辽宁省六校协作体2021-2022学年高三下学期期初考试数学试题(含答案)

2021—2022学年度（下）省六校协作体高三年级期初考试

数学试卷

考试时间：120分钟  满分150分

命题校：东港市第二中学

一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（   ）

A． B．

C． D．

2．已知为虚数单位，则复数的虚部是（    ）

A． B．1 C．2 D．2i

3．是直线和平行的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知，且为第二象限的角，则（    ）

A． B． C． D．

5.中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽､信道内信号的平均功率､信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从提升至，则大约增加了（    ）（附：）

A． B． C． D．

6．已知，分别是椭圆的左顶点和右焦点，是椭圆上一点，直线与直线相交于点.且是顶角为的等腰三角形，则该椭圆的离心率为（       ）

A． B． C． D．

7．函数的零点个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

8. （）

A.           B.               C.          D.

二、多选题（共4道题，每题5分，共20分，每题4个选项中，有多个正确选项，全部选对得5分，部分选对得2分，有错误选项得0分）

9．已知一组数据：7，7，8，9，5，4，9，10，7，4，则（    ）

A．这组数据的平均数为8 B．这组数据的众数为7

C．这组数据的极差为6 D．这组数据的第75百分位数为9

10．已知向量，满足，且,则下列结论正确的是（   ）

A．                           B．

C．或 D．与的夹角为45°

11．已知等比数列的各项均为实数，公比为，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则          B．若，且，则

C．若，则 D．若，

12.如图所示，已知正方体的棱长为分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法正确的是（    ）                

A．平面截正方体所得的截面可以是四边形､五边形或六边形

B．当点与两点不重合时，平面截正方体所得的截面是五边形

C．是锐角三角形

D．面积的最大值是

三、填空题（每题5分，共20分）

13．若的二项展开式中的常数项为，则实数a=___________.

14.在三棱锥中，则该三棱锥的体积为___________.

15.已知双曲线：的斜率为正的渐近线为，若曲线：+=4上恰有不同3点到的距离为1，则双曲线的离心率是______．

16．对于函数．现有下列结论：①任取，，都有；②函数有3个零点；③函数在上单调递增；④若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则．其中正确结论的序号为______．（写出所有正确命题的序号）

四．解答题：共6道题，共70分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．已知在数列中，前n项和为，若．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

18.如图，在四面体中，，分别是线段，的中点，，，．                                    

（1）证明：平面平面；

（2）若二面角为，求二面角的余弦值．

19．在①，②，③三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.

已知锐角的内角，，的对边分别为，，，满足___________（填写序号即可）

（1）求；

（2）若，求的取值范围.

20.在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点与椭圆：的右焦点重合．

（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；

（Ⅱ）记，若抛物线C上存在两点B，D，使为以P为顶点的等腰三角形，求直线的斜率的取值范围．

21.某药物研究所为筛查病毒，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，每份样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：①逐份检验，则需要检验次；②混合检验，将其中份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这份血液全为阴性，因此这份血液样本检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，就要对这份血液再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阴性还是阳性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为.

（1）假设有5份血液样本，其中只有2份为阳性，若采取逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；

（2）现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.

（i）试运用概率统计知识，若，试求关于k的函数关系式；

（ii）若，采用混合检验方式可以使得这k份血液样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值.

参考数据：，，，，

22．

(1)    ;

(2)