列是常数列，进而即可求解；
（2）结合（1）可得，从而得到，再结合放缩法及等比数列的前项和公式即可证明．
【详解】（1）由题意知，为正项数列的前项的积，且，
当时，，所以，解得；
又①，②，
②÷①得，，即，
所以，即，
所以，则，
结合，可知数列是常数列，
所以，所以，所以．
（2）由（1）可得，
则，
又，
所以，
所以．
21．已知椭圆：的离心率为，的左右焦点分别为，，是椭圆上任意一点，满足.抛物线：的焦点与椭圆的右焦点重合，点是抛物线的准线上任意一点，直线，分别与抛物线相切于点.
(1)若直线与椭圆相交于，两点，且的中点为，求直线的方程；
(2)设直线，的斜率分别为，，证明：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）已知条件待定，得到椭圆方程.已知弦中点，结合点差法求出直线的斜率，进而得到直线方程；
（2）根据焦点求出抛物线的方程为，设过点的直线方程为，与抛物线方程联立，利用相切得出，可得，再利用韦达定理可得答案.
【详解】（1）由，得，则.
又椭圆：的离心率为，设椭圆的焦半径为，
则，解得，则，
所以椭圆：.
由直线与椭圆相交于，两点，设，，
∴，，
两式作差得：，
即：，
由的中点为，
可得：，，代入上式得，
当时，，，两点重合，不合题意；
当时，直线的斜率，
∴直线的方程为：，即.

（2）由（1）知，则抛物线的焦点为，
所以，抛物线的标准方程为，准线方程为，
由于点是抛物线的准线上任意一点，故可设，
由直线，分别与抛物线相切于点可知，
直线，的斜率存在且都不为，
设过点的直线方程为，
联立消去,
得关于的方程，
若过点的直线与抛物线相切，
则其判别式，
化简得到关于的二次方程，
由题意知，直线，的斜率即该关于的二次方程的两根，即为、，
则由韦达定理知，，
故为定值，且定值为.

22．已知函数在点处的切线方程为.
(1)求函数的单调区间；
(2)设，是否存在实数，使得函数的极小值小于0？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义，列出关系式得出的值.进而得出函数的定义域，求导解不等式，即可得出单调区间；
（2）求出导函数，分以及，得出函数的单调区间，进而得出函数的极小值.构造，，得出，即可说明；
【详解】（1）因为，所以.
又函数在点处的切线方程为，即，
所以，即，解得.
所以，定义域为，
求导得，
当时，，所以的单调递增区间为；
当时，，所以的单调递减区间为.
（2）存在，使得函数的极小值小于0，理由如下：
因为，定义域为，
则.
因为时，（当且仅当时取等号），
所以当时，恒成立，
所以在定义域上单调递增，不符合题意；
当，即时，此时有，
所以方程有两个不相等的正实数根，设为.
不妨设，因为，
所以，且，
所以当或时，有，
的单调递增区间为，；
当时，，所以的单调递减区间为.
此时在处取得极大值，
在处取得极小值.
令，，
则，
所以在上单调递减，
所以，
即.
所以存在，使得函数的极小值小于0.
喜欢篮球
不喜欢篮球
合计
男生
20
女生
15
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
喜欢篮球
不喜欢篮球
合计
男生
30
20
50
女生
15
35
50
合计
45
55
100
0
1
2
3