2021-2022学年江苏省无锡市市北高级中学高一（下）第一次月考数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年江苏省无锡市市北高级中学高一（下）第一次月考数学试卷

1.  (    )

A. 1 B.  C. i D.

2.  在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，，则(    )

A. 1 B. 2 C.  D.

3.  正三棱锥的底面边长为a，高为，则此棱锥的侧面积等于(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知i是虚数单位，，且z的共轭复数为，则在复平面内对应的点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

5.  已知向量，的夹角为，且，，则向量在方向上的投影等于(    )

A.  B.  C.  D. 1

6.  水平放置的，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的，其中，，则绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在中，向量与满足，且，则为(    )

A. 等边三角形
B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形
D. 等腰直角三角形

8.  点P是正三角形外接圆圆O上的动点，正三角形的边长为6，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  在复数范围内，有下列命题，则其中真命题的有(    )

A. 若，是两个复数，则一定是实数
B. “”是“”的充分不必要条件
C. 方程的根是
D.

10.  在中，角A，B的对边分别为a，b，根据下列条件解三角形，其中只有一解的为(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

11.  在中，下列说法正确的是(    )

A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则为钝角三角形
D. 存在满足

12.  如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器烦斜，随着倾斜度的不同(    )
 

A. 没有水的部分始终呈棱柱形
B. 水面EFGH所在四边形的面积为定值
C. 当容器倾斜如图所示时，为定值
D. 当容器倾斜如图所示时，为定值

13.  已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为__________.

14.  设复数，满足，，则______.

15.  已知向量，，若向量与向量的夹角为钝角，则的范围是______.

16.  三角形ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，且三角形ABC外接圆面积为，则__________.

17.  已知向量，
若，求k的值；
若，求k的值．

18.  已知复数在复平面内所对应的点为
若复数为纯虚数，求实数m的值；
若点A在第二象限，求实数m的取值范围．

19.  如图，在菱形ABCD中，
若，求的值；
若，，求

20.  已知圆柱的底面半径为2，高为
求从下底面出发环绕圆柱侧面一周到达上底面的最短路径长；
若平行于轴的截面ABCD将底面圆周截取四分之一，求截面面积；
在的条件下，设截面将圆柱分成的两部分中较小部分为Ⅰ，较大部分为Ⅱ，求
：体积之比

21.  如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知射线AB，AC为两边夹角为的公路长度均超过千米，在两条公路AB，AC上分别设立游客上下点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得千米，千米．
求线段MN的长度；
若，求两条观光线路PM与PN之和的最大值．
 

22.  在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
求A的值；
若，，当的周长最小时，求b的值；
若，，且的面积为，求CD的长度．

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：，
故选：
运用复数的除法运算法则，化简可得所求值．
本题考查复数的乘除运算，考查化简运算能力，是一道基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】解：解法一：余弦定理由得：
，，或舍
解法二：正弦定理由，得：，
，
，，从而，
，
方法一：可根据余弦定理直接求，但要注意边一定大于0；
方法二：可根据正弦定理求出，进而求出c，要注意判断角的范围．
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形时一般就用这两个定理，要熟练掌握．
 

3.【答案】A 

【解析】解：由题意可知：如图
在正三角形ABC中：，
所以在直角三角形POB中：，
侧面等腰三角形底边上的高为：，
三棱柱的侧面积为：
故选：
本题考查的是正三棱锥的侧面积求解问题．在解答时，应先求解正三棱锥的底面三角形的高然后利用直角三角形计算出正三棱锥的侧棱长，结合侧面等腰三角形中腰长即侧棱长、底为a，即可求解侧面三角形的面积，进而问题获得解答．
本题考查的是正三棱锥的侧面积求解问题．在解答的过程当中充分体现了问题转化的思想、勾股定理的知识以及面积公式的应用．值得同学们体会反思．
 

4.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力．
，可得化为，即可得出．

【解答】

解：，可得

且z的共轭复数为
则在复平面内对应的点为在第一象限．
故选：

5.【答案】B 

【解析】解：，，，
，解得或舍去，
在方向上的投影等于
故选：
根据条件对两边平方即可求出的值，然后即可求出在方向上的投影的值．
本题考查了向量数量积的运算及计算公式，投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
 

6.【答案】B 

【解析】解：由直观图可知，是等腰三角形，且，C到AB的距离为，

绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体为两个圆锥的组合体，
圆锥的底面半径为，母线长为4，
则形成的几何体的表面积为
故选：
由已知求得AC、BC，由题意知绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体为两个圆锥的组合体，再由圆锥侧面积公式求解．
本题考查水平放置的平面图形的直观图，考查圆锥侧面积的求法，是基础题．
 

7.【答案】D 

【解析】解：，，分别为方向上的单位向量，
的角平分线与BC垂直，可得，
由，可得，
则，，
三角形为等腰直角三角形．
故选：
先根据判断出的角平分线与BC垂直，进而推断三角形为等腰三角形，再由已知结合数量积求夹角求得角B与角C，进一步得到角A，可得的形状．
本题考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断，考查了学生综合分析能力，属于中档题．
 

8.【答案】C 

【解析】解：，
又正三角形的边长为6，，

则
当，同向时，此时取最大值；
当，反向时，此时取最小值
的取值范围是
故选：
由已知求得与，再由数量积求得的最值，则答案可求．
本题考查平面向量的数量积运算，考查数形结合思想，是中档题．
 

9.【答案】ABC 

【解析】

【分析】

本题主要考查了复数的运算，考查充分必要条件以及复数的模，属于中档题．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可依次求解．

【解答】

解：对于A，设，，
则一定为实数，故A正确;
对于B，设，
当时，由，得，所以，若，得不到，
当时，若，
则，
“”是“”的充分不必要条件，故B正确;
对于C，方程，可化为，
则方程的根为，故C正确;
对于D，设，
，，
故与不一定相等，故D错误．
故选：

10.【答案】AD 

【解析】解：对于A，由，，，
利用正弦定理可得：
则，
，且A为锐角，有一解，故三角形只有一解；
对于B，由，，，
利用正弦定理可得：
则，此三角形无解；
对于C，由，，，
利用正弦定理可得：
则，
，且A为锐角，则角B有两解，故三角形有两解；
对于D，由，，，
利用正弦定理可得：，
则，，三角形为直角三角形，仅有一解．
故选：
由已知结合正弦定理求解，再由正弦函数的值域及三角形中大边对大角分析得答案．
本题考查三角形解的个数的判定，考查正弦定理的应用，注意三角形中大边对大角是关键，是中档题．
 

11.【答案】ABC 

【解析】解：，
由正弦定理，得，
所以，A正确；
由，得，
所以，所以B正确；
对于C，由题意，得B一定为锐角，A显然不是直角，
当A为锐角时，
，所以为钝角三角形；
当A为钝角时，
，此时也是钝角三角形，故C正确；
对于D，由，
又余弦函数在上单调递减，
所以，
所以恒有，故D错误．
故选：
由已知结合正弦定理可检验A，B，然后结合三角函数关系分别检验C，由余弦函数的单调性可判断
本题主要考查了命题真假的判断，正弦定理，余弦定理，三角函数关系的应用，属于基础题．
 

12.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题主要考查几何体的体积，考查棱柱的结构特征，属于基础题．
根据棱柱的定义判断A；
由即可判断B；
根据棱柱的体积公式判断C、

【解答】

解：对于A，由于AB固定，所以在倾斜的过程中，始终有，且平面平面，
故没有水的部分始终呈棱柱状四棱柱或三棱柱、五棱柱，且EF为棱柱的一条侧棱，故A正确；
对于B，因为水面EFGH为矩形，所以，其中，随着倾斜角的变化而变化，故水面EFGH的面积是变化的，故B错误；
对于C，当容器倾斜如图所示时，四棱柱的体积不变，又，其中，
又AB是定值，AD是定值，所以为定值，故C正确；
对于D，当容器倾斜如图所示时，三棱柱的体积不变，，
其中，因为高AB是定值，则底面积为定值，
即为定值，则为定值，故D正确．
故选：

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查圆锥的结构特征，圆锥的体积，属于基础题.
根据圆锥的侧面展开图及母线长求出圆锥底面半径，从而可求圆锥的高，再圆锥的体积公式求解即可.

【解答】

解：一个圆锥的母线长为2，它的侧面展开图为半圆，
圆的弧长为：，即圆锥的底面周长为：，
设圆锥的底面半径是r，
则得到，
解得：，
圆锥的高为
所以圆锥的体积为：，
故答案为：

14.【答案】 

【解析】解：复数，满足，，所以，
，
得

又，故
故答案为：
利用复数模的计算公式和复数的运算性质，求解即可．
熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义、复数模的计算公式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：已知向量，，
设，
则，
即，
又向量与向量的夹角为钝角，
则，
即且，
即的范围是，
故答案为：
由平面向量数量积的坐标运算，结合平面向量夹角的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了平面向量夹角的运算，属基础题．
 

16.【答案】2 

【解析】

【分析】

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理，圆的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
由已知利用同角三角函数基本关系式，正弦定理化简可得，利用余弦定理可求，利用同角三角函数基本关系式可求，设外接圆半径为R，由圆的面积公式可求R，根据正弦定理即可求得a的值．

【解答】

解：，可得：，
可得：，
由正弦定理可得：，
，
由A为三角形内角，可得，
三角形ABC外接圆面积为，设外接圆半径为R，则，可得，
由正弦定理：，可得：，解得
故答案为：

17.【答案】解：向量，，，
，解得
，
，
，
，
解得或 

【解析】利用向量平行的性质直接求解．
利用平面向量坐标运算法则先分别求出，，再由，能求出k的值．
本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量平行、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

18.【答案】解：，
，
复数为纯虚数，
，解得
复数在复平面内所对应的点为A且点A在第二象限，
，解得或，
故实数m的取值范围为 

【解析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．
根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

19.【答案】解：因为在菱形ABCD中，
故，
故，所以
显然，
所以
……①，
因为菱形ABCD，且，，故，
所以
故①式
故 

【解析】本题考查平面向量基本定理以及数量积的运算，考查运算能力，属于基础题．

结合向量线性运算的几何意义，用表示出向量，即可求出x，y的值，问题可解；

将也用表示，结合已知求得，然后结合数量积的定义求解即可．

20.【答案】解：
根据侧面展开图得出：
从下底面出发环绕圆柱侧面一周到达上底面的最短路径长为，
根据题意可得：为等腰直角三角形，
，
截面面积为：
根据题意可得：
底面为，
，

：：
故： 

【解析】根据侧面展开图的对角线即可是最短距离，转化为：：，利用圆的知识求解面积，即可得出体积之比．
本题综合考查了空间几何体的性质，面积，体积公式，属于计算题，考虑好所求线段即可．
 

21.【答案】解：在中，由余弦定理得，
，
所以线段MN的长度为3千米．
设，因为，所以，
在中，由正弦定理得，
因为，
所以，，
因此

，
因为，所以
所以当，即时，取到最大值
答：两条观光线路距离之和的最大值为6千米． 

【解析】本题考查解三角形的实际应用，关键是正确建模，然后利用正弦定理、余弦定理解三角形．属于中档题.
在中，利用余弦定理得到MN；
设，得到，利用正弦定理将用表示，结合三角函数的有界性求最值．
 

22.【答案】解：中，，
利用正弦定理：，
整理得，
故，
整理得，
由于，
所以；
由余弦定理得：，由于，
整理得：，
由于，
所以的周长为，
当且仅当时，周长取得最小值；
由于，
所以，
故，①，
由于，所以，
故，
由正弦定理得：a：b：：：：5：8，②；
所以，，
在中，利用余弦定理：；
故 

【解析】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
直接利用正弦定理和三角函数的关系式的变换的应用求出A的值；
利用余弦定理和基本不等式和的应用求出结果；
利用三角形的面积公式和三角函数的关系式的变换及余弦定理的应用求出结果．