2021-2022学年吉林省长春市德惠一中高一（下）第一次月考数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年吉林省长春市德惠一中高一（下）第一次月考数学试卷

1.  下列命题中正确的是(    )

A. 共线向量都相等 B. 单位向量都相等
C. 平行向量不一定是共线向量 D. 模为0的向量与任意一个向量平行

2.  已知，，且，则向量与向量的夹角为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  设向量，向量，向量，则向量(    )

A.  B. 1 C.  D.

4.  已知中，，，，角B等于(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

5.  若，且，那么是(    )

A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形

6.  在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则的外接圆直径等于(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，ABCD是矩形且，若，且F为BC的中点，则(    )

A.  B.
C. 1 D. 2

8.  在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在平行四边形ABCD中，下列计算错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且：：：10：11，则下列结论正确的是(    )

A. ：：：5：6 B. 是钝角三角形
C. 当时的面积 D. 若，则

11.  已知向量，，则(    )

A. 若与垂直，则 B. 若，则的值为
C. 若，则 D. 若，则与的夹角为

12.  以下关于正弦定理或其变形正确的有(    )

A. 在中，a：b：：：
B. 在中，若，则
C. 在中，若，则，若，则都成立
D. 在中，

13.  已知向量，，若与垂直，则实数______.

14.  设，是两个不共线的向量，若，，，且A、B、D三点共线，则______ .

15.  已知为单位向量，且，若，则______.

16.  在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则______.

17.  已知向量，满足，，且，的夹角为

若，求实数k的值；

求与的夹角的余弦值．

18.  已知平面内的三个向量、、

若，求的值；

若向量与向量共线，求实数k的值.

19.  已知的内角A，B，C所对的边分别为，向量，且，若，求的面积.

20.  已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且
求A；
若，的面积为，求的周长．

21.  如图，观测站C在目标A的南偏西方向，经过A处有一条南偏东走向的公路，在C处观测到与C相距的B处有一人正沿此公路向A处行走，走20 km到达D处，此时测得C，D相距，求D，A之间的距离．

22.  已知的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且
求B；
若，求的面积的最大值．

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：对于A，共线向量不一定相等，A错误；
对于B，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，B错误；
对于C，平行向量一定是共线向量，C错误；
对于D，模为0的向量是零向量，它与任意一个向量是平行向量，D正确．
故选：
根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行判断正误即可．
本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，是基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】

【分析】
本题考查非零向量垂直的应用，数量积的计算公式，以及向量的夹角．
根据已知条件即可得到，所以，从而求得，根据向量夹角的范围即可得出向量的夹角．
【解答】
解：；
；
；
；
向量与的夹角为
故选：  

3.【答案】C 

【解析】解：向量，向量，
，

故选：
根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积公式，属于基础题．
 

4.【答案】C 

【解析】解：因为，，，
所以由正弦定理，可得，
因为，
所以，，
可得或
故选：
由已知根据正弦定理可得，根据大边对大角的原则，由可得，即可求解B的值．
本题考查的知识点是解三角形，本题易忽略B有两解的情况，而造成错解，属于基础题．
 

5.【答案】B 

【解析】解：由于，整理得：，故，由于，所以；
且，
所以，
整理得：；
所以为等边三角形；
故选：
直接利用正弦定理和余弦定理的应用求出结果．
本题考查的知识要点：余弦定理和正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

6.【答案】C 

【解析】解：，解得：，
，解得：，
由正弦定理得：，
的外接圆直径等于
故选：
利用三角形面积公式和余弦定理可求得a，接着利用正弦定理求得外接圆半径后，根据圆的面积公式可得结果．
本题考查了三角形面积公式和正、余弦定理，属于基础题．
 

7.【答案】B 

【解析】解：建立如图坐标系，

，，若，且F为BC的中点，
，，，
，，
，
故选：
建立坐标系写出坐标，再利用向量数量积的坐标运算求解即可．
本题考查了向量数量积的坐标运算，建立坐标系是关键，属于中档题．
 

8.【答案】B 

【解析】解：在中，，
利用正弦定理：，
所以：；
由于，
故，
由于，
故，
所以：
故选：
直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理和三角形面积公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

9.【答案】BC 

【解析】解：根据向量加法的平行四边形法则和向量加法的几何意义，，正确；，错误；
，错误；，正确．
故选：
根据向量加法的平行四边形法则和向量加法的几何意义即可判断每个选项的计算的正误，从而找出正确选项．
本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量加法的几何意义，相反向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．
 

10.【答案】ACD 

【解析】解：由于中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且：：：10：11，
设，整理得，，；
对于A：a：b：：5：6，故A正确；
对于B：，故，故该三角形为锐角三角形，故B错误；
对于C：当时，，，
所以由B得：，所以，故C正确；
对于D：当时，，，
故故D正确．
故选：
直接利用等比性质的应用和正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用判断ABCD的结论．
本题考查的知识要点：等比性质的应用，正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

11.【答案】AB 

【解析】

【分析】

本题主要考查向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，向量平行共线关系的坐标表示，向量模的坐标表示，利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角，属于中档题．
对于A，结合向量垂直的性质，即可求解，对于B，结合向量平行的性质，即可求解，对于C，结合向量模公式，即可求解，对于D，结合向量的夹角公式，即可求解．

【解答】

解：向量，，
对于A，若与垂直，则，解得，故A正确；
对于B，若，则，解得，
故，故B正确；
对于C，若，则，
所以，
故，故C错误；
对于D，若，则，
，故D错误．
故选

12.【答案】ACD 

【解析】解：对于A，由正弦定理，
可得：a：b：：：：：，故正确；
对于B，由，可得，或，即，或，
，或，故B错误；
对于C，在中，由正弦定理可得，因此是的充要条件，正确；
对于D，由正弦定理，
可得右边左边，故正确．
故选：
由正弦定理，二倍角的正弦函数公式逐一分析各个选项即可求解．
本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
 

13.【答案】2 

【解析】解：已知向量，，若与垂直，
则，
整理得，
解得
故答案为：
直接利用向量的数量积和向量垂直的充要条件的应用求出k的值．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的数量积，向量垂直的充要条件的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可得
、B、D三点共线，
，

故有，，解得，
故答案为：
利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义求出的坐标，把A、B、D三点共线转化为，即，故有，，
解方程求得k的值．
本题主要考查证明三点共线的方法，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量共线的性质，体现了转化的数学思想，把A、B、D三点共线转化为
 

15.【答案】 

【解析】解：因为为单位向量，且，所以，
若，则，，，
故
故答案为：
根据条件得到，结合，得到，，再由求解即可．
本题考查的知识要点：向量的数量积，向量垂直的充要条件，向量的夹角，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：中，，
由正弦定理可得，整理可得，
由余弦定理可得：
故答案为：
由正、余弦定理变形已知式子可得的值；
本题考查正、余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属基础题．
 

17.【答案】解：根据题意，，，且，的夹角为，
则，
若，则有，
解可得；
根据题意，设与的夹角为，
则，
故 

【解析】根据题意，由数量积的计算公式可得，进而计算可得答案；
根据题意，由向量夹角公式计算可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的判断，属于基础题．
 

18.【答案】解：，，，
又，
，解得，

，，
又向量与向量共线，
，解得 

【解析】根据已知条件，结合向量的坐标运算法则，即可求解．
根据已知条件，结合向量平行的性质，即可求解．
本题主要考查向量的坐标运算法则，以及向量平行的性质，属于基础题．
 

19.【答案】解：，且，
，
由正弦定理可得，，
，
，
，
，

，解得或舍去，
的面积为 

【解析】根据已知条件，结合向量平行的性质，以及正弦定理求出角A，再结合余弦定理，以及三角形面积公式，即可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：因为，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
由A为三角形内角得；
因为的面积，
所以，
由且得，
所以，
故的周长 

【解析】由已知结合正弦定理及余弦定理可求，进而可求A；
由已知结合三角形面积可求bc，然后结合余弦定理可求，进而可求．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
 

21.【答案】解：根据题意：

如图所示：
，，，，
在中，利用余弦定理：，
解得，
所以，；
在中，利用正弦定理：，
解得 

【解析】直接利用正弦定理和余弦定理的应用求出结果．
本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：，
由余弦定理得，，
整理得，
由余弦定理得，
由B为三角形内角得；
因为，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
故的面积，即面积的最大值为 

【解析】由已知结合余弦定理可求，进而可求B；
由已知结合基本不等式及三角形面积公式即可求解．
本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式及基本不等式在求解三角形中的应用，属于中档题．