2021-2022学年吉林省长春市十一高中高一下学期第二学程考试数学试卷含答案

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长春市十一高中2021-2022学年度高一下学期第二学程考试 数 学 试 题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分.共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．复数满足，则复数对应的点在复平面内表示的图形是（       ）A．圆 B．点 C．线段 D．直线2．已知向量，，若，则m= （       ）A．4 B． C． D．93．以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的表面积为（       ）A． B． C． D．4．掷一枚均匀的骰子，观察朝上的面的点数.记事件 “点数为奇数”，事件 “点数大于4”，则事件（       ）A．“点数为3” B．“点数为4” C．“点数为5” D．“点数为6”5．设为单位向量，，当的夹角为时，在上的投影向量为（       ）A．－ B． C． D．6．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（       ）A．至少有一个白球与都是红球 B．恰好有一个白球与都是红球C．至少有一个白球与都是白球 D．至少有一个白球与至少一个红球7．某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（       ）A．直方图中的值为0.004B．在被抽取的学生中，成绩在区间[70，80）的学生数为15人C．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分D．估计全校学生的平均成绩为84分8．如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与所在直线分别交于点，，满足，若，则的值为（       ）A． B． C． D．选择题（共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）9．若复数z满足（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为，则（       ）A． B．z的实部是2C．z的虚部是 D．复数在复平面内对应的点在第一象限10．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（       ）A．个球都是红球的概率为 B．个球不都是红球的概率为C．至少有个红球的概率为 D．个球中恰有个红球的概率为11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列条件能判断是钝角三角形的有（       ）A． B． C． D．12．如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点（不与各边的端点重合），且AE:EB=AH:HD=m，CF:FB=CG:GD=n，AC⊥BD，AC=4，BD=6.则下列结论正确的是（       ）A．E，F，G，H一定共面B．若直线EF与GH有交点，则交点一定在直线AC上C．AC∥平面EFGHD．当m=n时，四边形EFGH的面积有最大值6第Ⅱ卷（共 60 分）三、填空题(共4小题，每小题5分，共20分）13．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率为_______.14．五个数的平均数是，这五个数的方差是______．15．已知正三角形ABC的边长为2，点P在边BC上，则的最大值为___________.16．如图，一辆汽车在一条笔直的马路上从东往西以的速度匀速行驶，在处测得马路右侧的一座高塔的仰角为，行驶5分钟后，到达处，测得高塔的仰角为，其中为高塔的底部，且在同一水平面上，则高塔的高度是___________.（塔底大小､汽车的高度及大小忽略不计）四、解答题：本题共4小题,每小题10分，共40分17.(1)若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，求该圆锥的体积.（2）已知正三棱台(由正三棱锥截得的棱台）的上、下底面的边长分别为2和4，棱台的侧棱长为，求它的侧面积．18．某市从2019年参加高三学业水平考试的学生中随机抽取80名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组，后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：(1)求分数在内的频数、并估计这80名同学数学成绩的众数。(2)用按比例分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人在分数段内的概率.19.在△ABC中，已知，b＝1，B＝30°．(1)求角A；(2)求△ABC的面积．20（1）如图，在四棱锥中，是正方形， 分别是的中点．求证：平面平面．（2）在四面体A-BCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，求EF的长度．21．如图，在直三棱柱中，,,是的中点.(1)证明：平面.(2)若，求三棱锥的体积.22．由于2020年1月份国内疫情爆发，餐饮业受到重大影响，目前各地的复工复产工作在逐步推进，居民生活也逐步恢复正常．李克强总理在考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，也是中国的商机．某商场经营者王某准备在商场门前“摆地摊”，经营“冷饮与小吃”生意．已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点P在弧上，点M和点N分别在线段和线段上，且米，．记．(1)当时，求；(2)请写出顾客的休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值．高一下第二学程数学参考答案：一．单选题1．A 2．C 3．D 4．C 5．B 6．B7．D【详解】由得，A错；成绩在区间[70，80）的频率为，人数为，B错；低于90分的频率为，设样本数据的80%分位数约为分，则，解得，C错；平均成绩为，D正确．故选：D．8．B【详解】因平行四边形的对角线相交于点，则，而，于是得，又点M，O，N共线，因此，，即，又，解得，所以.故选：B二．多选题9．BCD10．ACD解：由题可知，从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，则从甲袋中摸出一个不是红球的概率是，从乙袋中摸出一个不是红球的概率是，对于A选项，个球都是红球的概率为，A选项正确；对于B选项，个球不都是红球的概率为，B选项错误；对于C选项，至少有个红球的概率为，C选项正确；对于D选项，个球中恰有个红球的概率，D选项正确.故选：ACD.11．BC【详解】对于A，由及正弦定理，可得，即，所以或，所以或，所以ABC是等腰三角形或直角三角形，故A不能判断；对于B，由，得，则B为钝角，故B能判断；对于C，由正弦定理，得，则，，故C能判断；对于D，由及正弦定理化边为角．可知，即，因为A，B为ABC的内角，所以A＝B，所以ABC是等腰三角形，故D不能判断．故选：BC．12．【答案】ABD【详解】因为，则，又，则.所以，即四点共面，A正确；因为，所以，同理.当时又，此时四边形EFGH为梯形，即直线EF与GH有交点，交点在面ABC内，又在面ADC内，而面面，所以直线EF与GH的交点在直线AC上，B正确，C错误；因为及得：，四边形EPGH为平行四边形，又，所以，故平行四边形EFGH为矩形.设，因为，所以，而，所以，所以，则矩形EFGH的面积，可得，D正确.故选：ABD三．填空题13． 14．15．【答案】2【详解】以为轴，边上的高为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.则，，则，当时，有最大值 16．【详解】如图，由题意可知，设，则，在中，由余弦定理可得，即，解得.17.(1)解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，母线长为l，由题意，得，则，，，.（2）【解】如图，作出正三棱台，过点B作BM⊥B1C1于点M.，易知在Rt△BB1M中，B1M＝1，BB1＝，故BM＝＝，所以侧面积为3××(2＋4)×＝.18．(1)解：分数在，内的频率为：故频数为．众数是125(2)由题意，分数段的人数为（人．分数段的人数为（人．用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，所以需在分数段内抽取2人，分别记为，，在分数段内抽取4人，分别记为， ，，设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段内”为事件，则样本空间：，，，，，，，，，，，，，，，共包含15个样本点事件：“从样本中任取2人，2人都不在分数段内” 只有1个样本点，所以，所以至少有1人在分数段内的概率为．19.(1)由得：．由且C为三角形内角，则，故或，而B＝30°，所以A＝90°或A＝30°．(2)当A＝90°时，．当A＝30°时，，所以△ABC的面积为或．20(1)由分别是线段的中点，所以，又为正方形，，所以，又平面，所以平面.因为分别是线段的中点，所以，又平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.(2)【答案】或【详解】如图，取BC中点O，连接OE，OF．∴OE∥AC，OF∥BD，∴OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角．而AC，BD所成的角为60°，∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°．当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝；当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，连接OM，则OM⊥EF，EF＝2EM＝．所以EF=或21．(1)证明：如图，连接交于，连接，因为是的中点，是的中点，所以是的中位线，所以.因为平面平面，所以平面.（2）因为三棱锥与三棱锥是同一个三棱锥.且，所以三棱锥的体积为.22．(1)根据题意，在△中，，又，故由正弦定理可得：解得，，故.即.(2)由题可知，在△中，，则由正弦定理，可得，故可得，故. 即.当时，，此时取得最大值.