高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列同步练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列同步练习题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．我国明代著名乐律学家､明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c键到下一个键的8个白键与5个黑键(如图)的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音的频率正好是中音c的2倍.已知标准音的频率为440Hz，那么频率为的音名是（ ）
A．dB．fC．eD．#d
2．已知数列满足，，，是等比数列，则数列的前8项和（ ）
A．376B．382C．749D．766
3．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每32人为一组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该32人再次抽检确认感染者.某组32人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性)，若逐一检测可能需要31次才能确认感染者.现在先把这32人均分为两组，选其中一组16人的样本混合检查，若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组.继续把认定的这组的16人均分两组，选其中一组8人的样本混合检查……依此类推，最终从这32人中认定那名感染者需要经过（）次检测.
A．3B．4C．5D．6
4．已知数列中，其前项和为，且满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（多选题）一个弹性小球从100m高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的再落下.设它第n次着地时，经过的总路程记为，则当时，下面说法正确的是（ ）
A．B．
C．的最小值为D．的最大值为400
6. （多选题）设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列B．数列为等比数列
C．数列中D．数列的前项和为
二、填空题
7．我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙.大老鼠第一天打进1尺，以后每天进度是前一天的倍.小老鼠第一天也打进尺，以后每天进度是前一天的一半.如果墙的厚度为尺，则两鼠穿透此墙至少在第________天.
8．数列中，，若，则_______________________．
9．如图，在平面上作边长为的正方形，以所作正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，再以新的正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，如此这般的作正方形和等腰直角三角形，不断地持续下去，求前n个正方形与前n个等腰直角三角形的面积之和__________.
10．已知数列的前项和为，首项且，若对恒成立，则实数的取值范围是__________．
三、解答题
11．某商店采用分期付款的方式促销一款价格每台为6000元的电脑.商店规定，购买时先支付货款的，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为.
（1）到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？
（2）假设货主每月还商店元，写出在第个月末还款后，货主对商店欠款数表达式.
（3）每月的还款额为多少元（精确到0.01元）？
12．某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设经过年之后，该项目的资金为万元．
（1）设，证明数列为等比数列，并求出至少要经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取）；
（2）若，求数列的前项和．
4.3.2等比数列的前n项和公式 (2) 提高练
一、选择题
1．我国明代著名乐律学家､明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c键到下一个键的8个白键与5个黑键(如图)的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音的频率正好是中音c的2倍.已知标准音的频率为440Hz，那么频率为的音名是（ ）
A．dB．fC．eD．#d
【答案】D
【详解】由题意可得从左到右的音频恰成一个公比为的等比数列，设频率为的音名为等比数列的首项，标准音为第项，则，解得，从标准音开始，往左数7个的音名是#d.故答案为：D.
2．已知数列满足，，，是等比数列，则数列的前8项和（ ）
A．376B．382C．749D．766
【答案】C
【详解】由已知得，，，而是等比数列，故，
，
，化简得，
3．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每32人为一组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该32人再次抽检确认感染者.某组32人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性)，若逐一检测可能需要31次才能确认感染者.现在先把这32人均分为两组，选其中一组16人的样本混合检查，若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组.继续把认定的这组的16人均分两组，选其中一组8人的样本混合检查……依此类推，最终从这32人中认定那名感染者需要经过（）次检测.
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【详解】法一：先把这32人均分为2组，选其中一组16人的样本混合检查，
若为阴性则认定在另一组；
若为阳性，则认定在本组，此时进行了1次检测，
继续把认定的这组的16人均分两组，选其中一组8人的样本混合检查，
若为阴性则认定在另一组；
若为阳性，则认定在本组，此时进行了2次检测.
继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查，
若为阴性则认定在另一组；
若为阳性，则认定在本组，此时进行了3次检测，
继续把认定的这组的4人均分两组，选其中一组2人的样本混合检查，
若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了4次检测.
选认定的这组的2人中一人进行样本检查，
若为阴性则认定是另个人；若为阳性，则认定为此人，此时进行了5次检测，
所以，最终从这32人中认定那名感染者需要经过5次检测，故选C.
法二：设第次检测后余下的人数为，则且，
故，令，则，故需要检测5次，故选：C.
4．已知数列中，其前项和为，且满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】当时，，得 ；当时，由，得，两式相减得，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列．
因为，所以．又，所以是以1为首项，为公比的等比数列，
所以，，
由，得，所以，
所以，所以．综上，实数的取值范围是．
5．（多选题）一个弹性小球从100m高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的再落下.设它第n次着地时，经过的总路程记为，则当时，下面说法正确的是（ ）
A．B．
C．的最小值为D．的最大值为400
【答案】AC
【详解】由题可知，第一次着地时，；第二次着地时，；
第三次着地时，；……
第次着地后，
则，显然，又是关于的增函数，，故当时，的最小值为；
综上所述，AC正确故选：AC
6. （多选题）设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列B．数列为等比数列
C．数列中D．数列的前项和为
【答案】BCD
【详解】因为，所以．
又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故B正确；
所以，则．
当时，，但，故A错误；
由当时，可得，故C正确；
因为，所以
所以数列的前项和为，故D正确．故选：BCD．
二、填空题
7．我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙.大老鼠第一天打进1尺，以后每天进度是前一天的倍.小老鼠第一天也打进尺，以后每天进度是前一天的一半.如果墙的厚度为尺，则两鼠穿透此墙至少在第________天.
【答案】4
【详解】设两只老鼠在第天相遇，则大老鼠第天打洞的厚度成以为公比的等比数列，
小老鼠第天打洞的厚度成以为公比的等比列，由等比数列的求和公式可得，整理得，可得（舍去）或，所以，两鼠穿透此墙至少在第天.
8．数列中，，若，则_______________________．
【答案】3
【详解】因为，所以，所以，是等比数列，公比为2．所以．因为，所以．
9．如图，在平面上作边长为的正方形，以所作正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，再以新的正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，如此这般的作正方形和等腰直角三角形，不断地持续下去，求前n个正方形与前n个等腰直角三角形的面积之和__________.
【答案】
【详解】设依次所作的第个正方形的边长为，第个正方形与第个等腰直角三角形的面积和为，则第个等腰直角三角形的腰长为，且.
第个正方形的边长为，，，
，且，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列..
10．已知数列的前项和为，首项且，若对恒成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为，所以，
∴数列是以为首项，公比为2的等比数列，
∴，.因此.
所以对恒成立，可化为对恒成立.
当为奇数时，，所以 ，即；
当为偶数时，，解得.综上，实数的取值范围是.
三、解答题
11．某商店采用分期付款的方式促销一款价格每台为6000元的电脑.商店规定，购买时先支付货款的，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为.
（1）到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？
（2）假设货主每月还商店元，写出在第个月末还款后，货主对商店欠款数表达式.
（3）每月的还款额为多少元（精确到0.01元）？
【详解】（1）因为购买电脑时，货主欠商店的货款，即，
又按月利率，到第一个月底的欠款数应为元，
即到第一个月底，欠款余额为元；
（2）设第个月底还款后的欠款数为，则有，
，
，
……
整理得：；
（3）由题意可得：，所以，
因此
12．某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设经过年之后，该项目的资金为万元．
（1）设，证明数列为等比数列，并求出至少要经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取）；
（2）若，求数列的前项和．
【详解】
解：（1）由题意可得，，
∵，
∵，
∴，，
∴，数列是以250为首项，以为公比的等比数列，
∴，，
令可得，∴，
从而可得，，
故，至少要经过12年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番的目标；
（2），
，
，
两式相减可得，，
，
∴．