中考数学二轮专题复习《函数压轴题》专项练习三（含答案）

中考数学二轮专题复习

《函数压轴题》专项练习三

1.如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连结AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A(3，0)，D(-1，0)，E(0，3)．

(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标；

(2)求证：CB是△ABE外接圆的切线；

(3)试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0＜t≤3)时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围.

2.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线l与抛物线y=mx2＋nx相交于A(1,3),B(4,0)两点．

(1)求出抛物线的解析式；

(2)在坐标轴上是否存在点D,使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；

(3)点P是线段AB上一动点，(点P不与点A、B重合)，过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN，求出MN:NC的值，并求出此时点M的坐标．

3.在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(﹣4，0)，B(0，﹣4)，C(2，0)三点.

(1)求抛物线解析式；

(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MOA的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出当m为何值时，S有最大值，这个最大值是多少？

(3)若点Q是直线y=﹣x上的动点，过Q做y轴的平行线交抛物线于点P，判断有几个Q能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形的点，直接写出相应的点Q的坐标.

4.如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为(10，8)，沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为(6，8)，抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、E三点．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)求AD的长；

(3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．

5.如图，点M(4，0)，以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B，已知抛物线y=x2＋bx＋c过点A和B，与y轴交于点C．
(1)求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象；
(2)求出抛物线的顶点D的坐标，并确定与圆M的位置关系；
(3)点Q(8，m)在抛物线y=x2＋bx＋c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ＋PB的最小值．

6.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，其对称轴与x轴相交于点M．                                                                                    (1)求抛物线的解析式和对称轴；                                                       

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．                           

0.参考答案

1. (1)解：由题意，设抛物线解析式为y=a(x－3)(x＋1)．

将E(0，3)代入上式，解得：a=－1．∴y=－x2＋2x＋3．则点B(1，4)．

 (2)如图6，证明：过点B作BM⊥y于点M，则M(0，4)．在Rt△AOE中，OA=OE=3，

∴∠1=∠2=45°，AE=3．在Rt△EMB中，EM=OM－OE=1=BM，

∴∠MEB=∠MBE=45°，BE=．∴∠BEA=180°-∠1-∠MEB=90°．

∴AB是△ABE外接圆的直径．

在Rt△ABE中，tan∠BAE==tan∠CBE，∴∠BAE=∠CBE．

在Rt△ABE中，∠BAE＋∠3=90°，

∴∠CBE＋∠3=90°．∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．

∴CB是△ABE外接圆的切线

(3)P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，－)．

(4)解：设直线AB的解析式为y=kx＋b．将A(3，0)，B(1，4)代入，

得解得∴y=－2x＋6．

过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=1.5，∴F(1.5，3)．

情况一：如图7，当0＜t≤1.5时，

设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN交AE于点G．

则ON=AD=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．

由△AHD∽△FHM，得AD:FM=HK:HL．即．解得HK=2t．

∴S阴=S△MND－S△GNA－S△HAD=×3×3－(3－t)2－t·2t=－t2＋3t．

情况二：如图，当1.5＜t≤3时，

设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．

由△IQA∽△IPF，得AQ:FP=IQ:IP．即．解得IQ=2(3－t)．

∴S阴=S△IQA－S△VQA=×(3－t)×2(3－t)－(3－t)2=(3－t)2=t2－3t＋4.5．

综上所述：s=

2.解：(1)∵A(1，3)，B(4，0)在抛物线y=mx2＋nx的图象上，

∴，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2＋4x；

(2)存在三个点满足题意，理由如下：

当点D在x轴上时，如图1，过点A作AD⊥x轴于点D，

∵A(1，3)，∴D坐标为(1，0)；

当点D在y轴上时，设D(0，d)，则AD2=1＋(3﹣d)2，BD2=42＋d2，

且AB2=(4﹣1)2＋(3)2=36，

∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形，

∴AD2＋BD2=AB2，

即1＋(3﹣d)2＋42＋d2=36，解得d=，

∴D点坐标为(0，)或(0，)；

综上可知存在满足条件的D点，

其坐标为(1，0)或(0，)或(0，)；

(3)如图2，过P作PF⊥CM于点F，

∵PM∥OA，∴Rt△ADO∽Rt△MFP，

∴==3，

∴MF=3PF，在Rt△ABD中，BD=3，AD=3，

∴tan∠ABD=，∴∠ABD=60°，设BC=a，则CN=a，

在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°，∴tan∠PNF==，

∴FN=PF，∴MN=MF＋FN=4PF，

∵S△BCN=2S△PMN，∴a2=2××4PF2，

∴a=2PF，∴NC=a=2PF，

∴==，∴MN=NC=×a=a，

∴MC=MN＋NC=(＋)a，

∴M点坐标为(4﹣a，(＋)a)，

又M点在抛物线上，

代入可得﹣(4﹣a)2＋4(4﹣a)=(＋)a，

解得a=3﹣或a=0(舍去)，

OC=4﹣a=＋1，MC=2＋，

∴点M的坐标为(＋1，2＋)．

3.解：(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，

∵抛物线经过A(﹣4，0)，B(0，﹣4)，C(2，0)，

∴，解得，

∴抛物线解析式为y=x2+x﹣4；

(2)∵点M的横坐标为m，

∴点M的纵坐标为m2+m﹣4，

又∵A(﹣4，0)，

∴AO=0﹣(﹣4)=4，

∴S=×4×|m2+m﹣4|=﹣(m2+2m﹣8)=﹣m2﹣2m+8，

∵S=﹣(m2+2m﹣8)=﹣(m+1)2+9，点M为第三象限内抛物线上一动点，

∴当m=﹣1时，S有最大值，最大值为S=9；

故答案为：S关于m的函数关系式为S=﹣m2﹣2m+8，当m=﹣1时，S有最大值9；

(3)∵点Q是直线y=﹣x上的动点，

∴设点Q的坐标为(a，﹣a)，

∵点P在抛物线上，且PQ∥y轴，

∴点P的坐标为(a， a2+a﹣4)，

∴PQ=﹣a﹣(a2+a﹣4)=﹣a2﹣2a+4，

又∵OB=0﹣(﹣4)=4，

以点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形，

∴|PQ|=OB，即|﹣a2﹣2a+4|=4，

①﹣a2﹣2a+4=4时，整理得，a2+4a=0，

解得a=0(舍去)或a=﹣4，﹣a=4，

所以点Q坐标为(﹣4，4)，

②﹣a2﹣2a+4=﹣4时，整理得，a2+4a﹣16=0，解得a=﹣2±2，

所以点Q的坐标为(﹣2+2，2﹣2)或(﹣2﹣2，2+2)，

综上所述，Q坐标为(﹣4，4)或(﹣2+2，2﹣2)或(﹣2﹣2，2+2)时，

使点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形.

4.解：(1)∵四边形ABCD是矩形，B(10，8)，

∴A(10，0)，

又抛物线经过A、E、O三点，把点的坐标代入抛物线解析式可得

，解得，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x；

(2)由题意可知：AD=DE，BE=10﹣6=4，AB=8，

设AD=x，则ED=x，BD=AB﹣AD=8﹣x，

在Rt△BDE中，由勾股定理可知ED2=EB2+BD2，

即x2=42+(8﹣x)2，解得x=5，

∴AD=5；

(3)∵y=﹣x2+x，

∴其对称轴为x=5，

∵A、O两点关于对称轴对称，

∴PA=PO，

当P、O、D三点在一条直线上时，PA+PD=PO+PD=OD，此时△PAD的周长最小，

如图，连接OD交对称轴于点P，则该点即为满足条件的点P，

由(2)可知D点的坐标为(10，5)，

设直线OD解析式为y=kx，把D点坐标代入可得5=10k，解得k=，

∴直线OD解析式为y=x，令x=5，可得y=，

∴P点坐标为(5，)．

5.解：(1)由已知，得A(2，0)，B(6，0)，
 

抛物线y=x2＋bx＋c过点A和B，则：
，解得；
则抛物线的解析式为y=x2﹣ x＋2．故C(0，2).
(2)由(1)得：y=x2﹣ x＋2=(x﹣4)2﹣ ，故D(4，﹣ ，)，D点在圆内.
(3)如图，抛物线对称轴l是x=4；
 

∵Q(8，m)抛物线上，
∴m=2；
过点Q作QK⊥x轴于点K，则K(8，0)，QK=2，AK=6，
.
又∵B(6，0)与A(2，0)关于对称轴l对称，
∴PQ＋PB的最小值=AQ=2. 

6.解：(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)(x﹣5)，

把点A(0，4)代入上式得：a=0.8，

∴y=0.8(x﹣1)(x﹣5)=0.8x2﹣4.8x+4=0.8(x﹣3)2﹣4.8，

∴抛物线的对称轴是：x=3；

(2)P点坐标为(3，1.6)．理由如下：

∵点A(0，4)，抛物线的对称轴是x=3，

∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为(6，4)

如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．

设直线BA′的解析式为y=kx+b，把A′(6，4)，B(1，0)代入得6k+b=4,k+b=0，

解得k=0.8,b=﹣0.8，∴y=0.8x﹣0.8，

∵点P的横坐标为3，∴y=0.8×3﹣0.8=1.6，∴P(3，1.6)．

(3)在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．

设N点的横坐标为t，此时点N(t，0.8 t2﹣4.8t+4)(0＜t＜5)，

如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D，

由点A(0，4)和点C(5，0)可求出直线AC的解析式为：y=﹣0.8x+4，

把x=t代入得：y=﹣0.8t+4，则G(t，﹣t+4)，

此时：NG=﹣t+4﹣(t2﹣4.8t+4)=﹣t2+4t，

∵AD+CF=CO=5，

∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AM×NG+NG×CF=NG×OC=×(﹣t2+4t)×5

=﹣2t2+10t=﹣2(t﹣2.5)2+12.5，

∴当t=2.5时，△CAN面积的最大值为12.5，

由t=2.5，得：y=0.8t2﹣4.8t+4=﹣3，

∴N(2.5，﹣3)．