2021-2022学年河北省名校联盟高一（下）联考数学试卷（4月份）（Word解析版）

2021-2022学年河北省名校联盟高一（下）联考数学试卷（4月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 第届冬季奥林匹克运动会，即年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事．北京时间月日，中国选手谷爱凌摘得冬奥会自由式滑雪大跳台金牌．谷爱凌夺冠的动作叫“向左偏转偏轴转体”，即空中旋转，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知复数，在复平面内对应的点关于原点对称，若，则对应的点位于(    )

A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限

4. 已知平面内的三点，，，若，，三点共线，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 若，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 在中，边的中点为，若为的重心，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知为锐角，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 记的内角，，的对边分别为，，，若，，，，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 已知角的终边经过点，则(    )

A.  B.
C.  D.

10. 已知平面内三点，，，则(    )

A.  B.
C.  D. 与的夹角为

11. 记的内角，，的对边分别为，，，则下面说法正确的是(    )

A. 若，，，则无解
B. 若，，，则有一解
C. 若，，，则有两解
D. 若，，，则有两解

12. 已知函数的图象经过原点，且恰好存在个，使得的图象关于直线对称，则(    )

A.
B. 的取值范围为
C. 一定不存在个，使得的图象关于点对称
D. 在上单调递减

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 函数的一个周期可以是______．
14. 已知复数，则的虚部为______；若为纯虚数，则实数______．
15. 甲、乙两艘渔船从点处同时出海去捕鱼，乙渔船往正东方向航行，速度为公里每小时，甲渔船往北偏东方向航行，速度为公里每小时，两小时后，甲渔船出现故障停在了处，乙渔船接到消息后，立刻从所在地处开往处进行救援，则乙渔船到达甲渔船所在位置至少需要______小时．参考数据：取
16. 已知正方形的边长为，正方形的内切圆圆上有一动点，平面内有一动点，则的最大值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知复数．
    求；
    若，求的值．
18. 已知函数．
    求的单调递增区间；
    将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域．
19. 记的内角，，的对边分别为，，，已知．
    求的大小；
    若，，求的值．
20. 已知向量，，．
    若在上的投影向量的模为，求的值；
    若，求的值．
21. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，为边上的中线，的角平分线交于点．
    若，，求的值；
    若，求面积的最小值．
22. 如图，在中，，，，，，为线段上的一动点．
    若，求的值；
    求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
由已知利用诱导公式即可求解．
本题考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解；由正弦定理，
解得：．
故选：．
根据在正弦定理列式求解即可．
本题考查三角形的正弦定理，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
复数，在复平面内对应的点关于原点对称，
，
故对应的点位于第二象限．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，点，，，
则，，
因为，，三点共线，所以，解可得．
故选：．
根据题意，求出和，由向量平行的坐标表示方法可得、的关系式，分析可得答案．
本题考查三线共点，涉及向量平行的坐标表示，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由，得，

．
故选：．
由已知求得，再由诱导公式、倍角公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式是应用，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意得，


，
故选：．
利用重心的性质及平面向量线性运算化简即可．
本题考查了平面向量线性运算的应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意得，为第二象限角，
所以，
所以．
故选：．
先根据三角函数的定义，求得的值，再由两角差的正切公式，得解．
本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握两角差的正切公式，三角函数的定义是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，，
由，
得，
得，
，
，所以．
由，
得．
故的周长为．
故选：．
利用余弦定理和勾股定理，即可解出．
本题考查了解三角形，余弦定理，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：角的终边经过点，，
，，，AB正确，C错误，
，D错误，
故选：．
利用任意角的三角函数的定义判断，利用两角和的正弦公式判断．
本题考查任意角的三角函数的定义，两角和的正弦公式，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意，，，，依次分析选项：
对于，，A错误；
对于，，，，则，B正确；
对于，，则，C正确；
对于，，，，则，，则与的夹角为，D正确；
故选：．
根据题意，求出向量、、的坐标，依次分析选项
本题考查向量的坐标、向量的数量积以及模的计算，注意向量坐标的定义，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于选项A：，，，由于，所以三角形无解．故A正确．
对于选项B：，，，由于，故B，所以该三角形无解．故B错误．
对于选项C：，，，由于，所以该三角形有两解，故C正确．
对于选项D：，，，由于，所以，所以该三角形有唯一解，故D错误．
故选：．
对于：由已知可得，可判断；由条件可得，可判断；由，可判断；由条件可得，可判断．
本题考查三角形的解的情况，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为函数的图象经过原点，故，
结合，得，故A正确．
由，得，所以，得，B正确．
当时，存在个，使得的图象关于点对称，C错误．
因为，所以，又，所以，
所以在上单调递减，D正确，
故选：．
由题意，利用余弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题．
 

13.【答案】答案不唯一 

【解析】解：函数的最小正周期为，
故函数的一个周期可以是，
故答案为：答案不唯一，
由题意，利用余弦函数的周期性，得出结论．
本题主要考查余弦函数的周期性，属于基础题．
 

14.【答案】   

【解析】解：由题意得，
的虚部为．
为纯虚数，
，即．
故答案为：；．
利用复数的四则运算法则、虚部与纯虚数的定义即可得出结论．
本题考查了复数的四则运算法则、虚部与纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意作出图形，如图，

，，，
由余弦定理得，
解得，
乙渔船到达甲渔船所在位置至少需要的时间为：小时．
故答案为：．
作出图形，利用余弦定理能求出结果．
本题考查解三角形的运算，考查余弦定理、方位角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，建立直角坐标系，得点，，

因为圆为单位圆，所以设，
其中，则，
所以．
故答案为：．
建立直角坐标系，利用坐标表示法求解数量积，再利用三角函数的性质求最大值．
本题考查了平面向量数量积的计算，属于基础题．
 

17.【答案】解：，
则．
，
，即，即，，
． 

【解析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数相等的条件，即可求解．
本题主要考查复数模公式，以及共轭复数的定义，属于基础题．
 

18.【答案】解：，
由，
求得，
故的单调递增区间为．
将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，
纵坐标保持不变，可得的图象，
再把所得的图象向左平移个单位长度，
可得的图象，
因为，所以，
所以，，
故在上的值域为． 

【解析】由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求出的单调递增区间．
由题意，利用函数的图象变换规律，得到的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，求得在上的值域．
本题主要考查三角恒等变换，函数的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题．
 

19.【答案】解：由题意得，
得，
得，
所以，
即．
由余弦定理，
得．
因为，所以，
由正弦定理，得，，
所以． 

【解析】直接利用三角函数的关系式的变换求出的值；
利用余弦定理和正弦定理的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理、余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意得，，
所以在上的投影向量的模为，，
所以，
又因为，所以，
所以或，
所以或．
因为，所以，即，
解得． 

【解析】在上的投影向量的模为，，再结合平面向量数量积的坐标运算，正弦函数的图象与性质，得解；
由，代入数据，运算即可．
本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握投影向量的计算方法，平面向量的坐标运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：由余弦定理，
得，即．
由题意得，
两边平方得．
因为，
所以．
因为，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，故面积的最小值为． 

【解析】直接利用余弦定理和向量的运算的应用求出结果；
利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：向量的运算，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：设，则，
因为，
所以，因此；
设，其中，
，
，
所以

，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为． 

【解析】设，利用平面向量的线性运算可得出，可得出，即可求得的值；
设，其中，将利用基底表示，再利用平面向量数量的运算性质以及二次函数的基本性质可求得的最小值．
本题考查了平面向量数量积的应用，属于中档题．