2023届云南省弥勒市第一中学高三10月月考数学试题（解析版）

这是一份2023届云南省弥勒市第一中学高三10月月考数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023届云南省弥勒市第一中学高三10月月考数学试题

一、单选题
1．设集合A={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，则=（ ）
A．{1，3，5，7} B．{2，3} C．{2，3，5} D．{1，2，3，5，7，8}
【答案】C
【分析】根据集合交集的运算可直接得到结果.
【详解】因为A={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，
所以
故选：C
【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单.
2．=（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接计算出答案即可.
【详解】
故选：B
【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单.
3．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
4．在中，D是AB边上的中点，则=（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】

故选：C
【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.
5．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （    ）
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
【答案】B
【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.
【详解】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
6．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组：，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为（    ）

A．10 B．18 C．20 D．36
【答案】B
【分析】根据直方图确定直径落在区间之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.
【详解】根据直方图，直径落在区间之间的零件频率为：，
则区间内零件的个数为：.
故选：B.
【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题.
7．已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（    ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】根据球的表面积和的面积可求得球的半径和外接圆半径，由球的性质可知所求距离.
【详解】
设球的半径为，则，解得：.
设外接圆半径为，边长为，
是面积为的等边三角形，
，解得：，，
球心到平面的距离.
故选：C.
【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.
8．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.
【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
故选：B.
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
9．若实数x，y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数在何处能够取得最大值和最小值从而确定目标函数的取值范围即可.
【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数即：，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，
联立直线方程：，可得点A的坐标为：，
据此可知目标函数的最小值为：
且目标函数没有最大值.
故目标函数的取值范围是.
故选：B.
【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
10．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（    ）
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
【答案】B
【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，
由可得：，
所以，
因此.
故选：B.
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前项和公式的应用，考查了数学运算能力.
11．在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案.
【详解】在中，，，
根据余弦定理：

可得 ，即
由
故.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
12．执行右面的程序框图，若输入的k=0，a=0，则输出的k为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.
【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的值
模拟程序的运行过程

第1次循环，，为否
第2次循环，，为否
第3次循环，，为否
第4次循环，，为是
退出循环
输出.
故选：C.
【点睛】本题考查求循环框图的输出值，解题关键是掌握模拟循环语句运行的计算方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

二、填空题
13．已知 =，则的值是____.
【答案】
【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.
【详解】

故答案为：
【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
14．若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为_________．
【答案】7
【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.
【详解】不等式组所表示的可行域如图
因为，所以，易知截距越大，则越大，
平移直线，当经过A点时截距最大，此时z最大，
由，得，，
所以.
故答案为：7.

【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.
15．已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
【答案】.
【分析】根据已知条件易得，侧面，可得侧面与球面的交线上的点到的距离为，可得侧面与球面的交线是扇形的弧，再根据弧长公式可求得结果.
【详解】如图：

取的中点为，的中点为，的中点为，
因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，，
又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，
因为，所以侧面，
设为侧面与球面的交线上的点，则，
因为球的半径为，，所以，
所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，
因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，
因为，所以，
所以根据弧长公式可得.
故答案为：.
【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.
16．在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是__________．
【答案】
【分析】根据条件得,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值.
【详解】
设圆心到直线距离为，则
所以
令（负值舍去）
当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为，
故答案为：
【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.

三、解答题
17．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：


















参考公式和数据：，．
附表：









(1)估计事件“该市一天空气中 浓度不超过，且 浓度不超过 ”的概率；
(2)根据所给数据，完成下面的 列联表：











(3)根据（2）中的列联表，判断是否有 的把握认为该市一天空气中 浓度与浓度有关？
【答案】(1)
(2)填表见解析
(3)有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关

【分析】(1由题意可计算出满足条件的天数，即可得答案；
(2)根据表中的数据即可完善列表；
(3)由(2)中的数据计算出的值，即可得结论.
【详解】(1)由表格可知，该市天中，空气中的浓度不超过，且 浓度不超过的天数有 天，
所以该市一天中，空气中的浓度不超过，且 浓度不超过的概率为 ；
(2)解：




合计

64
16
80

10
10
20
合计
74
26
100

(3)解:根据 列联表中的数据可得:
===.
因为根据临界值表可知，有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关．
18．已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求.
【答案】（1）；（2）
【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得数列的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.
【详解】(1) 设等比数列的公比为q(q>1)，则，
整理可得：，
，
数列的通项公式为：.
(2)由于：，故：


.
【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.
19．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．

（1）求证：EF∥平面AB1C1；
（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．
【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.
【分析】（1）通过证明，来证得平面.
（2）通过证明平面，来证得平面平面.
【详解】（1）由于分别是的中点，所以.
由于平面,平面，所以平面.
（2）由于平面，平面，所以.
由于，所以平面,
由于平面，所以平面平面.

【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题.
20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．

（1）求△AF1F2的周长；
（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值；
（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．
【答案】（1）6；（2）-4；（3）或.
【分析】（1）根据椭圆定义可得，从而可求出的周长；
（2）设，根据点在椭圆上，且在第一象限，，求出，根据准线方程得点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值；
（3）方法一：设出，点到直线的距离为，由点到直线的距离与，可推出，根据点到直线的距离公式，以及满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标.
【详解】（1）∵椭圆的方程为
∴,
由椭圆定义可得：.
∴的周长为；
（2）设，根据题意可得.
∵点在椭圆上，且在第一象限，，∴，
∵准线方程为，∴，
∴，当且仅当时取等号.
∴的最小值为.
（3）[方法一]：点到直线距离公式法
设，点到直线的距离为.
∵，，∴直线的方程为,即
∵点到直线的距离为，
又∵，∴，
∴，即即①或②，
又∵点M在椭圆③上，
联立①③解得，；联立②③，无解.
∴或.
[方法二]【最优解】：转化法
同方法一得到直线的方程，且M到直线AF1的距离为O到直线AF1的距离的3倍，由于F1(-1,0),O(0,0),∴点M在过(2,0)或(-4,0)且与直线AF1平行的直线上，即在直线①或直线②上，将①代入椭圆方程无解；将②代入椭圆方程并化简得,解得,分别代入②得，，∴或.

[方法三]：向量法
设直线交与N，由（１）可得直线的方程为．
由得（M，O在同侧）或（M，O在异侧）．

当M为或，N为，不合题意；
当与x轴不垂直时，设直线的方程为，
与直线的方程联立解得．
若，则，
代入椭圆方程得，
解得或，此时或；
若，则，
代入椭圆方程中得，此方程无解．
综上所述，M点的坐标为或．
[方法四]：角参数法
同方法一得到直线的方程为．点到直线的距离．
设，则，
即．
若，即，无解；
若，即（）,
∴，其中，且可以限定为锐角.
∴∴,
∴
或，分别代入（）得到或
故点M的坐标为或．
【整体点评】（3）的方法一，利用面积关系，得到点到直线的距离的值，利用点到直线的距离公式求得坐标满足的方程，与椭圆方程联立解得坐标；方法二抓住本题的特点，根据三角形面积的性质进行转化，得到M所在的直线方程，然后解方程组求解，运算最为简洁，是最优解；方法三更多地利用向量方法进行运算求解，要注意特殊情况的验证排除；方法四通过使用椭圆的角参数坐标，结合三角恒等变换公式求解得到.
21．已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明：；
（3）设n∈N，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.
【答案】（1）当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.
（2）证明见解析；
（3）证明见解析.
【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；
(2)[方法一]由题意将所给的式子进行变形，利用四元基本不等式即可证得题中的不等式；
(3)[方法一]将所给的式子进行恒等变形，构造出(2)的形式，利用(2)的结论即可证得题中的不等式.
【详解】(1)由函数的解析式可得：，则：

，
在上的根为：，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
(2)[方法一]【最优解】：基本不等式法
由四元均值不等式可得
，当且仅当，
即或时等号成立．
所以．
[方法二]：构造新函数+齐次化方法
因为，令，则问题转化为求的最大值．
求导得，令，得．
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
所以函数的最大值为，故．
[方法三]：结合函数的周期性进行证明
注意到，
故函数是周期为的函数，
结合(1)的结论，计算可得：，
，，
据此可得：，，
即.
(3)[方法一]【最优解】：利用(2)的结论
由于，
所以．
[方法二]：数学归纳法+放缩
当时，，显然成立；
假设当时原式成立，即．
那么，当时，有
，
即当时不等式也成立．
综上所述，不等式对所有的都成立．
【整体点评】(2)方法一：基本不等式是证明不等式的重要工具，利用基本不等式解题时一定要注意等号成立的条件；
方法二：齐次化之后切化弦是一种常用的方法，它将原问题转化为一元函数的问题，然后构造函数即可证得题中的不等式；
方法三：周期性是三角函数的重要特征，结合函数的周期性和函数的最值证明不等式充分体现了三角函数有界限的应用.
(3)方法一：利用(2)的结论体现了解答题的出题思路，逐问递进是解答题常见的设问方式；
方法二：数学归纳法是处理与自然数有关的命题的常见策略，放缩法是不等式证明中常见的方法.
22．在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，）．
（1）求，的值
（2）求出直线与圆的公共点的极坐标．
【答案】（1）（2）
【分析】(1)将A,B点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.
【详解】（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，
，
因为点为直线上，故其直角坐标方程为，
又对应的圆的直角坐标方程为：，
由解得或，
对应的点为，故对应的极径为或.
（2），
，
当时；
当时，舍；即所求交点坐标为当
【点睛】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题.
23．已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求a的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；
（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果.
【详解】（1）当时，.
当时，，解得：；
当时，，无解；
当时，，解得：；
综上所述：的解集为或.
（2）（当且仅当时取等号），
，解得：或，
的取值范围为.
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.