2021-2022学年河北省邢台市卓越联盟高一（下）第一次月考数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年河北省邢台市卓越联盟高一（下）第一次月考数学试卷

1.  下列说法正确的是(    )

A. 向量与向量是相等向量
B. 与实数类似、对于两个向量，有，，三种关系
C. 两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行
D. 若两个非零向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合

2.  已知向量，满足，，则(    )

A. 12 B. 10 C. 8 D. 6

3.  在中，点D在边BC上，且，E是AD的中点，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  平面向量与的夹角为，，，则等于(    )

A.  B.  C. 4 D. 12

5.  已知非零向量，满足，则“”是“”的条件(    )

A. 充要 B. 必要不充分 C. 充分不必要 D. 既不充分也不必要

6.  在中，若，，，则角B的大小为(    )

A.  B.  C.  D. 或

7.  在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则的形状为(    )

A. 正三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形

8.  已知点G为的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，，x，，则(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

9.  对于任意的平面向量，，，下列说法错误的是(    )

A. 若且，则
B.
C. 若，且，则
D.

10.  若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则(    )

A. 1 B.  C.  D. 5

11.  已知向量，，则下列说法正确的是(    )

A. 若，则t的值为
B. 的最小值为1
C. 若，则t的值为2
D. 若与的夹角为钝角，则t的取值范围是

12.  在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且：：：13：15，则下列结论正确的是(    )

A. ：：：7：8
B. 是钝角三角形
C. 的最大内角与最小内角之和为
D. 若，则外接圆半径为

13.  设向量，，若，则______.

14.  在等边中，若，，，且，则的值为______.

15.  已知向量，，，，若，则的最小值______.

16.  若满足，，的恰有一解，则实数m的取值范围是______.

17.  已知，
求；
设，的夹角为，求的值；
若向量与互相垂直，求k的值．

18.  已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线．
求实数的值；
若，，求的坐标；
已知，在的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．

19.  已知向量，，若函数
求函数的最小正周期；
将的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半，得到的图象，求的所有的对称轴的取值集合．

20.  在中，A为钝角，
求A；
再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求BC边上高线的长．
条件①：；
条件②：，

21.  如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5nmile，与小岛D相距为为钝角，且
求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；
记为，为，求的值．

22.  已知，，
求的单调递增区间；
中，角A，B，C所对的边为a，b，若，，求周长的取值范围．

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此不正确；
B.与实数不一样，对于两个向量不能比较大小，可以考虑相等或不相等，因此不正确；
C.两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线平行或重合，因此不正确；
D.两个非零向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合，正确．
故选：
利用向量的共线、相等、相反的意义即可判断出正误．
本题考查了向量的共线、相等、相反的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】解：，
所以
故选：
利用数量积以及运算性质即可求解．
本题考查了平面向量数量积的计算，属于基础题．
 

3.【答案】D 

【解析】解：由题意可得，
是AD的中点，，
，
故选：
利用向量的线性运算法则求解．
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：，，，

故选：
可求出，然后根据进行数量积的运算即可求出答案．
本题考查了向量数量积的运算，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．
 

5.【答案】A 

【解析】解：充分性：，若，
则，
，
，
，
“”是“”的充分条件；
必要性：若，则，且，
，
，
“”是“”的必要条件，
综上得，“”是“”的充要条件．
故选：
根据条件，由可得出，进行数量积的运算即可得出；而根据可得出，从而可得出，然后即可得出，这样即可得出正确的选项．
本题考查了充要条件的定义及判断过程，向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

6.【答案】B 

【解析】解：由正弦定理，得，
所以，所以，
因为，所以，
故B为锐角，所以
故选：
由已知结合正弦定理先求出，然后结合三角形的大边对大角求解即可．
本题主要考查了正弦定理及三角形的大边对大角在求解三角形中的应用，属于基础题．
 

7.【答案】C 

【解析】

【分析】

解：因为，
所以，
由A为三角形内角得，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，即B为直角．
故选：

【解答】

由已知结合诱导公式及两角和与差的三角函数公式，进行化简即可求解．
本题考查了诱导公式，两角和与差的三角函数公式，属于基础题．

8.【答案】C 

【解析】

【分析】

考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，三点A，B，C共线时，由可得出属于基础题.
可画出图形，然后连接AG交BC的中点于D，而G是的重心，从而能得出，而由条件可得出，这样即可得出，根据三点M，G，N共线即可得出，从而求出

【解答】

解：如图，

连接AG交BC的中点为D，则：；
；
又；
；
；
，G，N三点共线；
；

故选：

9.【答案】ACD 

【解析】解：且，当为零向量时，则与不一定共线，即A错误，
由向量乘法的分配律可得：，即B正确，
因为，则，又，则或，即C错误，
取为非零向量，且与垂直，与不垂直，则，，即D错误，
故选：
平面向量共线的传递性可得A错误，由向量乘法的分配律可得B正确，由向量垂直的运算可得C，D错误，得解．
本题考查了平面向量共线的传递性、向量乘法的分配律，向量垂直的运算，属基础题．
 

10.【答案】AD 

【解析】解：①的两两夹角为0时，；
②的两两夹角为时，
故选：
根据题意可得出两两夹角为0或，夹角为0时，显然得出；夹角为时，根据进行数量积的运算即可．
本题考查了向量夹角的定义，向量长度的求法，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

11.【答案】BC 

【解析】解：对A：若，则，解得，故A错误；
对B：，则当时，取最小值1，故B正确；
对C：若，所以²²，即²²²²，解得，故C正确；
对D：若与的夹角为钝角，则，，且，，解得且，故D错误；
故选：
对A：利用向量平行的坐标运算性质即可判断；
对B：根据模的运算公式代入计算，利用二次函数性质即可判断；
对C：根据模的运算公式，列出关于t的方程，解出即可判断；
对D：根据向量夹角是钝角，得到且，即可判断．
本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及向量平行，向量模的运算，向量夹角公式，属于中档题．
 

12.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题综合考查了正弦定理，余弦定理，三角形的大边对大角等知识在求解三角形中的应用，属于中档题．
由已知先分别表示a，b，c，然后结合正弦定理，余弦定理分别检验各选项即可．

【解答】

解：由题意可设，，，
所以，，，
由正弦定理得，：：：7：8，A正确；
由可知C为最大角，又，
所以，即C为锐角，故为锐角三角形，B错误；
由B选项的求解知，，
又，
由B为三角形内角得，
所以，C正确；
若，由正弦定理得，，即，D正确．
故选：

13.【答案】3 

【解析】解：，
，解得
故答案为：
根据即可得出，然后进行向量坐标的数量积运算即可求出m的值．
本题考查了向量坐标的数量积的运算，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由已知得，
，
，
解得
故答案为：
将分别用来表示后，即可求解．
本题考查了平面向量数量积的计算，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由向量，，，，得得，
所以，
当且仅当且，即，时等号成立，所以的最小值是
故答案为：
由向量，，，，得得，然后把转化为，最后结合基本不等式可求得最小值．
本题考查平面向量平行的坐标表示及基本不等式应用，考查数学运算能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，
则由余弦定理可得，
因为满足条件的恰有一解，等价方程仅有一正根，
若，则，符合题意；
若，
则方程必有一正根一非正根，
；
综上所述，满足条件的实数m的取值范围是
故答案为：
设，由余弦定理得，三角形有一解的问题转化为方程有一个正根的问题求解．
本题考查了解三角形的知识，属于基础题．
 

17.【答案】解：由，，
可得；
；
因为向量与互相垂直，
所以，即，
因为，，
所以，
解得 

【解析】由向量的减法运算可得所求；
由向量的夹角的余弦公式可得所求值；
由向量垂直的性质和向量的模的公式，解方程可得所求值．
本题考查向量的加减和数量积的定义和性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：，
因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得，
即
得
因为，是平面内两个不共线的非零向量，
所以，解得，

设，
由题意可得，
，，
，
 

【解析】，由A，E，C三点共线，可得存在实数k，使得，即可得出
，利用向量坐标运算性质即可得出．
设，由题意可得，利用向量坐标运算性质即可得出．
本题考查了向量共线定理、利用向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：由题意向量，，
则函数，
即函数的最小正周期为；
将的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半，得到的图象，
则，
令，
则，，
即的所有的对称轴的取值集合为 

【解析】由平面向量数量积的坐标运算求出，然后求其周期即可；
由三角函数图象的变换求出，再求其对称轴即可．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了三角函数图象的变换及性质，属中档题．
 

20.【答案】解：中，，
由余弦定理得，
所以，
又因为A为钝角，所以，解得
选条件①：，
由知：，所以，代入，解得：，所以，
此时存在但不唯一，不合题意，舍去；
选条件②：，
由正弦定理及，得
在中，，设，，，
由，得，
即，解得，，，符合要求．
设BC 边上高线的长为h，由，解得，
所以BC边上高线的长为 

【解析】利用余弦定理和同角的三角函数关系求出，再计算为A的值．
选条件①时，求出B与C，验证此时存在但不唯一，不合题意；
选条件②时，利用正弦定理和余弦定理，即可求出b、c的值，利用等面积法求出BC 边上高线的长．
本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力与方程思想，是中档题．
 

21.【答案】解：，且A为钝角，，
在中，由余弦定理可得，
，即，
解得：或舍去
小岛A与小岛D之间的距离为
、B、C、D四点共圆，与C互补，则，

在中，由余弦定理得：，
，得，
解得舍去或

平方；
在中，由正弦定理得：，
即，解得
，为锐角，则，
又，
，

 

【解析】本题考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的应用，考查两角和的正弦，考查运算求解能力，是中档题．
由求得，在中，由余弦定理列式求得AD；再由A、B、C、D四点共圆求解与，在中，由余弦定理解得CD，再求、的面积，可得四个小岛所形成的四边形的面积；
在中，由正弦定理得，求出，再求出与，然后利用，展开两角和的正弦求解．
 

22.【答案】解：，
所以在上单调递增，解得，，
所以的单调增区间为，；
由，得，
解得，，即，；
又因为，所以，
因为，由余弦定理知：，有，
所以，当且仅当时等号成立，
又在中，，且周长，
所以，
即的周长取值范围是 

【解析】根据平面向量的数量积与三角恒等变换公式化简，再根据三角函数的图象与性质求出的单调增区间；
由求出A的值，再利用余弦定理和基本不等式求出周长的取值范围．
本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了三角函数的图象与性质以及解三角形的应用问题，是中档题．