2022-2023学年安徽省卓越县中联盟高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省卓越县中联盟高一（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，或，则(    )

A.  B. ，
C. ， D.

2.  (    )

A.  B.  C.  D.

3.  若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  打糍粑流行于中国南方地区，如图为一种打糍粑用的石臼，其可看成从正方体的一面挖去一个半球后形成的几何体若该正方体的棱长为，半球的半径为，石臼的体积为，则(    )

A.
B.
C.
D.

5.  已知某圆柱的轴截面的斜二测画法直观图如图所示，，分别对应圆柱两底面的直径，，，，则该圆柱的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知，是半径为的圆上的两个动点，，则的夹角的余弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知函数为正整数，在区间上单调，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知奇函数的定义域为，且对任意的，且，都有与同号，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  用一个平面去截棱长为的正方体，则下列结论中正确的是(    )

A. 若该平面过点，，，则截面的周长为
B. 若该平面过点，，，则截得的两个几何体的外接球体积相等
C. 若该平面过点，，，则截得的两个几何体的表面积均为
D. 若该平面过点，，则其截正方体的外接球所得的截面面积不是定值

10.  已知向量，则(    )

A.
B. 的夹角为
C. 与共线的单位向量
D. 在上的投影向量为

11.  已知的内角，，的对边分别为，，，且，则使得的条件可以为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知函数，则下列结论中正确的是(    )

A. 的一个周期为
B. 的图象是轴对称图形
C. 若恒成立，则实数的取值范围为
D. 直线与的图象没有公共点

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知复数的模是且其虚部大于，则实数 ______ ．

14.  若平面上不共线的四点，，，满足，且，则 ______ ．

15.  已知函数，记关于的方程的所有实数根的乘积为，若，则实数的取值范围是______ ．

16.  已知在等腰中，，点为边的中点，则在上的投影向量的长度为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
油纸伞是世界上最早的雨伞，是中国古人智慧的结晶它以手工削制的竹条做伞架，以涂刷天然防水桐油的皮棉纸做伞面伞面可近似看成圆锥形若某种油纸伞的伞面下边沿所在圆的半径为，顶点到下边沿上任一点的长度为．
若将该伞的伞面沿一条母线剪开，展开后所得扇形的圆心角为多少弧度？
若伞面的内外表面需要各刷次桐油，每平方米需要刷桐油，则刷一个这样的油纸伞需要多少千克桐油？参考数据：

18.  本小题分
已知在复平面内表示复数的点为．
若点在函数的图象上，求实数的值；
若为坐标原点，点在轴的正半轴上，且向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．

19.  本小题分
已知中角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，求的周长的最小值．

20.  本小题分
已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象经过点．
求的解析式；
设函数，若在区间上的取值范围是，求实数的取值范围．

21.  本小题分
如图，在四边形中，，，，．
证明：；
设，求的最大值，并求取得最大值时的值为多少．

22.  本小题分
已知函数是偶函数．
求实数的值；
求方程的实根的个数；
若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
或，
或，
，．
故选：．
根据集合的基本运算即可求解．
本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为“”是“”的充分不必要条件，
所以，
所以，解得，
故即实数的取值范围是．
故选：．
将所求问题转化为真子集求参数问题，结合对数不等式即可求解．
本题主要考查了充分必要条件的判断，还考查了对数不等式的求解，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题可知正方体的体积为挖去的半球的体积为，
所以，
即，
所以．
故选：．
根据正方体内切球及球的体积公式计算可得．
本题考查立体几何体积，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，圆柱的轴截面的直观图中，，分别对应圆柱两底面的直径，且，，
在圆柱的轴截面中，底面圆的直径为，圆柱的高，
则该圆柱的表面积．
故选：．
根据题意，由斜二测画法分析圆柱底面圆的半径和高，进而计算可得答案．
本题考查圆柱的表面积计算，涉及平面图形的直观图，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：设的夹角为，
，是半径为的圆上的两个动点，
则，
，
则，即，解得或舍去．
故选：．
根据已知条件，推得，再将两边同时平方，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意得，
即，
所以，
因为为正整数，
所以，，
因为，
所以，
即，
所以，
因为，
则．
故选：．
由已知结合周期可求，然后代入已知条件即可求解．
本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为对任意的且，都有与同号，
所以与同号，
即与同号，
因为为奇函数，
所以为偶函数，且当时为增函数，
因为，，
又，，
所以．
故选：．
由题意，将问题转化成与同号，得到为偶函数，且当时为增函数，结合增函数的性质进行求解即可．
本题考查对数值的大小判断和函数奇偶性；考查了逻辑推理和转化思想．
 

9.【答案】 

【解析】解：若该平面过点，，，则截面为，截面的周长为，故A错误；
若该平面过点，，，则截得的两个几何体的外接球均为正方体的外接球，
故外接球体积相等，故B正确；
若该平面过点，，，则必过点，则截得的两个几何体为相同的三棱柱，
且三棱柱的表面积均为，故C正确；
若该平面过点，则其过正方体的外接球的球心，所以截面面积是定值，故D错误．
故选：．
利用正方体的性质，计算判断即可．
本题考查简单几何体的定义及几何体的体积与表面积的计算．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
则，，
，即，故A错误；
，，，
故，
，
，故B正确；
与共线的单位向量，故C错误；
在上的投影向量为，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合向量的数量积运算，向量的夹角公式，单位向量的定义，以及投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，由正弦定理可得，，，，．
对于，由及正弦定理可得，由余弦定理，，，故A正确；
对于，由可得，，，，由正弦定理，，故B错误；
对于，且，，与矛盾，故C错误；
对于，，，，，，故D正确．
故选：．
由正弦定理及条件式求出，再逐一判断各选项即可．
本题考查正余弦定理及向量的数量积，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，故不是的周期，故A错误；
，和都关于对称，则共有对称，故B正确；
二次函数恒成立，且在处取得最小值，而在处取得最大值，
当时，取得最大值，故，则，故C正确；
，且当时，，
又当时，，
，直线与的图象没有公共点，故D正确．
故选：．
分别根据三角函数，二次函数的性质，利用周期性，对称性，最值性进行判断即可．
本题主要考查函数性质的综合判断，利用函数周期性，对称性和最值性的性质分别进行判断是解决本题的关键，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：复数的模是且其虚部大于，
则且，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数模公式，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数模公式，以及虚部的定义，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，且，
．
故答案为：．
根据条件可得出，然后根据即可得出的值．
本题考查了向量减法的几何意义，向量的数乘运算，向量数乘的几何意义，考查了计算能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由，得，所以或，故，则函数在上单调递增，又，
则，即为，
所以，
解得的取值范围是．
故答案为：．
求出方程的所有实数根，得到的解析式，然后利用其单调性解不等式即可．
本题考查了对数、指数函数的性质、一元二次不等式的解法及转化思想，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
则角为钝角，
为等腰三角形，
，
设，
，，
，解得，
，
，
由余弦定理可得，，解得，代入可得，，
故在上的投影向量的长度为．
故答案为：．
根据已知条件，先求出，再结合余弦定理，以及向量的投影公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：由题可知圆锥的底面周长为，
所以展开后所得扇形的圆心角为；
由题可知圆锥的侧面积，
所以刷一个这样的油纸伞需要桐油． 

【解析】求出扇形的弧长，再根据弧长公式即可得解；求出圆锥的侧面积即可．
本题考查圆锥的侧面积的计算，属于基础题．
 

18.【答案】解：由题知点的坐标为，
点在函数的图象上，，
，或．
点在轴的正半轴上，且向量与的夹角为钝角，
或，
或，或，
的取值范围为． 

【解析】由复数的几何意义得到点的坐标代入函数解析式即可求得；
由条件分析可得点在第二、三象限，从而得到不等关系，列出不等式即可求得．
本题考查复数的几何意义及向量的夹角，一元二次不等式的解法等，属于基础题．
 

19.【答案】解：因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，即，
所以．
因为，
所以由余弦定理可得，
所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，
故的周长的最小值为． 

【解析】由，利用诱导公式和两角和与差的三角函数求解；
由，利用余弦定理得到，再由，利用基本不等式求解即可．
本题主要考查正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
，解得，又的图象经过点，
即，
，又，
，
；
，
当上时，，
在区间上的取值范围是，
，
解得，即实数的取值范围为 

【解析】依题意，可求得与，从而可得的解析式；
利用三角恒等变换化简可得，再利用在区间上的取值范围是，可得，解之可求实数的取值范围．
本题考查由的部分图象确定其解析式及正弦函数的性质，考查数学运算的核心素养，属于中档题．
 

21.【答案】证明：，
则，即，
故，即，
所以，
故；
解：，，
则，
故，
，，
，
，
，不共线，
，即，
，
，
，
当时，取得最大值，且最大值为，此时． 

【解析】根据已知条件，结合平面向量的线性运算，即可求解；
根据已知条件，结合平面向量的线性运算，以及平面向量的基本定理，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于难题．
 

22.【答案】解：因为函数是偶函数，所以，即，
也即，
，
，
，
因为对定义域内的任意上式恒成立，所以．
由知，．
所以．
因为函数在上单调递减，，
所以函数在上的值域为．
所以方程的实根的个数为．
由题可知，，
由，可得，
令，则，
所以可化为，
令函数．
当，即时，，舍去．
当，即时，的图象开口向上，
因为，所以一定存在唯一的正根，符合题意．
当，即时，的图象开口向下，
因为，
令，解得或，
又，所以对称轴，
所以舍去或．
所以，
综上，实数的取值范围是 

【解析】利用偶函数的定义求解；
，结合函数在上的单调性与值域求解；
令，可得令，，所以，令函数，结合二次函数的性质求解．
本题考查函数零点与方程根的关系，属于中档题．