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专题05 函数图象问题-2022年中考数学选填压轴题专项复习
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这是一份专题05 函数图象问题-2022年中考数学选填压轴题专项复习，文件包含专题05函数图象问题解析版-2022年中考数学选填压轴题专项复习docx、专题05函数图象问题原卷版-2022年中考数学选填压轴题专项复习docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。
【2022年中考数学填选重点题型突破】
专题五：函数图象问题
【备考指南】
函数图象问题是中考试卷中的热点问题之一．函数的实质是研究两个变量之间的关系，并用函数思想构建数学模型解决实际问题．利用函数解决实际问题的过程中，不仅体现了数形结合的思想，还需要我们结合实际来分析问题、解决问题．因此，在解决函数图象这类问题时我们要结合实际问题，准确、快速识别图象，提取信息或根据题中的数量关系抽象出函数模型（如一次函数、二次函数、反比例函数以及它们的分段函数），进而应用函数进行分析、研究、解决问题．在解决这类问题时，还要注意自变量的取值范围，实际问题的图象往往是纯解析式函数的一部分．
【典例引领】
例1：（2021湖南长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式：（a，b，c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )
A. 3.50分钟 B. 4.05分钟 C. 3.75分钟 D. 4.25分钟
【答案】C
【解析】
【分析】
将图中三个坐标代入函数关系式解出a和b,再利用对称轴公式求出即可．
【详解】将(3,0.8)(4,0．9)(5,0.6)代入得:
②－①和③－②得
⑤－④得,解得a=﹣0.2．
将a=﹣02．代入④可得b=1.5．
对称轴=．
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的三点式,关键在于利用待定系数法求解,且本题只需求出a和b即可得出答案．
变式训练1：（2021重庆）A，B两地相距240 km，甲货车从A地以40km/h的速度匀速前往B地，到达B地后停止，在甲出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止，两车之间的路程y（km）与甲货车出发时间x（h）之间的函数关系如图中的折线所示．其中点C的坐标是，点D的坐标是，则点E的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据CD段的求出乙货车的行驶速度，再根据两车的行驶速度分析出点E表示的意义，由此即可得出答案．
【详解】设乙货车行驶速度为
由题意可知，图中的点D表示的是甲、乙货车相遇
点C的坐标是，点D的坐标是
此时甲、乙货车行驶的时间为，甲货车行驶的距离为，乙货车行驶的距离为
乙货车从B地前往A地所需时间为
由此可知，图中点E表示的是乙货车行驶至A地，EF段表示的是乙货车停止后，甲货车继续行驶至B地
则点E的横坐标为4，纵坐标为在乙货车停止时，甲货车行驶的距离，即
即点E的坐标为
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，读懂函数图象是解题关键．
变式训练2：（2021浙江台州）如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度v（单位：m/s）与运动时间t（单位：s）的函数图象如图2，则该小球的运动路程y（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的函数图象大致是（ ）
【答案】C
【分析】小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程y是t的二次函数，图象是先缓后陡，由此即可判断．
【解答】解：小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程y是t的二次函数，图象是先缓后陡，
在右侧上升时，情形与左侧相反，
故选：C．
例2：（2021辽宁抚顺）如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ）
【答案】A
【解析】
分析】
分两段来分析：①点P从点A出发运动到点D时，写出此段的函数解析式，则可排除C和D；②P点过了D点向C点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
又∵，
∴，，
∵，，
∴四边形是矩形，
I．当P在线段AD上时，即时，如解图1
∴，
∴，
∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项CD错误；
II．当P在线段CD上时，即时，如解图2：
依题意得：，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项B错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键．
变式训练1：（2021贵州铜仁）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
【答案】D
【分析】分别求出0≤x≤4、4＜x＜7时函数表达式，即可求解．
【解答】解：由题意当0≤x≤4时，
y＝×AD×AB＝×3×4＝6，
当4＜x＜7时，
y＝×PD×AD＝×（7﹣x）×4＝14﹣2x．
故选：D．
变式训练:2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=3，AD=4，BC=33，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
【答案】D
【分析】分两种情况：（1）当点P在AB上移动时，点D到直线PA的距离不变，恒为4；（2）当点P在BC上移动时，根据相似三角形判定的方法，判断出△PAB∽△ADE，即可得出y=12x（3＜x≤6），据此判断出y关于x的函数大致图象是哪个即可．
【解答】
解：根据题意，分两种情况讨论：
（1）当点P在AB上移动时，点D到直线PA的距离为：y=DA=4（0≤x≤3），即点D到PA的距离为AD的长度，是定值4；
（2）当点P在BC上移动时．
∵AB=3，BC=33，∴AC=AB2+BC2=32+（33）2=6．
∵AD∥BC，∴∠APB=∠DAE．
∵∠ABP=∠AED=90°，∴△PAB∽△ADE，∴PAAD=ABDE，∴x4=3y，∴y=12x（3＜x≤6）．
综上，纵观各选项，只有D选项图形符合．
故选D．
【点睛】本题考查了动点问题函数图象，关键是利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点P的位置分两种情况讨论．
变式训练3：（2021湖北孝感）如图，在四边形中，，，，，．动点沿路径从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动．过点作，垂足为．设点运动的时间为（单位：），的面积为，则关于的函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分点P在AB边上，如图1，点P在BC边上，如图2，点P在CD边上，如图3，利用解直角三角形的知识和三角形的面积公式求出相应的函数关系式，再根据相应函数的图象与性质即可进行判断．
【详解】解：当点P在AB边上，即0≤x≤4时，如图1，
∵AP=x，，
∴，
∴；
当点P在BC边上，即4＜x≤10时，如图2，
过点B作BM⊥AD于点M，则，
∴；
当点P在CD边上，即10＜x≤12时，如图3，
AD=，，
∴；
综上，y与x的函数关系式是：，
其对应的函数图象应为：
．
故选：D．
【点睛】本题以直角梯形为载体，主要考查了动点问题的函数图象、一次函数和二次函数的图象与性质以及解直角三角形等知识，属于常考题型，正确分类、列出相应的函数关系式是解题的关键．
【强化训练】
1.（2021贵州遵义）新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】乌龟是匀速行走的，图象为线段．兔子是：跑﹣停﹣急跑，图象由三条折线组成；最后同时到达终点，即到达终点花的时间相同．
【解答】解：A．此函数图象中，S2先达到最大值，即兔子先到终点，不符合题意；
B．此函数图象中，S2第2段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追”不符，不符合题意；
C．此函数图象中，S1、S2同时到达终点，符合题意；
D．此函数图象中，S1先达到最大值，即乌龟先到终点，不符合题意．
故选：C．
2.（2021湖北随州）小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，则下列函数图象最能体现他离家的距离（）与出发时间（）之间的对应关系的是（ ）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件，确定出每一步的函数图形，再把图象结合起来即可求出结果．
【详解】解：小明从家出发步行至学校，可以看作是一条缓慢上升的直线；
中间停留一段时间，可以看作与水平方向平行的直线；
从学校乘车返回家，可以看作是一条迅速下降的直线；
结合四个选项，B符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了函数的图象问题，在解题时要根据实际情况确定出函数的图象是解题的关键．
3.（2021青海）将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水（如图所示），则小水杯内水面的高度与注水时间的函数图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
用排除法可直接得出答案.
【详解】圆柱形小水杯事先盛有部分水，起点处小水杯内水面的高度必然是大于0的，用排除法可以排除掉A、D；
注水管沿大容器内壁匀速注水，在大容器内水面高度到达h之前，小水杯中水边高度保持不变，大容器内水面高度到达h后，水匀速从大容器流入小容器，小容器水面高度匀速上升，达到最大高度h后，小容器内盛满了，水面高度一直保持h不变，因此可以排除C，正确答案选B.
考点：1.函数；2.数形结合；3.排除法.
4.（2021湖北黄冈）2022年初以来，红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为m吨的情况下，日销售量与产量持平，自1月底抗击“新冠病毒”以来，消毒液霱求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销．下面表示2022年初至脱销期间，该厂库存量y（吨）与时间（天）之间函数关系的大致图象是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
正确理解函数图象与实际问题的关系，题目中的脱销时库存量为0．
【详解】根据题意：一开始销售量与生产量持平，此时图象为平行于x轴的线段，
当下列猛增是库存随着时间的增加而减小，
时间t与库存量y之间函数关系的图象为先平，再逐渐减小，最后为0．
故选：D．
【点睛】本题要求能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢．
5.（2021湖北恩施）甲乙两车从城出发前往城，在整个行程中，汽车离开城的距离与时刻的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（ ）．
A. 甲车的平均速度为 B. 乙车的平均速度为
C. 乙车比甲车先到城 D. 乙车比甲车先出发
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图象逐项分析判断即可．
【详解】由图象知：
A．甲车的平均速度为=，故此选项正确；
B．乙车的平均速度为，故此选项正确；
C．甲10时到达B城，乙9时到达B城，所以乙比甲先到B城，故此选项正确；
D．甲5时出发，乙6时出发，所以乙比甲晚出发1h，故此选项错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象，正确识别图象并能提取相关信息是解答的关键．
6.（2021黑龙江绥化）黑龙江省某企业用货车向乡镇运送农用物资，行驶2小时后，天空突然下起大雨，影响车辆行驶速度，货车行驶的路程与行驶时间的函数关系如图所示，2小时后货车的速度是________．
【答案】65
【解析】
【分析】
根据函数图象中的数据，可以根据速度=路程时间，计算2小时后火车的速度.
【详解】解：观察图象可得，当x=2时，y=156,当x=3时，y=221.
∴2小时后货车的速度是（221-156）（3-2）=65.
故答案是：65.
7.（2021上海）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行 350 米．
【答案】350
【分析】当8≤t≤20时，设s＝kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入求得s＝70t+400，求出t＝15时s的值，从而得出答案．
【解答】解：当8≤t≤20时，设s＝kt+b，
将（8，960）、（20，1800）代入，得：
，
解得：，
∴s＝70t+400；
当t＝15时，s＝1450，
1800﹣1450＝350，
∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米，
故答案为：350．
8.（2021江苏连云港）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程与它们的行驶时间之间的函数关系．小欣同学结合图像得出如下结论：
①快车途中停留了； ②快车速度比慢车速度多；
③图中； ④快车先到达目的地．
其中正确的是（ ）
A ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数图像与路程的关系即可求出各车的时间与路程的关系，依次判断．
【详解】当t=2h时，表示两车相遇，
2-2.5h表示两车都在休息，没有前进，2.5-3.6时，其中一车行驶，其速度为=80km/h，
设另一车的速度为x,
依题意得2（x+80）=360,
解得x=100km/h,
故快车途中停留了3.6-2=1.6h，①错误；
快车速度比慢车速度多，②正确；
t=5h时，慢车行驶的路程为（5-0.5）×80=360km，即得到目的地，比快车先到，故④错误；
t=5h时，快车行驶的路程为（5-1.6）×100=340km，
故两车相距340m，故③正确；
故选B．
【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据函数图像得到路程与时间的关系．
9.（2021湖北武汉）一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水和出水是两个常数．从某时刻开始内只进水不出水，从第到第内既进水又出水，从第开始只出水不进水，容器内水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则图中的值是（ ）
A. 32 B. 34 C. 36 D. 38
【答案】C
【解析】
【分析】
设每分钟的进水量为，出水量为，先根据函数图象分别求出b、c的值，再求出时，y的值，然后根据每分钟的出水量列出等式求解即可．
【详解】设每分钟的进水量为，出水量为
由第一段函数图象可知，
由第二段函数图象可知，
即
解得
则当时，
因此，
解得
故选：C．
【点睛】本题考查了函数图象的应用，理解题意，从函数图象中正确获取信息，从而求出每分钟的进水量和出水量是解题关键．
10.（2021四川广元）如图，是的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿的路线匀速运动，设（单位：度），那么y与点P运动的时间（单位：秒）的关系图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图示，分三种情况：（1）当点P沿O→C运动时；（2）当点P沿C→B运动时；（3）当点P沿B→O运动时；分别判断出y的取值情况，进而判断出y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是哪个即可．
【详解】解：（1）当点P沿O→C运动时，
当点P在点O的位置时，y＝90°，
当点P在点C的位置时，
∵OA＝OC，
∴y＝45°，
∴y由90°逐渐减小到45°；
（2）当点P沿C→B运动时，
根据圆周角定理，可得
y≡90°÷2＝45°；
（3）当点P沿B→O运动时，
当点P在点B的位置时，y＝45°，
当点P在点O的位置时，y＝90°，
∴y由45°逐渐增加到90°．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象和圆周角定理，解答此类问题的关键是通过看图获取信息，并能解决生活中的实际问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即学会识图．
11.（2021安徽）.如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为,由此得出面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得
【详解】C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为,面积为y=x··=,
B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为,面积为
y=(4－x)··=,
两个三角形重合时面积正好为.
由二次函数图象的性质可判断答案为A,
故选A.
【点睛】本题考查三角形运动面积和二次函数图像性质,关键在于通过三角形面积公式结合二次函数图形得出结论.
12．如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan∠BCE=43．设AB=x，△ABF的面积为y，则y与x的函数图象大致为( )
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】设AB＝x，根据折叠，可证明∠AFB=90°，由tan∠BCE=43，分别表示EB、BC、CE，进而证明△AFB∽△EBC，根据相似三角形面积之比等于相似比平方，表示△ABF的面积.
【解答】
解：设AB＝x，则AE＝EB＝12x，由折叠，FE＝EB＝12x，则∠AFB＝90°，由tan∠BCE＝43，∴BC＝23x，EC＝56x，∵F、B关于EC对称，∴∠FBA＝∠BCE，∴△AFB∽△EBC，∴yS△EBC＝(ABEC)2，∴y＝16x2×3625＝625x2，故选D.
【点睛】本题考查了三角函数，相似三角形，三角形面积计算，二次函数图像等知识，利用相似三角形的性质得出△ABF和△EBC的面积比是解题关键.
13.（2021甘肃武威市）如图①，正方形中，，相交于点，是的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图②所示，则的长为（ ）
A. B. 4 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
如图（见解析），先根据函数图象可知，再设正方形的边长为，从而可得，然后根据线段中点的定义可得，最后在中，利用勾股定理可求出a的值，由此即可得出答案．
【详解】如图，连接AE
由函数图象可知，
设正方形ABCD的边长为，则
四边形ABCD是正方形
，
是的中点
则在，由勾股定理得：
因此有
解得
则
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、函数图象等知识点，根据函数图象得出是解题关键．
14.如图，⊙O的半径为1，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发（P点与O点不重合），沿O→C→D的路线运动，设AP=x，sin∠APB=y，那么y与x之间的函数关系图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意分1＜x≤2与2＜x≤2两种情况，确定出y与x的关系式，即可确定出图象．
【解答】
解：当P在OC上运动时，根据题意得：sin∠APB=OAAP，
∵OA=1，AP=x，sin∠APB=y，
∴xy=1，即y=1x（1＜x≤2），
当P在CD上运动时，∠APB=12∠AOB=45°，
此时y=22（2＜x≤2），
图象为：
故选C．
【解题指导】此题考查了动点问题的函数图象，列出y与x的函数关系式是解本题的关键．
15．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=10，AB⊥AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】先利用勾股定理求出AC长，然后分三种情况分别求出y与x间的关系式即可进行判断. 三种情况是：①0≤x≤6 ，②6≤x≤8 ，③8≤x≤14.
【解答】
解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，∴AC=BC2-AB2=8，
当0≤x≤6时，AP=6﹣x，AQ=x，∴y=PQ2=AP2+AQ2=2x2﹣12x+36；
当6≤x≤8时，AP=x﹣6，AQ=x，∴y=PQ2=（AQ﹣AP）2=36；
当8≤x≤14时，CP=14﹣x，CQ=x﹣8，∴y=PQ2=CP2+CQ2=2x2﹣44x+260，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，动点问题的函数图象，结合图形正确地分三种情况进行讨论是解题的关键.
16.（2021四川攀枝花）甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，赵明阳跑步从甲地往乙地，王浩月骑自行车从乙地往甲地，两人同时出发，王浩月先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系大致如图所示，下列说法中错误的是（ ）．
A. 两人出发1小时后相遇 B. 赵明阳跑步的速度为
C. 王浩月到达目的地时两人相距 D. 王浩月比赵明阳提前到目的地
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图像可得两地之间的距离，再分别算出两人的行进速度，据此可得各项数据进而判断各选项.
【详解】解：由图可知：当时间为0h时，两人相距24km，
即甲乙两地相距24km，
当时间为1h时，甲乙两人之间距离为0，
即此时两人相遇，故A正确；
∵24÷1=24，可得两人的速度和为24km/h，
由于王浩月先到达目的地，故赵明阳全程用了3h，
∴赵明阳的速度为24÷3=8km/h，故B正确；
可知王浩月的速度为24-8=16km/h，
∴王浩月到达目的地时，用了24÷16=h，
此时赵明阳行进的路程为：×8=12km，
即此时两人相距12km，故C错误；
赵明阳到达目的地时，用了3h，
则3-==1.5h，
∴王浩月比赵明阳提前1.5h到目的地，故D正确.
故选C.
【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，解题时要充分理解题意，读懂函数图像的意义.
17.．如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】可过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．
【解答】
解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，
所以根据相似比可知：EF12=6-x6，即EF=2（6-x）
所以y=12×2（6-x）x=-x2+6x．（0＜x＜6）
该函数图象是抛物线的一部分，
故选：D．
【点睛】此题考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的读图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．
18.如图，在RtΔACB中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，动点P，Q同时从点A出发，分别沿射线AB，AC方向运动，且满足AQ=PQ，过点P作PM⊥AB，交直线BC于点M，PQ与直线BC交于点N.设MN=x，ΔPMN的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由AQ=PQ，∠ACB=90°及PM⊥AB，推出∠B=∠MPN，再结合∠PNM=∠PNB，证出△PNM∽△BNP，推出线段的比例关系，然后用tanB的值计算出相似比，从而求得当x=2时，点N与点C重合，从而解出PM、PB，进而算出△PMN的面积，从而得解．
【解答】
解：∵AQ=PQ，
∴∠A=∠APQ，
∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∴∠APQ+∠B=90°，
又∵PM⊥AB，
∴∠MPN+∠APQ=90°，
∴∠B=∠MPN，
又∵∠PNM=∠PNB，
∴△PNM∽△BNP，
∴MNPN＝PNBN=PMPB，
∵MN=x，△PMN的面积为y，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，
∴Rt△ACB和Rt△BPM中，tanB＝PMPB＝ACBC＝48＝12，
∴xPN＝PNBN＝PMPB＝12，
∴当x=2时，PN=4，BN=8，
又∵BC=8，
∴当x=2时，点N与点C重合．
∴BM=BC-MN=8-2=6，
∴在Rt△BPM中，设PM=m，则PB=2m，由勾股定理得：m2+（2m）2=62，
解得m=655，2m=1255，
∴S△PBM=655×1255÷2=365，
∵MNBM＝26＝13，
∴△PMN的面积y=365×13＝125，
∴当x=2时，y=125，
由选项的图象得，只有C符合要求．
故选C．
【点睛】本题是较为复杂的动点函数问题，观察起始位置，及中间某个特殊值作为解题的突破口，再结合排除法是较为有效的解答方法．
19.（2021湖南衡阳）如图1，在平面直角坐标系中，在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移．在平移过程中，直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示．那么的面积为（ ）
A. 3 B. C. 6 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A；当移动距离是6时，直线经过B，在移动距离是7时经过D，则AD=7-4=3，当直线经过D点，设交BC与N.则DN=2，作DM⊥AB于点M.利用三角函数即可求得DM即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．
【详解】解：根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A
当移动距离是6时，直线经过B
当移动距离是7时经过D，则AD=7-4=3
如图：设交BC与N，则DN=2，作DM⊥AB于点M，
∵移动直线为y=x
∴∠NDM=45°
∴DM=cos∠NDM·ND=
∴的面积为AD×DM=3×=3．
故答案为B．
【点睛】本题考查了平移变换、解直角三角形等知识，其中根据平移变换确定AD长是解答本题的关键．
20.．如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B=60°，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】应根据0≤t＜2和2≤t＜4两种情况进行讨论．把t当作已知数值，就可以求出S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解．
【解答】
解：当0≤t＜2时，S=2t×32×（4﹣t）=﹣3t2+43t；
当2≤t＜4时，S=4×32×（4﹣t）=﹣23t+83；
只有选项D的图形符合，
故选D．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的关键．
21．如图，已知等边三角形ABC的边长为2，E、F、G分别是边AB、BC、CA的点，且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y与x的函数图象大致是（ ）
【答案】C。
∵AE=BF=CG，且等边△ABC的边长为2，AE的长为x，
∴BE=CF=AG=2﹣x。∴△AEG≌△BEF≌△CFG。
在△AEG中，AE=x，AG=2﹣x，
∵S△AEG=AE×AG×sinA=x（2﹣x）；
∴y=S△ABC﹣3S△AEG=﹣3×x（2﹣x）=（x2﹣x+1）。
∴其图象为二次函数，且开口向上。
故选C
22．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作Rt△ABC，使∠BAC=90°，∠ACB=30°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
【答案】C
【分析】利用相似三角形的性质与判定得出y与x之间的函数关系式进而得出答案．
【解答】
解：如图所示：过点C作CD⊥y轴于点D，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC+∠OAB=90°，
∵∠DCA+∠DAC=90°，
∴∠DCA=∠OAB，
又∵∠CDA=∠AOB=90°，
∴△CDA∽△AOB，
∴OBDA=OADC=ABAC=tan30°，
则xy-1=33，
故y=3x+1（x＞0），
则选项C符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，正确利用相似得出函数关系式是解题关键．
23．已知点P为某个封闭图形边界上的一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ）
【答案】A
【分析】先观察图象得到y与x的函数图象分三个部分，则可对有4边的封闭图形进行淘汰，利用圆的定义，P点在圆上运动时，PM总上等于半径，则可对D进行判断，从而得到正确选项．
【解答】
解：y与x的函数图象分三个部分，而B选项和C选项中的封闭图形都有4条线段，其图象要分四个部分，所以B、C选项不正确；D选项中的封闭图形为圆，y为定中，所以D选项不正确；A选项为三角形，M点在三边上运动对应三段图象，且M点在P点的对边上运动时，PM的长有最小值．
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
24．如图，矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，点P从点A出发，以lcm/s的速度沿A→D→C方向匀速运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一个点也随之停止．设运动时间为t（s），△APQ的面积为S（cm2），下列能大致反映S与t之间函数关系的图象是（ ）
【答案】A
【分析】先根据动点P和Q的运动时间和速度表示：AP=t，AQ=2t，
①当0≤t≤4时，Q在边AB上，P在边AD上，如图1，计算S与t的关系式，发现是开口向上的抛物线，可知：选项C、D不正确；
②当4＜t≤6时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2，计算S与t的关系式，发现是一次函数，是一条直线，可知：选项B不正确，从而得结论．
【解答】
解：由题意得：AP=t，AQ=2t，
①当0≤t≤4时，Q在边AB上，P在边AD上，如图1，
S△APQ=12AP•AQ=12⋅t⋅2t=t2，
故选项C、D不正确；
②当4＜t≤6时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2，
S△APQ=12AP•AB=12⋅t⋅8=4t，
故选项B不正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据动点P和Q的位置的不同确定三角形面积的不同，解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S与t的函数关系式．
25．如图，边长为2的正△ABC的边BC在直线l上，两条距离为l的平行直线a和b垂直于直线l，a和b同时向右移动（a的起始位置在B点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t（秒），直到b到达C点停止，在a和b向右移动的过程中，记△ABC夹在a和b之间的部分的面积为s，则s关于t的函数图象大致为（ ）
【答案】B
【分析】依据a和b同时向右移动，分三种情况讨论，求得函数解析式，进而得到当0≤t＜1时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，当1≤t＜2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分，当2≤t≤3时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分．
【解答】
解：如图①，当0≤t＜1时，BE=t，DE=3t，
∴s=S△BDE=12×t×3t=32t2；
如图②，当1≤t＜2时，CE=2-t，BG=t-1，
∴DE=3（2-t），FG=3（t-1），
∴s=S五边形AFGED=S△ABC-S△BGF-S△CDE=12×2×3-12×（t-1）×3（t-1）-12×（2-t）×3（2-t）=-3t2+33t-323；
如图③，当2≤t≤3时，CG=3-t，GF=3（3-t），
∴s=S△CFG=12×（3-t）×3（3-t）=32t2-33t+932，
综上所述，当0≤t＜1时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当1≤t＜2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分；当2≤t≤3时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，
故选B．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
26．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3cm.动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB方向运动到点B.动点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC→CB方向运动到点B.设△APQ的面积为y（cm2）.运动时间为x（s），则下列图象能反映y与x之间关系的是 （ ）
【答案】D
【分析】在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3cm，可得AB=32，∠A=∠B=45°，分当0＜x≤3（点Q在AC上运动，点P在AB上运动）和当3≤x≤6时（点P与点B重合，点Q在CB上运动）两种情况求出y与x的函数关系式，再结合图象即可解答.
【解答】
解：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3cm，可得AB=32，∠A=∠B=45°，当0＜x≤3时，点Q在AC上运动，点P在AB上运动（如图1）， 由题意可得AP=2x，AQ=x，过点Q作QN⊥AB于点N，在等腰直角三角形AQN中，求得QN=22x，所以y=12AP⋅QN=12×2x×22x=12x2（0＜x≤3），即当0＜x≤3时，y随x的变化关系是二次函数关系，且当x=3时，y=4.5；当3≤x≤6时，点P与点B重合，点Q在CB上运动（如图2），由题意可得PQ=6-x，AP=32，过点Q作QN⊥BC于点N，在等腰直角三角形PQN中，求得QN=22(6-x)，所以y=12AP⋅QN=12×32×22(6-x)=-32x+9（3≤x≤6），即当3≤x≤6时，y随x的变化关系是一次函数，且当x=6时，y=0.由此可得，只有选项D符合要求，故选D.
【点睛】本题考查了动点函数图象，解决本题要正确分析动线运动过程，然后再正确计算其对应的函数解析式，由函数的解析式对应其图象，由此即可解答．
【2022年中考数学填选重点题型突破】
专题五：函数图象问题
【备考指南】
函数图象问题是中考试卷中的热点问题之一．函数的实质是研究两个变量之间的关系，并用函数思想构建数学模型解决实际问题．利用函数解决实际问题的过程中，不仅体现了数形结合的思想，还需要我们结合实际来分析问题、解决问题．因此，在解决函数图象这类问题时我们要结合实际问题，准确、快速识别图象，提取信息或根据题中的数量关系抽象出函数模型（如一次函数、二次函数、反比例函数以及它们的分段函数），进而应用函数进行分析、研究、解决问题．在解决这类问题时，还要注意自变量的取值范围，实际问题的图象往往是纯解析式函数的一部分．
【典例引领】
例1：（2021湖南长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式：（a，b，c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )
A. 3.50分钟 B. 4.05分钟 C. 3.75分钟 D. 4.25分钟
【答案】C
【解析】
【分析】
将图中三个坐标代入函数关系式解出a和b,再利用对称轴公式求出即可．
【详解】将(3,0.8)(4,0．9)(5,0.6)代入得:
②－①和③－②得
⑤－④得,解得a=﹣0.2．
将a=﹣02．代入④可得b=1.5．
对称轴=．
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的三点式,关键在于利用待定系数法求解,且本题只需求出a和b即可得出答案．
变式训练1：（2021重庆）A，B两地相距240 km，甲货车从A地以40km/h的速度匀速前往B地，到达B地后停止，在甲出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止，两车之间的路程y（km）与甲货车出发时间x（h）之间的函数关系如图中的折线所示．其中点C的坐标是，点D的坐标是，则点E的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据CD段的求出乙货车的行驶速度，再根据两车的行驶速度分析出点E表示的意义，由此即可得出答案．
【详解】设乙货车行驶速度为
由题意可知，图中的点D表示的是甲、乙货车相遇
点C的坐标是，点D的坐标是
此时甲、乙货车行驶的时间为，甲货车行驶的距离为，乙货车行驶的距离为
乙货车从B地前往A地所需时间为
由此可知，图中点E表示的是乙货车行驶至A地，EF段表示的是乙货车停止后，甲货车继续行驶至B地
则点E的横坐标为4，纵坐标为在乙货车停止时，甲货车行驶的距离，即
即点E的坐标为
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，读懂函数图象是解题关键．
变式训练2：（2021浙江台州）如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度v（单位：m/s）与运动时间t（单位：s）的函数图象如图2，则该小球的运动路程y（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的函数图象大致是（ ）
【答案】C
【分析】小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程y是t的二次函数，图象是先缓后陡，由此即可判断．
【解答】解：小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程y是t的二次函数，图象是先缓后陡，
在右侧上升时，情形与左侧相反，
故选：C．
例2：（2021辽宁抚顺）如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ）
【答案】A
【解析】
分析】
分两段来分析：①点P从点A出发运动到点D时，写出此段的函数解析式，则可排除C和D；②P点过了D点向C点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
又∵，
∴，，
∵，，
∴四边形是矩形，
I．当P在线段AD上时，即时，如解图1
∴，
∴，
∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项CD错误；
II．当P在线段CD上时，即时，如解图2：
依题意得：，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项B错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键．
变式训练1：（2021贵州铜仁）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
【答案】D
【分析】分别求出0≤x≤4、4＜x＜7时函数表达式，即可求解．
【解答】解：由题意当0≤x≤4时，
y＝×AD×AB＝×3×4＝6，
当4＜x＜7时，
y＝×PD×AD＝×（7﹣x）×4＝14﹣2x．
故选：D．
变式训练:2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=3，AD=4，BC=33，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
【答案】D
【分析】分两种情况：（1）当点P在AB上移动时，点D到直线PA的距离不变，恒为4；（2）当点P在BC上移动时，根据相似三角形判定的方法，判断出△PAB∽△ADE，即可得出y=12x（3＜x≤6），据此判断出y关于x的函数大致图象是哪个即可．
【解答】
解：根据题意，分两种情况讨论：
（1）当点P在AB上移动时，点D到直线PA的距离为：y=DA=4（0≤x≤3），即点D到PA的距离为AD的长度，是定值4；
（2）当点P在BC上移动时．
∵AB=3，BC=33，∴AC=AB2+BC2=32+（33）2=6．
∵AD∥BC，∴∠APB=∠DAE．
∵∠ABP=∠AED=90°，∴△PAB∽△ADE，∴PAAD=ABDE，∴x4=3y，∴y=12x（3＜x≤6）．
综上，纵观各选项，只有D选项图形符合．
故选D．
【点睛】本题考查了动点问题函数图象，关键是利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点P的位置分两种情况讨论．
变式训练3：（2021湖北孝感）如图，在四边形中，，，，，．动点沿路径从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动．过点作，垂足为．设点运动的时间为（单位：），的面积为，则关于的函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分点P在AB边上，如图1，点P在BC边上，如图2，点P在CD边上，如图3，利用解直角三角形的知识和三角形的面积公式求出相应的函数关系式，再根据相应函数的图象与性质即可进行判断．
【详解】解：当点P在AB边上，即0≤x≤4时，如图1，
∵AP=x，，
∴，
∴；
当点P在BC边上，即4＜x≤10时，如图2，
过点B作BM⊥AD于点M，则，
∴；
当点P在CD边上，即10＜x≤12时，如图3，
AD=，，
∴；
综上，y与x的函数关系式是：，
其对应的函数图象应为：
．
故选：D．
【点睛】本题以直角梯形为载体，主要考查了动点问题的函数图象、一次函数和二次函数的图象与性质以及解直角三角形等知识，属于常考题型，正确分类、列出相应的函数关系式是解题的关键．
【强化训练】
1.（2021贵州遵义）新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】乌龟是匀速行走的，图象为线段．兔子是：跑﹣停﹣急跑，图象由三条折线组成；最后同时到达终点，即到达终点花的时间相同．
【解答】解：A．此函数图象中，S2先达到最大值，即兔子先到终点，不符合题意；
B．此函数图象中，S2第2段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追”不符，不符合题意；
C．此函数图象中，S1、S2同时到达终点，符合题意；
D．此函数图象中，S1先达到最大值，即乌龟先到终点，不符合题意．
故选：C．
2.（2021湖北随州）小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，则下列函数图象最能体现他离家的距离（）与出发时间（）之间的对应关系的是（ ）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件，确定出每一步的函数图形，再把图象结合起来即可求出结果．
【详解】解：小明从家出发步行至学校，可以看作是一条缓慢上升的直线；
中间停留一段时间，可以看作与水平方向平行的直线；
从学校乘车返回家，可以看作是一条迅速下降的直线；
结合四个选项，B符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了函数的图象问题，在解题时要根据实际情况确定出函数的图象是解题的关键．
3.（2021青海）将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水（如图所示），则小水杯内水面的高度与注水时间的函数图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
用排除法可直接得出答案.
【详解】圆柱形小水杯事先盛有部分水，起点处小水杯内水面的高度必然是大于0的，用排除法可以排除掉A、D；
注水管沿大容器内壁匀速注水，在大容器内水面高度到达h之前，小水杯中水边高度保持不变，大容器内水面高度到达h后，水匀速从大容器流入小容器，小容器水面高度匀速上升，达到最大高度h后，小容器内盛满了，水面高度一直保持h不变，因此可以排除C，正确答案选B.
考点：1.函数；2.数形结合；3.排除法.
4.（2021湖北黄冈）2022年初以来，红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为m吨的情况下，日销售量与产量持平，自1月底抗击“新冠病毒”以来，消毒液霱求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销．下面表示2022年初至脱销期间，该厂库存量y（吨）与时间（天）之间函数关系的大致图象是（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
正确理解函数图象与实际问题的关系，题目中的脱销时库存量为0．
【详解】根据题意：一开始销售量与生产量持平，此时图象为平行于x轴的线段，
当下列猛增是库存随着时间的增加而减小，
时间t与库存量y之间函数关系的图象为先平，再逐渐减小，最后为0．
故选：D．
【点睛】本题要求能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢．
5.（2021湖北恩施）甲乙两车从城出发前往城，在整个行程中，汽车离开城的距离与时刻的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（ ）．
A. 甲车的平均速度为 B. 乙车的平均速度为
C. 乙车比甲车先到城 D. 乙车比甲车先出发
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图象逐项分析判断即可．
【详解】由图象知：
A．甲车的平均速度为=，故此选项正确；
B．乙车的平均速度为，故此选项正确；
C．甲10时到达B城，乙9时到达B城，所以乙比甲先到B城，故此选项正确；
D．甲5时出发，乙6时出发，所以乙比甲晚出发1h，故此选项错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象，正确识别图象并能提取相关信息是解答的关键．
6.（2021黑龙江绥化）黑龙江省某企业用货车向乡镇运送农用物资，行驶2小时后，天空突然下起大雨，影响车辆行驶速度，货车行驶的路程与行驶时间的函数关系如图所示，2小时后货车的速度是________．
【答案】65
【解析】
【分析】
根据函数图象中的数据，可以根据速度=路程时间，计算2小时后火车的速度.
【详解】解：观察图象可得，当x=2时，y=156,当x=3时，y=221.
∴2小时后货车的速度是（221-156）（3-2）=65.
故答案是：65.
7.（2021上海）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行 350 米．
【答案】350
【分析】当8≤t≤20时，设s＝kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入求得s＝70t+400，求出t＝15时s的值，从而得出答案．
【解答】解：当8≤t≤20时，设s＝kt+b，
将（8，960）、（20，1800）代入，得：
，
解得：，
∴s＝70t+400；
当t＝15时，s＝1450，
1800﹣1450＝350，
∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米，
故答案为：350．
8.（2021江苏连云港）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程与它们的行驶时间之间的函数关系．小欣同学结合图像得出如下结论：
①快车途中停留了； ②快车速度比慢车速度多；
③图中； ④快车先到达目的地．
其中正确的是（ ）
A ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数图像与路程的关系即可求出各车的时间与路程的关系，依次判断．
【详解】当t=2h时，表示两车相遇，
2-2.5h表示两车都在休息，没有前进，2.5-3.6时，其中一车行驶，其速度为=80km/h，
设另一车的速度为x,
依题意得2（x+80）=360,
解得x=100km/h,
故快车途中停留了3.6-2=1.6h，①错误；
快车速度比慢车速度多，②正确；
t=5h时，慢车行驶的路程为（5-0.5）×80=360km，即得到目的地，比快车先到，故④错误；
t=5h时，快车行驶的路程为（5-1.6）×100=340km，
故两车相距340m，故③正确；
故选B．
【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据函数图像得到路程与时间的关系．
9.（2021湖北武汉）一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水和出水是两个常数．从某时刻开始内只进水不出水，从第到第内既进水又出水，从第开始只出水不进水，容器内水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则图中的值是（ ）
A. 32 B. 34 C. 36 D. 38
【答案】C
【解析】
【分析】
设每分钟的进水量为，出水量为，先根据函数图象分别求出b、c的值，再求出时，y的值，然后根据每分钟的出水量列出等式求解即可．
【详解】设每分钟的进水量为，出水量为
由第一段函数图象可知，
由第二段函数图象可知，
即
解得
则当时，
因此，
解得
故选：C．
【点睛】本题考查了函数图象的应用，理解题意，从函数图象中正确获取信息，从而求出每分钟的进水量和出水量是解题关键．
10.（2021四川广元）如图，是的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿的路线匀速运动，设（单位：度），那么y与点P运动的时间（单位：秒）的关系图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图示，分三种情况：（1）当点P沿O→C运动时；（2）当点P沿C→B运动时；（3）当点P沿B→O运动时；分别判断出y的取值情况，进而判断出y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是哪个即可．
【详解】解：（1）当点P沿O→C运动时，
当点P在点O的位置时，y＝90°，
当点P在点C的位置时，
∵OA＝OC，
∴y＝45°，
∴y由90°逐渐减小到45°；
（2）当点P沿C→B运动时，
根据圆周角定理，可得
y≡90°÷2＝45°；
（3）当点P沿B→O运动时，
当点P在点B的位置时，y＝45°，
当点P在点O的位置时，y＝90°，
∴y由45°逐渐增加到90°．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象和圆周角定理，解答此类问题的关键是通过看图获取信息，并能解决生活中的实际问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即学会识图．
11.（2021安徽）.如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为,由此得出面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得
【详解】C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为,面积为y=x··=,
B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为,面积为
y=(4－x)··=,
两个三角形重合时面积正好为.
由二次函数图象的性质可判断答案为A,
故选A.
【点睛】本题考查三角形运动面积和二次函数图像性质,关键在于通过三角形面积公式结合二次函数图形得出结论.
12．如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan∠BCE=43．设AB=x，△ABF的面积为y，则y与x的函数图象大致为( )
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】设AB＝x，根据折叠，可证明∠AFB=90°，由tan∠BCE=43，分别表示EB、BC、CE，进而证明△AFB∽△EBC，根据相似三角形面积之比等于相似比平方，表示△ABF的面积.
【解答】
解：设AB＝x，则AE＝EB＝12x，由折叠，FE＝EB＝12x，则∠AFB＝90°，由tan∠BCE＝43，∴BC＝23x，EC＝56x，∵F、B关于EC对称，∴∠FBA＝∠BCE，∴△AFB∽△EBC，∴yS△EBC＝(ABEC)2，∴y＝16x2×3625＝625x2，故选D.
【点睛】本题考查了三角函数，相似三角形，三角形面积计算，二次函数图像等知识，利用相似三角形的性质得出△ABF和△EBC的面积比是解题关键.
13.（2021甘肃武威市）如图①，正方形中，，相交于点，是的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图②所示，则的长为（ ）
A. B. 4 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
如图（见解析），先根据函数图象可知，再设正方形的边长为，从而可得，然后根据线段中点的定义可得，最后在中，利用勾股定理可求出a的值，由此即可得出答案．
【详解】如图，连接AE
由函数图象可知，
设正方形ABCD的边长为，则
四边形ABCD是正方形
，
是的中点
则在，由勾股定理得：
因此有
解得
则
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、函数图象等知识点，根据函数图象得出是解题关键．
14.如图，⊙O的半径为1，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发（P点与O点不重合），沿O→C→D的路线运动，设AP=x，sin∠APB=y，那么y与x之间的函数关系图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意分1＜x≤2与2＜x≤2两种情况，确定出y与x的关系式，即可确定出图象．
【解答】
解：当P在OC上运动时，根据题意得：sin∠APB=OAAP，
∵OA=1，AP=x，sin∠APB=y，
∴xy=1，即y=1x（1＜x≤2），
当P在CD上运动时，∠APB=12∠AOB=45°，
此时y=22（2＜x≤2），
图象为：
故选C．
【解题指导】此题考查了动点问题的函数图象，列出y与x的函数关系式是解本题的关键．
15．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=10，AB⊥AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】先利用勾股定理求出AC长，然后分三种情况分别求出y与x间的关系式即可进行判断. 三种情况是：①0≤x≤6 ，②6≤x≤8 ，③8≤x≤14.
【解答】
解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，∴AC=BC2-AB2=8，
当0≤x≤6时，AP=6﹣x，AQ=x，∴y=PQ2=AP2+AQ2=2x2﹣12x+36；
当6≤x≤8时，AP=x﹣6，AQ=x，∴y=PQ2=（AQ﹣AP）2=36；
当8≤x≤14时，CP=14﹣x，CQ=x﹣8，∴y=PQ2=CP2+CQ2=2x2﹣44x+260，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，动点问题的函数图象，结合图形正确地分三种情况进行讨论是解题的关键.
16.（2021四川攀枝花）甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，赵明阳跑步从甲地往乙地，王浩月骑自行车从乙地往甲地，两人同时出发，王浩月先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系大致如图所示，下列说法中错误的是（ ）．
A. 两人出发1小时后相遇 B. 赵明阳跑步的速度为
C. 王浩月到达目的地时两人相距 D. 王浩月比赵明阳提前到目的地
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图像可得两地之间的距离，再分别算出两人的行进速度，据此可得各项数据进而判断各选项.
【详解】解：由图可知：当时间为0h时，两人相距24km，
即甲乙两地相距24km，
当时间为1h时，甲乙两人之间距离为0，
即此时两人相遇，故A正确；
∵24÷1=24，可得两人的速度和为24km/h，
由于王浩月先到达目的地，故赵明阳全程用了3h，
∴赵明阳的速度为24÷3=8km/h，故B正确；
可知王浩月的速度为24-8=16km/h，
∴王浩月到达目的地时，用了24÷16=h，
此时赵明阳行进的路程为：×8=12km，
即此时两人相距12km，故C错误；
赵明阳到达目的地时，用了3h，
则3-==1.5h，
∴王浩月比赵明阳提前1.5h到目的地，故D正确.
故选C.
【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，解题时要充分理解题意，读懂函数图像的意义.
17.．如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】可过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．
【解答】
解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，
所以根据相似比可知：EF12=6-x6，即EF=2（6-x）
所以y=12×2（6-x）x=-x2+6x．（0＜x＜6）
该函数图象是抛物线的一部分，
故选：D．
【点睛】此题考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的读图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．
18.如图，在RtΔACB中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，动点P，Q同时从点A出发，分别沿射线AB，AC方向运动，且满足AQ=PQ，过点P作PM⊥AB，交直线BC于点M，PQ与直线BC交于点N.设MN=x，ΔPMN的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由AQ=PQ，∠ACB=90°及PM⊥AB，推出∠B=∠MPN，再结合∠PNM=∠PNB，证出△PNM∽△BNP，推出线段的比例关系，然后用tanB的值计算出相似比，从而求得当x=2时，点N与点C重合，从而解出PM、PB，进而算出△PMN的面积，从而得解．
【解答】
解：∵AQ=PQ，
∴∠A=∠APQ，
∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∴∠APQ+∠B=90°，
又∵PM⊥AB，
∴∠MPN+∠APQ=90°，
∴∠B=∠MPN，
又∵∠PNM=∠PNB，
∴△PNM∽△BNP，
∴MNPN＝PNBN=PMPB，
∵MN=x，△PMN的面积为y，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，
∴Rt△ACB和Rt△BPM中，tanB＝PMPB＝ACBC＝48＝12，
∴xPN＝PNBN＝PMPB＝12，
∴当x=2时，PN=4，BN=8，
又∵BC=8，
∴当x=2时，点N与点C重合．
∴BM=BC-MN=8-2=6，
∴在Rt△BPM中，设PM=m，则PB=2m，由勾股定理得：m2+（2m）2=62，
解得m=655，2m=1255，
∴S△PBM=655×1255÷2=365，
∵MNBM＝26＝13，
∴△PMN的面积y=365×13＝125，
∴当x=2时，y=125，
由选项的图象得，只有C符合要求．
故选C．
【点睛】本题是较为复杂的动点函数问题，观察起始位置，及中间某个特殊值作为解题的突破口，再结合排除法是较为有效的解答方法．
19.（2021湖南衡阳）如图1，在平面直角坐标系中，在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移．在平移过程中，直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示．那么的面积为（ ）
A. 3 B. C. 6 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A；当移动距离是6时，直线经过B，在移动距离是7时经过D，则AD=7-4=3，当直线经过D点，设交BC与N.则DN=2，作DM⊥AB于点M.利用三角函数即可求得DM即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．
【详解】解：根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A
当移动距离是6时，直线经过B
当移动距离是7时经过D，则AD=7-4=3
如图：设交BC与N，则DN=2，作DM⊥AB于点M，
∵移动直线为y=x
∴∠NDM=45°
∴DM=cos∠NDM·ND=
∴的面积为AD×DM=3×=3．
故答案为B．
【点睛】本题考查了平移变换、解直角三角形等知识，其中根据平移变换确定AD长是解答本题的关键．
20.．如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B=60°，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】应根据0≤t＜2和2≤t＜4两种情况进行讨论．把t当作已知数值，就可以求出S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解．
【解答】
解：当0≤t＜2时，S=2t×32×（4﹣t）=﹣3t2+43t；
当2≤t＜4时，S=4×32×（4﹣t）=﹣23t+83；
只有选项D的图形符合，
故选D．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的关键．
21．如图，已知等边三角形ABC的边长为2，E、F、G分别是边AB、BC、CA的点，且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y与x的函数图象大致是（ ）
【答案】C。
∵AE=BF=CG，且等边△ABC的边长为2，AE的长为x，
∴BE=CF=AG=2﹣x。∴△AEG≌△BEF≌△CFG。
在△AEG中，AE=x，AG=2﹣x，
∵S△AEG=AE×AG×sinA=x（2﹣x）；
∴y=S△ABC﹣3S△AEG=﹣3×x（2﹣x）=（x2﹣x+1）。
∴其图象为二次函数，且开口向上。
故选C
22．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作Rt△ABC，使∠BAC=90°，∠ACB=30°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
【答案】C
【分析】利用相似三角形的性质与判定得出y与x之间的函数关系式进而得出答案．
【解答】
解：如图所示：过点C作CD⊥y轴于点D，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC+∠OAB=90°，
∵∠DCA+∠DAC=90°，
∴∠DCA=∠OAB，
又∵∠CDA=∠AOB=90°，
∴△CDA∽△AOB，
∴OBDA=OADC=ABAC=tan30°，
则xy-1=33，
故y=3x+1（x＞0），
则选项C符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，正确利用相似得出函数关系式是解题关键．
23．已知点P为某个封闭图形边界上的一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ）
【答案】A
【分析】先观察图象得到y与x的函数图象分三个部分，则可对有4边的封闭图形进行淘汰，利用圆的定义，P点在圆上运动时，PM总上等于半径，则可对D进行判断，从而得到正确选项．
【解答】
解：y与x的函数图象分三个部分，而B选项和C选项中的封闭图形都有4条线段，其图象要分四个部分，所以B、C选项不正确；D选项中的封闭图形为圆，y为定中，所以D选项不正确；A选项为三角形，M点在三边上运动对应三段图象，且M点在P点的对边上运动时，PM的长有最小值．
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
24．如图，矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，点P从点A出发，以lcm/s的速度沿A→D→C方向匀速运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一个点也随之停止．设运动时间为t（s），△APQ的面积为S（cm2），下列能大致反映S与t之间函数关系的图象是（ ）
【答案】A
【分析】先根据动点P和Q的运动时间和速度表示：AP=t，AQ=2t，
①当0≤t≤4时，Q在边AB上，P在边AD上，如图1，计算S与t的关系式，发现是开口向上的抛物线，可知：选项C、D不正确；
②当4＜t≤6时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2，计算S与t的关系式，发现是一次函数，是一条直线，可知：选项B不正确，从而得结论．
【解答】
解：由题意得：AP=t，AQ=2t，
①当0≤t≤4时，Q在边AB上，P在边AD上，如图1，
S△APQ=12AP•AQ=12⋅t⋅2t=t2，
故选项C、D不正确；
②当4＜t≤6时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2，
S△APQ=12AP•AB=12⋅t⋅8=4t，
故选项B不正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据动点P和Q的位置的不同确定三角形面积的不同，解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S与t的函数关系式．
25．如图，边长为2的正△ABC的边BC在直线l上，两条距离为l的平行直线a和b垂直于直线l，a和b同时向右移动（a的起始位置在B点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t（秒），直到b到达C点停止，在a和b向右移动的过程中，记△ABC夹在a和b之间的部分的面积为s，则s关于t的函数图象大致为（ ）
【答案】B
【分析】依据a和b同时向右移动，分三种情况讨论，求得函数解析式，进而得到当0≤t＜1时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，当1≤t＜2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分，当2≤t≤3时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分．
【解答】
解：如图①，当0≤t＜1时，BE=t，DE=3t，
∴s=S△BDE=12×t×3t=32t2；
如图②，当1≤t＜2时，CE=2-t，BG=t-1，
∴DE=3（2-t），FG=3（t-1），
∴s=S五边形AFGED=S△ABC-S△BGF-S△CDE=12×2×3-12×（t-1）×3（t-1）-12×（2-t）×3（2-t）=-3t2+33t-323；
如图③，当2≤t≤3时，CG=3-t，GF=3（3-t），
∴s=S△CFG=12×（3-t）×3（3-t）=32t2-33t+932，
综上所述，当0≤t＜1时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当1≤t＜2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分；当2≤t≤3时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，
故选B．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
26．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3cm.动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB方向运动到点B.动点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC→CB方向运动到点B.设△APQ的面积为y（cm2）.运动时间为x（s），则下列图象能反映y与x之间关系的是 （ ）
【答案】D
【分析】在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3cm，可得AB=32，∠A=∠B=45°，分当0＜x≤3（点Q在AC上运动，点P在AB上运动）和当3≤x≤6时（点P与点B重合，点Q在CB上运动）两种情况求出y与x的函数关系式，再结合图象即可解答.
【解答】
解：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3cm，可得AB=32，∠A=∠B=45°，当0＜x≤3时，点Q在AC上运动，点P在AB上运动（如图1）， 由题意可得AP=2x，AQ=x，过点Q作QN⊥AB于点N，在等腰直角三角形AQN中，求得QN=22x，所以y=12AP⋅QN=12×2x×22x=12x2（0＜x≤3），即当0＜x≤3时，y随x的变化关系是二次函数关系，且当x=3时，y=4.5；当3≤x≤6时，点P与点B重合，点Q在CB上运动（如图2），由题意可得PQ=6-x，AP=32，过点Q作QN⊥BC于点N，在等腰直角三角形PQN中，求得QN=22(6-x)，所以y=12AP⋅QN=12×32×22(6-x)=-32x+9（3≤x≤6），即当3≤x≤6时，y随x的变化关系是一次函数，且当x=6时，y=0.由此可得，只有选项D符合要求，故选D.
【点睛】本题考查了动点函数图象，解决本题要正确分析动线运动过程，然后再正确计算其对应的函数解析式，由函数的解析式对应其图象，由此即可解答．
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