2021-2022学年河北省邢台市南和一中高一（下）第三次月考数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年河北省邢台市南和一中高一（下）第三次月考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知三棱柱有个顶点，条棱，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在中，，为的中点，以所在的直线为轴，其余三边旋转半周形成的面围成一个几何体，则该几何体为(    )

A. 圆柱 B. 圆锥 C. 圆台 D. 球

3. 下列说法正确的是(    )

A. 三点确定一个平面 B. 三角形可以确定一个平面
C. 没有公共点的两条直线是异面直线 D. 两条异面直线的夹角可能为钝角

4. 水平放置的平面四边形的斜二测直观图为一个上底为，下底为，高为的梯形，则四边形的实际面积为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图所示，该几何体为上、下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面．若，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知某圆柱的内切球半径为，则该圆柱的侧面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，蜜蜂蜂房是由严格的正六棱柱构成的，它的一端是平整的六边形开口．六边形开口可记为图中的正六边形，其中为正六边形的中心，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 已知向量，，则(    )

A.  B.
C.  D.

10. 已知复数满足，则(    )

A. 的实部为 B.
C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D.

11. 在长方体中，，，点为线段上的一动点，则(    )

A. 所在的直线与所在的直线为异面直线
B. 平行于平面内的任意一条直线
C. 的最小值为
D. 三棱锥的体积为定值

12. 在棱长为的正方体中，为内一点，若的面积为，则四面体的体积可能为(    )

A.  B.  C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 如图，在长方体中，，分别是和的中点，则在三条直线，，中，与直线是异面直线的共有______条．

14. 若，其中是虚数单位，，，则______；若为实数，则实数______．
15. 柏拉图立体是指多面体的各个面都是全等的正多边形，例如正四面体．现有一个正八面体，每个面都是边长为的正三角形，则该正八面体的体积为______．
16. 记的内角，，的对边分别为，，，若为的重心，，，则______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知平面内的三点，，，，且向量．
    求的值；
    求向量与的夹角．
18. 一个四棱锥木块如图所示，点在内，过点将木块锯开，使截面平行于直线和，请作出截面，即画出截面与木块表面相交的每条线段，并说明作法及理由．

19. 如图，在三棱柱中，底面，，，，是棱的中点．
    证明：平面平面；
    求三棱锥的体积．

20. 记的内角，，的对边分别为，，，且．
    求的大小；
    若的角平分线交于，且，求面积的最小值．
21. 如图，在四棱锥中，，，，，，．
    证明：平面；
    若为的中点，求到平面的距离．

22. 如图，在正三棱柱中，为与的交点，为的中点，．
    证明：平面；
    若为线段上一动点，在平面上是否存在一点，使得平面恒成立？若存在，请找出点位置，并证明平面；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：三棱柱有个顶点，条棱，
由三棱柱的结构特征得：，，
．
故选：．
利用三棱柱的结构特征直接求解．
本题考查三棱柱的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：中，，为的中点，所以，
以所在的直线为轴，其余三边旋转半周形成的面围成一个几何体，是圆锥．
故选：．
根据圆锥的定义知该旋转体是圆锥．
本题考查了圆锥的定义与应用问题，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据不共线的三点确定一个平面，所以三角形可以确定一个平面，故选项A错误，选项B正确．
没有公共点的两条直线可能是平行的共面直线，故选项C错误，
两条异面直线的夹角不可能为钝角，故选项D错误．
故选：．
根据平面的基本性质及异面直线及其所成角的定义即可逐一判断．
本题考查了异面直线及其所成角，以及平面的基本性质，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题可知，水平放置的平面四边形的斜二测直观图为一个上底为，下底为，高为的梯形，该梯形的面积为．
由斜二测画法得，四边形的实际面积为．
故选：．
根据已知算出直观图的面积，结合，可得答案．
本题考查的知识点是斜二测画法，熟练掌握水平放置的图象，是解答的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：该几何体为上、下底面周长分别为，的正四棱台，棱台的高为，
由题意可知，该四棱台的上、下底面边长分别为，，
故该香料收纳罐的容积为．
故选：．
利用台体的体积公式直接计算．
本题考查了台体的体积公式，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由，，得，
由，，
又，或与相交或与异面．
正确的选项是．
故选：．
由已知可得，进一步得到，再由，可得与的关系，则答案可求．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：画出该几何体的轴截面，如图所示：
由题意得，该圆柱底面圆的半径为，圆柱的高为，
所以该圆柱的侧面积为．
故选：．
由题意得出该圆柱底面圆的半径和高，由此计算圆柱的侧面积．
本题考查了圆柱与球的结构特征应用问题，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，由正六边形的性质可知，
，，，
所以
，
故选：．
连接，，由正六边形的性质可知，，，，然后根据平面向量基本定理化简即可求解．
本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由向量，，得，故A正确；
根据，可得B错误；
根据，可得C正确；
根据，可得，故D正确，
故选：．
由题意，利用两个向量加减法法则，两个向量数量积公式，两个向量坐标形式的运算，计算求得结果．
本题主要考查两个向量加减法，两个向量数量积公式，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由，，
，
，
在复平面内对应的点位于第四象限，
．
故选：．
利用复数的周期性、四则运算法则、几何意义即可得出结论．
本题考查了复数的周期性、四则运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，所在的直线与所在的直线为异面直线，A正确．
对于，平面，但不一定平行于平面内的任意一条直线，如与不平行，所以B错误．

对于，将矩形和沿展开为矩形，则，C正确．
因为平面，所以到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，D正确．
故选：．
对于，由异面直线的定义判断，对于，举例判断，对于，将矩形和沿展开为矩形，再判断，对于，由于平面，从而可得结论．
本题主要考查异面直线的判定，线面平行的性质，锥体体积的计算，立体几何中的最值问题等知识，属于中等题．
 

12.【答案】 

【解析】解：设与平面相交于点，如图，

由题可知平面，
又，则，即点的轨迹是以为原点，为半径的圆，
由得，解得，
而到的距离为，
由为以为原点，为半径的圆上的动点知：的最大值为，最小值为，
所以四面体体积的最大值为，最小值为，
所以四面体的体积的范围为．
故选：．
由的面积可求出得出动点的轨迹，根据点的轨迹求出的最大最小值，利用三棱锥的体积公式可求四面体体积的范围即可求解．
本题考查了四面体的体积计算，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，在长方体中，
，分别是和的中点，
则在三条直线，，中，
，均与异面，与共面．
在三条直线，，中，
与直线是异面直线的共有条．
故答案为：．
利用异面直线的定义直接求解．
本题考查异面直线的判断，考查异面直线的定义等基础知识，考查空间思维能力，是基础题．
 

14.【答案】   

【解析】解：因为，
，解得，
故，
为实数，
，解得．
故答案为：；．
根据已知条件，结合复数相等的条件，复数模公式，实数的定义，即可求解．
本题主要考查复数相等的条件，复数模公式，实数的定义，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可知，正八面体是由两个完全相同的正四棱锥组成的，
易知正四棱锥的底面是边长为的正方形，则正四棱锥的高，
故该正八面体的体积为．
故答案为：．
根据题意，正八面体是由两个完全相同的正四棱锥组成的，然后求解正四棱锥的体积即可得到答案．
本题考查了正八面体的体积计算，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，延长交于，

由题意得，为的中点，
因为，所以，，
在中，由余弦定理知，，
在中，由余弦定理知，，
因为，
所以，化简得，
由余弦定理知，．
故答案为：．
连接，延长交于，结合直角三角形的性质与重心的性质，可得，在和中，均利用余弦定理，根据，推出，再利用余弦定理，得解．
本题考查三角形中的几何计算，熟练掌握余弦定理，重心的性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：根据题意，平面内的三点，，，
则，，
又由向量则有，解得．
因为，
所以．
又由，，则；
故向量与的夹角为． 

【解析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得关于的方程，解可得答案；
根据题意，由数量积的计算公式可得，的值，分析可得答案．
本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量平行的判断方法，属于基础题．
 

18.【答案】解：一个四棱锥木块如图所示，点在内，过点将木块锯开，使截面平行于直线和，
如图，过点作，分别交，于点，，

过点作，交于点，过点作，交于点，连接，
截面为四边形，
理由如下：，，，
，，，四点共面，
，平面，平面，平面，
，平面，平面，平面． 

【解析】过点作，分别交，于点，，过点作，交于点，过点作，交于点，连接，然后由线面平行的判定可证得平面，平面．
本题考查了线面平行的应用，属于中档题．
 

19.【答案】解：证明：平面，平面，
，
又，，，平面，
平面，
平面，
平面平面．
四边形为矩形，是棱的中点，，，
，
，
，
． 

【解析】根据题设条件可证得平面，结合面面垂直的判定即可得证；
利用等体积法直接求解即可．
本题考查面面垂直的判定以及三棱锥体积的求法，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：的内角，，的对边分别为，，，且．
由正弦定理，得，
得，
得，
因为，所以，即．
的角平分线交于，且，
因为，
所以．
因为，即当且仅当时，等号成立，
所以故面积的最小值为． 

【解析】由正弦定理，结合两角和与差的三角函数推出，求解即可．
利用三角形的面积通过结合基本不等式推出，然后求解面积的最小值．
本题考查三角形中的几何计算，正弦定理以及基本不等式的应用，是中档题．
 

21.【答案】证明：由题可知为等边三角形，
所以，，在中，由余弦定理得，
所以，所以．
因为，且，所以平面．
因为平面，所以．
因为，且，相交，
所以平面．

解：因为，，，
所以的面积为．
因为为的中点，，，
所以三棱锥的高为，
所以三棱锥的体积为．
在中，，，
所以的面积为．
记到平面的距离为，
则，所以．
因为到平面的距离与到平面的距离相等，
所以到平面的距离为． 

【解析】推导出，，从而平面，，再由，能证明平面．
求出的面积和三棱锥的高，从而求出三棱锥的体积，求出的面积和到平面的距离，到平面的距离与到平面的距离相等，由此能求出到平面的距离．
本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

22.【答案】解：由题意得，为的中点，
因为为的中点，所以为的中位线，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
存在点．
理由如下：
如图，延长，使得
因为，所以，所以．
又平面，平面，
所以平面；
因为，所以，
又平面，平面，
所以平面．
又，平面且，
所以平面平面，
因为平面，所以平面． 

【解析】由三角形的中位线定理和线面平行的判定定理可得证明；
延长，使得由面面平行的判定定理推得平面平面，再由面面平行的性质定理可得结论．
本题考查线面平行、面面平行的判定和性质，考查转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．