2021-2022学年江苏省镇江一中高一（下）月考数学试卷（6月份）（含答案解析）

2021-2022学年江苏省镇江一中高一（下）月考数学试卷（6月份）

1.  若复数z满足为虚数单位，则z为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知向量、满足，，则(    )

A. 3 B.  C. 7 D.

3.  定义一种运算：已知函数，为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上所有的点(    )

A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向上平移个单位长度 D. 向下平移个单位长度

4.  在中，，则的形状为(    )

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形

5.  如图，在直三棱柱中，，点D为BC的中点，则异面直线AD与所成的角为(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  已知，且，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知，，若点P是所在平面内一点，且，则的最大值为.(    )

A. 13 B.  C.  D.

8.  粽，即粽粒，俗称粽子，主要材料是糯米、馅料，用籍叶或箬叶、簕古子叶等包裹而成，形状多样，主要有尖角状、四角状等.粽子由来久远，最初是用来祭祀祖先神灵的贡品.南北叫法不同，北方产黍，用黍米做粽，角状，古时候在北方称“角黍”.由于各地饮食习惯的不同，粽子形成了南北风味，从口味上分，粽子有成粽和甜粽两大类某地流行的四角状的粽子，其形状可以看成是一个正四面体，现需要在粽子内部放入一个肉丸，肉丸的形状近似地看成球，当这个肉丸的体积最大时，其半径与该正四面体的高的比值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  关于平面向量下列说法错误的是(    )

A. 若，且，则
B. 对任意非零向量是一个单位向量
C. 若，则与的夹角为锐角
D. “存在唯一的实数使”是“”的充要条件

10.  在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有(    )

A. 若，则
B. 若，则可能为等腰三角形或直角三角形
C. 若，则定为直角三角形
D. 若，且该三角形有两解，则b的取值范围是

11.  点M是正方体中侧面正方形内的一个动点，则下面结论正确的是(    )

A. 满足的点M的轨迹为线段
B. 点M存在无数个位置满足直线平面
C. 在线段上存在点M，使异面直线与CD所成的角是
D. 若正方体的棱长为1，三棱锥的体积的最大值为

12.  在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullo，于1996年被收入世界文化遗产名录.现测量一个Trullo的屋顶，得到圆锥其中S为顶点，O为底面圆心，母线SA长为6米，C是母线SA的靠近点S的三等分点.从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带，若灯光带的最小长度为米.下面说法正确的是(    )

A. 圆锥SO的侧面积为平方米
B. 过点S的平面截此圆锥所得截面面积最大值为18平方米
C. 圆锥SO的外接球表面积为平方米
D. 棱长为米的正四面体在圆锥SO内可以任意转动

13.  已知复数z满足是虚数单位，则的取值范围是______ .

14.  如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得已知山高，则山高________
 

15.  已知四面体，，则四面体外接球的表面积为_______.

16.  若的面积为，且C为钝角，则______；的取值范围为______.

17.  已知函数
用五点法画出函数的大致图像，并写出的最小正周期；
写出函数在上的单调递减区间；
将图像上所有的点向右平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图像，求在区间上的最值．

18.  在①；②；③的面积三个条件中任选一个填序号，补充在下面的问题中，并解答该问题.
已知的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，______，D是边BC上的一点，，且，，求线段AD的长.

19.  如图，在中，D是BC的中点，H是AD的中点，过H作一条直线MN分别与边AB，AC交于M，N，若，
若，，，求的值；
求的最小值．

20.  某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以BC为直径的半圆拼接而成，点P为半圈上一点异于B，，点H在线段BC上，且满足已知，，设
为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；
为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大．当为何值时，取得最大值，并求该最大值．

21.  如图，三棱柱侧棱垂直于底面，，，D是AB的中点．
求证：平面；
若，求直线与平面ABC所成角的正弦值；
若
①求证：；
②求二面角的余弦值．

22.  如图所示，在正方体中，点G在棱上，且，点E、F、M分别是棱、AB、BC的中点，P为线段上一点，
若平面EFP交平面于直线l，求证：；
若直线平面
求三棱锥的表面积；
试作出平面EGM与正方体各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱交于点Q，求三棱锥的体积．

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：因为为虚数单位，
所以，
即，

故选
等式两边同乘，然后化简求出z即可．
本题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力．
 

2.【答案】D 

【解析】解：，
，，

故选：
根据条件对两边平方进行数量积的运算即可求出，然后根据进行数量积的运算即可求出的值．
本题考查了向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．
 

3.【答案】A 

【解析】解：，
其图象是由函数的图象向右平移个单位长度得到，
故选：
首先化简函数，再根据三角函数图象变换性质即可解决此题。
本题考查行列式计算、三角函数图象变换，考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题。
 

4.【答案】B 

【解析】解：，即，
由余弦定理可得：，
整理可得，
三角形是直角三角形．
故选：
直接利用二倍角的余弦函数以及余弦定理化简求解即可判断三角形的形状．
本题考查三角形形状的判断，余弦定理以及二倍角公式的应用，考查计算能力，属于基础题．
 

5.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了异面直线所成的角，属中档题．
取的中点E，连，DE，CE，则，所以异面直线AD与所成角是或其补角，在三角形中由余弦定理可得结果．

【解答】

解：取的中点E，连，DE，CE，

，所以异面直线AD与所成角是或其补角，
，
，
，
，
在中，由余弦定理可得

，
因为，
所以，
即异面直线AD与所成的角为，
故选

6.【答案】D 

【解析】解：，
，
而已知，
，即
，，则，
故选：
由题意利用两角和差的三角公式，化简所给的式子，求得，从而求得的值．
本题主要考查两角和差的三角公式的应用，属于基础题．
 

7.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查向量数量积的坐标运算及应用，涉及到基本不等式求最值，属于中档题．
以A为坐标原点，建立直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算以及基本不等式即可得到答案．

【解答】

解：以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设，

则，，，
，，
所以，即，
故，，
所以，
当且仅当即时等号成立．
故的最大值为
故选

8.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查数学文化与空间几何体的内切球问题，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．
根据题意，当肉丸的体积最大时，肉丸所成的球是该正四面体的内切球，由等体积法求得内切球的半径，再求出半径与该正四面体的高的比值即可．

【解答】

解：当肉丸的体积最大时，肉丸所成的球是该正四面体的内切球，
在正四面体中，为底面的重心，
设正四面体的棱长为a，高为h，内切球的半径为r，
如图，，，则，
正四面体的表面积，
由等体积法得，
即，解得

故选：

9.【答案】ACD 

【解析】解：对于A，当时，有若，但未必有，故A错误；
对于B，非零向量的单位向量为：，故B正确；
对于C，当同向时，有，此时，故C错误；
对于D，当时，无论取任意实数，都有，且，故D错误．
故选：
根据平面向量数量积的性质、单位向量的求法以及向量共线的充要条件逐项判断即可．
本题考查平面向量数量积的概念和性质以及命题真假的判断，属于基础题．
 

10.【答案】ABCD 

【解析】解：对于A选项，由正弦定理结合大角对大边得
，
故A选项正确；
对于B选项，由于，
由于 A，B 是三角形的内角，
所以或，即或，
因此可能为等腰三角形或直角三角形，
故B选项正确；
对于C选项，由以及正弦定理得
，
即；
所以，
由于，所以，所以，
故定为直角三角形，
故C选项正确；
对于D选项，，且该三角形有两解，
所以，
即，也即，
故D选项正确．
故选：
A，根据正弦定理结合大角对大边可得结论；B，根据诱导公式及三角函数图象与性质可得结论；C，根据正弦定理、诱导公式、正弦和角公式可得结论；D，根据条件得，进而得到b的取值范围．
本题考查解三角形及其三角恒等变换等知识，考查逻辑推理和数学运算的核心素养，属于中档题．
 

11.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查正方体为模型判断线线垂直，线面平行，求异面直线所在的角等，属于拔高题．
对于A：由正方体的性质可知，可得平面，从而可得点M在线段上时，有，即可判断A是否正确；
对于B：由正方体的性质可得平面平面，则当点M在上是，均有平面，即可判断B是否正确；
对于C：异面直线与CD所成的角为，当M在线段上运动时，点M取的中点时，最小，即正切值为，即可判断C是否正确；
对于D：由正方体的性质得，平面，若正方体的棱长为1，则点M与重合时，三棱锥的体积取得最大，从而可得三棱锥的体积最大，即可判断D是否正确．

【解答】

解：对于A：如图，正方体中，平面，平面，
所以，
因为，，
所以平面，
所以当点M在线段上时，有，
所以点M的轨迹为线段，所以A正确；
对于B：在正方体中，
因为，平面，平面，
所以平面，
同理平面，
而，
所以平面平面，
所以当点M在上是，均有平面，
所以点M存在无数个位置满足直线平面，所以B正确；
对于C：异面直线与CD所成的角为，
当M在线段上运动时，点M取的中点时，最小，
所以正切值为，
所以不存在点M，使异面直线与CD所成的角为，所以C错误；
对于D：由正方体的性质得，平面，
若正方体的棱长为1，则点M与重合时，
三棱锥的体积取得最大，其值为，所以D正确．
故选：

12.【答案】AD 

【解析】解：如图所示：

圆锥SO中，母线长，，侧面展开图是扇形，
且，所以，
所以，所以扇形的面积为，
即圆锥SO的侧面积为平方米，选项A正确；
因为底面圆的半径为，且，
所以，，
所以，
即过点S的平面截此圆锥所得截面面积最大值为平方米，即选项B错误；
设圆锥SO的外接球半径为R，则，
，
所以，解得，
所以圆锥SO的外接球表面积为，则选项C错误；
棱长为的正四面体中，设其外接球半径为，则，解得；
则此正四面体的底面外接圆半径为，高为，
所以，解得，
因为，所以棱长为米的正四面体在圆锥SO内可以任意转动，则选项D正确；
故选：
利用圆锥的侧面展开图、扇形的弧长公式求出圆锥的底面半径，圆锥的侧面积，判断A正确；求出过点S的截面面积最大值，判断选项B错误；求出圆锥SO的外接球的半径，计算外接球的表面积，判断C错误；求出圆锥内切球的半径和棱长为的正四面体外接球的半径，比较判断D正确．
本题考查了圆锥的侧面展开图、扇形的弧长公式计算问题，也考查了圆锥的外接球与内切球的计算问题，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：设，由得，，
，
由得，
故答案为：
设，由得，可解决此题．
本题考查复数模，考查数学运算能力，属于基础题．
 

14.【答案】150 

【解析】

【分析】
本题主要考察了正弦定理的应用，考察了解三角形的实际应用，属于中档题．由题意，可先求出AC的值，从而由正弦定理可求AM的值，在中，，，从而可求得MN的值．
【解答】
解：在中，，，所以
在中，，，从而，
由正弦定理得，，因此，
在中，，，由，
得
故答案为  

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查多面体的外接球的相关计算，正确找到外接球的直径，是解本题的关键，同时也考查了计算能力，属于中等题．
由勾股定理得到，从而得出AB是四面体外接球的直径，再利用球体的表面积公式可计算出答案．
【解答】

解：，，，
，，
同理可得，
所以，AB是四面体外接球的直径，
设该四面体的外接球的半径为R，则，
因此，四面体外接球的表面积为，
故答案为：

16.【答案】   

【解析】解：的面积为，
故，
整理得，
由于，
故，
由于C为钝角，
所以，解得，
则：，
故
故答案为：
直接利用三角函数关系式的恒等变换，三角形的面积公式的应用，正弦定理的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角形的面积公式的应用，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

17.【答案】解：因为，列表如下：

函数图象如下：
故函数的最小正周期
令，
解得，
函数的单调递减区间为
将图像上所有的点向右平移个单位长度得到，
再将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到，
，，
，，
当，即时，；
当，即时 

【解析】根据“五点法”列表，即可做出函数图象，再根据周期公式求出周期．
根据正弦函数的性质计算可得．
根据三角函数的变换规则得到的解析式，再根据x的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得．
本题主要考查五点法作图，函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
 

18.【答案】解：若选①，可得，
可得，
因为B为三角形内角，，
可得，
因为，
所以，
可得，
所以由余弦定理可得，可得，
在中，由正弦定理，可得，，
所以，
在中，由正弦定理，可得，解得
若选②，由余弦定理可得，整理可得，
可得，
因为，
所以，
可得，
所以由余弦定理可得，可得，
在中，由正弦定理，可得，，
所以，
在中，由正弦定理，可得，解得
若选③的面积，
可得，可得，可得，
因为，
所以，
可得，
所以由余弦定理可得，可得，
在中，由正弦定理，可得，，
所以，
在中，由正弦定理，可得，解得 

【解析】若选①，利用两角和与差的正弦函数公式化简已知等式结合，可得，结合范围，可求，利用三角形内角和定理可得的值，由余弦定理可得a的值，在中，由正弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角和的正弦函数公式可求的值，在中，由正弦定理即可解得AD的值．
若选②，由已知利用余弦定理可得，结合范围，可求，利用三角形内角和定理可得的值，由余弦定理可得a的值，在中，由正弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角和的正弦函数公式可求的值，在中，由正弦定理即可解得AD的值．
若选③，由已知利用三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式可求，结合范围，可求，利用三角形内角和定理可得的值，由余弦定理可得a的值，在中，由正弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角和的正弦函数公式可求的值，在中，由正弦定理即可解得AD的值．
本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

19.【答案】解：由于D、H分别是BC，AD的中点，所以，，所以，
又，故；
由，，，
得，
又与共线，故存在使，
即，
所以，整理得，所以，
当且仅当“”时，即“”时取等号，
故 的最小值为 

【解析】以向量为基底表示出，即可求解；
根据与 共线，得到存在使 ，用 表示出x，y，再利用基本不等式即可求解．
本题考查平面向量基本定理和数量积的定义和性质，属于中档题．
 

20.【答案】解：设，则在直角中，，；
在直角中，，；
，，
所以当，即，的最大值为；
在直角中，由，
可得；
在直角中，，
所以，，
所以，
所以当，达到最大． 

【解析】设，利用直角三角形的边角关系，求出的解析式，再计算的最大值；
由等积法求出CH的值，再计算的最大值以及对应的值．
本题考查了解三角形以及三角函数的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
 

21.【答案】证明：连接交于点M，连接MD，
因为三棱柱侧棱垂直于底面，所以三棱柱是直三棱柱，
所以平行四边形为矩形，所以M为的中点，
为AB的中点，
，
平面，平面，
平面

解：因为三棱柱是直三棱柱，
所以平面ABC，
所以为直线与平面ABC所成角，
在中，，所以，
所以，
即直线与平面ABC所成角的正弦值为；
①证明：，，
，
底面ABC，底面ABC，
，
，，平面，
平面，
平面，
，
又，，CD，平面，
平面，
平面，
，
②解：由①可知平面，
，平面，
，，
即二面角的平面角，
由，所以，可得，
所以，
，
又，
，
故二面角的平面角的余弦值为 

【解析】连接交于点M，连接MD，即可得到，从而得证；
依题意可得平面ABC，则为直线与平面ABC所成角，再根据锐角三角函数计算可得；
①首先可证平面，从而得到，再由，即可得到平面，从而得证；
②由①可得即二面角的平面角，由余弦定理，可得二面角的余弦值．
本题主要考查线面平行的证明，线面角的计算，空间中的垂直关系，二面角的计算等知识，属于中等题．
 

22.【答案】解：在正方体中，
因为平面平面，平面平面，
所以，
因为点E、F 分别是棱、AB 的中点，
所以，
所以
因为直线平面 EFP，平面 EFP，
所以，又因为≌，
所以，
所以，
因为，
，
，
所以三棱锥的表面积为
作图步骤如下：
连接GE，过点G作于点H，连接HA并延长交GE的延长线于点I，连接IM并延长交AB于点J交DC的延长线于点K，
再连接GK交于点S，连接MS并延长交的延长线于点R，连接RG并延长交于点Q，再连接EQ，GS，EJ，
则图中EQ，QG，GS，SM，MJ，JE即为平面EGM与正方体各个面的交线．

设，由题知
，
所以，所以，
解得，
因为，
，，
所以，

如上图，设N为线段的中点，可证点N在平面PEF内，且三角形PNE与三角形PEF面积相等，
所以，三棱锥的体积=三棱锥的体积=三棱锥的体积，
所以三棱锥的体积为 

【解析】根据面面平行的性质即可得到，再结合线线平行的传递性即可证明结论；
先根据直线平面EFP得到，进而得到P是的中点，然后依次求出三棱锥的四个面的面积再相加即可得到三棱锥的表面积；
①根据公理“一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内”作出平面EGM与正方体各个面的交线即可；②根据NEFP四点共面，且三角形PNE与三角形PEF面积相等，那么三棱锥的体积等于三棱锥的体积，直接利用三棱锥的体积公式求解即可．
本题考查面面平行的性质定理和线面平行的性质定理的应用，直线与平面垂直以及几何体的表面积和体积的求法，考查空间想象能力记忆计算能力，属于难题．