泰兴市济川初级中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

泰兴市济川初级中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题

一、选择题

1. 下列图形中，是中心对称图形的是（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 新冠肺炎是传染性极强的疾病，凡是有接触史的人员都需要进行为期14天学医学隔离观察，要掌握某一位被隔离人员在2周内的体温变化情况宜采用（    ）

A. 条形统计图 B. 扇形统计图 C. 频数直方图 D. 折线统计图

3. 下列说法中，正确是（　　）

A. “任意画一个多边形，其内角和360°”是必然事件

B. “在数轴上任取一点，则这点表示数是有理数”是必然事件

C. “从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红心A”是随机事件

D. 可能性是50%的事件，是指在两次试验中一定有一次会发生

4. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（    ）

A. ∠ABD=∠BDC，OA=OC B. ∠ABC=∠ADC，AD∥BC

C. ∠ABC=∠ADC，AB=CD D. ∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB

5. “开开心心”商场2021年1~4月的销售总额如图1，其中商品的销售额占当月销售总额的百分比如图2，根据图中信息，有以下四个结论，推断不合理的是（    ）

A. 1~4月该商场销售总额为290万元

B. 2月份商品的销售额为12万元

C. 1~4月商品销售额占当月销售总额的百分比最低的是4月份

D. 2~4月商品的销售额占当月销售总额的百分比与1月份相比都下降了

6. 小明把一副三角板按如图所示叠放在一起，固定三角板ABC，将另一块三角板DEF绕公共顶点B顺时针旋转（旋转角度不超过180°）．若两块三角板有一边平行，则三角板DEF旋转的度数可能是（    ）

A. 15°或45° B. 15°或45°或90°

C. 45°或90°或135° D. 15°或45°或90°或135°

二、填空题

7. 要使分式有意义，则x应满足条件______．

8. 一枚质地均匀的骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，抛掷这枚骰子，把朝上一面的数是2的倍数的概率记作，朝上一面的数是3的倍数的概率记作，则与的大小关系是_____．

9. 在一个不透明的布袋中装有10个除颜色不同外，其余均相同的小球，小明从中随机摸出一个球，放回摇匀后重复试验了200次，其中摸到白球99次，则可估计袋中白球有______个．

10. 在平行四边形ABCD中，∠A＝3∠B，则∠B的度数是_____．

11. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E、F分别在边BC、AD上，若将ABE沿着射线AD平移后，会与FEC重合，则平移的距离是_____．

12. 如图，将绕点A逆时针旋转55°得到，若且于点F，则______．

13. 如图平行四边形 ABCD 中，AE  BC于E ，AF  DC于 F，BC=5，AB=4，AE=3，则 AF的长为_________．

14. 在□ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=28°，则∠A的度数为_______.

15. 平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点A、B，若点P在△AOB的内部，则的取值范围是___．

16. 如图1，平行四边形纸片的面积为．今沿两对角线将四边形剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（重合）形成一个对称图形戊，如图2所示．则图形戊的两条对角线长度之和为______．

三、解答题

17. 解分式方程：

（1）＝+ 2；

（2）；

18. 化简求值：，其中实数满足．

19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．平面直角坐标系xOy的原点O在格点上，x轴、y轴都在格线上．线段AB的两个端点也在格点上．

（1）若将线段AB绕点O逆时针旋转90°得到线段A1B1，试在图中画出线段A1B1．

（2）若线段A2B2与线段A1B1关于y轴对称，请画出线段A2B2．

（3）若点P是此平面直角坐标系内的一点，当点A、B1、B2、P四边围成的四边形为平行四边形时，请你直接写出点P的坐标．

20. 为了解本校九年级学生体育测试项目“400米跑”的训练情况，体育教师在2019年1-5月份期间，每月随机抽取部分学生进行测试，将测试成绩分为：A，B，C，D四个等级，并绘制如下两幅统计图．根据统计图提供的信息解答下列问题：

（1）______月份测试的学生人数最少，______月份测试的学生中男生、女生人数相等；

（2）求扇形统计图中D等级人数占5月份测试人数的百分比；

（3）若该校2019年5月份九年级在校学生有600名，请你估计出测试成绩是A等级的学生人数．

21. 已知∠MAN，按要求完成下列尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：

（1）如图①，B、C分别在射线AM、ＡN上，求作□ABDC；

（2）如图②，点O是∠MAN内一点，求作线段PQ，使P、Q分别在射线AM、ＡN上，且点O是PQ的中点．

22. 某文具店王老板用240元购进一批笔记本，很快售完；王老板又用600元购进第二批笔记本，所购本数是第一批的2倍，但进价比第一批每本多了2元．

（1）第一批笔记本每本进价多少元？

（2）王老板以每本12元的价格销售第二批笔记本，售出60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批笔记本的销售总利润不少于48元，剩余的笔记本每本售价最低打几折？

23. 如图，△ABC中，D是AB的中点，E是AC上一点，EF∥AB，DF∥BE．

（1）猜想DF与AE的关系；

（2）证明你的猜想.

24. 如图，在ABC中，AB＝AC，在BC上任取一点D，以AB、BD为邻边构造平行四边形ABDE，连接CE．

（1）求证：ABD≌CAE；

（2）当点D在边BC的什么位置时，四边形ADCE是矩形？证明你的结论．

25. 张浩在学习中遇到了这样一个问题：探究函数y＝- |2x-1|+2的性质．此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题．

（1）当x=-1时y＝      ；当y= -1时x＝      ；

（2）在下面网格中描点并正确地画出该函数图象，根据所画的图形可以发现该函数有最      值是      ；

（3）结合函数图像，直接写出不等式的解集      ．

（4）在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点，则该函数图象与直线y＝-1 围成的区域内（不包括边界）整点的个数为　   　．

26. 如图1，在ABC中，BD是AC边上的中线，将DBA绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜180°） 得到DEA（如图2），我们称DEA为DBC的“旋补三角形”．DEA的边EA上的中线DF叫做DBC的“旋补中线”．

（1）在图2，图3，图4中，DEA为DBC的“旋补三角形”，DF是DBC的“旋补中线”．

①如图2，∠BDE+∠CDA＝      °；

②如图3，当DBC为等边三角形时，DF与BC的数量关系为DF＝      BC；

③如图4，当∠BDC＝90°时，BC＝4时，则DF长为      ；

（2）在图2中，当DBC为任意三角形时，猜想DF与BC的关系，并给出证明．

（3）如图5，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2，DA＝6，BE⊥AD，E为垂足．在线段BE上是否存在点P，使PDC是PAB的“旋补三角形”？若存在，请作出点P，不需证明，简要说明你的作图过程．

答案与解析

一、选择题

1. 下列图形中，是中心对称图形的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．

选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．

故选：B．

【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．

2. 新冠肺炎是传染性极强的疾病，凡是有接触史的人员都需要进行为期14天学医学隔离观察，要掌握某一位被隔离人员在2周内的体温变化情况宜采用（    ）

A. 条形统计图 B. 扇形统计图 C. 频数直方图 D. 折线统计图

【答案】D

【解析】

【分析】根据各个统计图的特点以及实际情况选择即可．

【详解】解：根据题意，得：

要掌握某一位被隔离人员在2周内的体温变化情况宜采用折线统计图，

故选D．

【点睛】此题考查扇形统计图、折线统计图、条形统计图和频数直方图，解题的关键是掌握各自的特点．

3. 下列说法中，正确的是（　　）

A. “任意画一个多边形，其内角和是360°”是必然事件

B. “在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数”是必然事件

C. “从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红心A”是随机事件

D. 可能性是50%的事件，是指在两次试验中一定有一次会发生

【答案】C

【解析】

【分析】根据必然事件与随机事件的概念逐一判断即可．

【详解】解：．“任意画一个多边形，其内角和不一定是”是随机事件，故不正确；

．“在数轴上任取一点，则这点表示的数可能是有理数，也可能是无理数”是随机事件，故不正确；

．“从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红心”是随机事件，说法正确；

．可能性是的事件，是指在多次试验中一定有一次会发生，故原说法错误．

故选：C．

【点睛】本题考查的是概率的意义，解题的关键是：即一般地，在大量重复实验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件的概率，记为（A）．

4. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（    ）

A. ∠ABD=∠BDC，OA=OC B. ∠ABC=∠ADC，AD∥BC

C. ∠ABC=∠ADC，AB=CD D. ∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB

【答案】C

【解析】

【分析】利用所给条件结合平行四边形的判定方法进行分析即可．

【详解】解：∵∠ABD=∠BDC，OA=OC，

又∠AOB=∠COD，

∴△AOB≌△COD（AAS），

∴DO=BO，

∴四边形ABCD是平行四边形，故A选项不合题意；

∵AD∥BC，

∴∠ABC+∠BAD=180°，

∵∠ABC=∠ADC，

∴∠ADC+∠BAD=180°，

∴AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，故B选项不合题意；

∵∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB，

∴∠ADB=∠CBD，

∴AD∥CB，

∵∠ABD=∠BDC，

∴AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，故D选项不合题意；

C、∠ABC=∠ADC，AB=CD不能判断四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；

故选：C．

【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．

5. “开开心心”商场2021年1~4月的销售总额如图1，其中商品的销售额占当月销售总额的百分比如图2，根据图中信息，有以下四个结论，推断不合理的是（    ）

A. 1~4月该商场销售总额为290万元

B. 2月份商品的销售额为12万元

C. 1~4月商品的销售额占当月销售总额的百分比最低的是4月份

D. 2~4月商品的销售额占当月销售总额的百分比与1月份相比都下降了

【答案】C

【解析】

【分析】根据条形统计图中的数据，可以计算出从1月到4月，电子产品销售总额，从而可以判断A选项；根据条形统计图中的数据和折线统计图中的数据，可以计算出2月份的销售额，从而可以判断B选项；根据形统计图中的数据和折线统计图中的数据，可以分别计算1月到4月，每个月的销售额，从而可以C和D选项．

【详解】解：由题意可得，

从1月到4月，销售总额为：85+80+60+65=290（万元），故选项A不符合题意；

80×15%=12万元，故选项B不符合题意；

A商品的销售额占当月销售总额的百分比最低的是2月份，故选项C错误，符合题意；

2月的销售额占当月电子产品销售总额的百分比为15%，3月的销售额占当月电子产品销售总额的百分比为18%；4月的销售额占当月电子产品销售总额的百分比为17%，所以，2月至4月的销售额占当月电子产品销售总额的百分比与1月份相比都下降了，故选项D不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查条形统计图、折线统计图，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．

6. 小明把一副三角板按如图所示叠放在一起，固定三角板ABC，将另一块三角板DEF绕公共顶点B顺时针旋转（旋转角度不超过180°）．若两块三角板有一边平行，则三角板DEF旋转的度数可能是（    ）

A. 15°或45° B. 15°或45°或90°

C. 45°或90°或135° D. 15°或45°或90°或135°

【答案】D

【解析】

【分析】分四种情况讨论，由平行线的性质和旋转的性质可求解．

【详解】解：设旋转的度数为α，

若DE∥AB，则∠E=∠ABE=90°，

∴α=90°-30°-45°=15°，

若BE∥AC，则∠ABE=180°-∠A=120°，

∴α=120°-30°-45°=45°，

若BD∥AC，则∠ACB=∠CBD=90°，

∴α=90°，

当点C，点B，点E共线时，

∵∠ACB=∠DEB=90°，

∴AC∥DE，

∴α=180°-45°=135°，

综上三角板DEF旋转的度数可能是15°或45°或90°或135°．

故选：D

【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．

二、填空题

7. 要使分式有意义，则x应满足条件______．

【答案】x≠3

【解析】

【分析】直接利用分式有意义则分母不等于零，进而得出答案．

【详解】解：∵分式有意义，

∴x﹣3≠0，

解得：x≠3．

故答案为：x≠3．

【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键在于能够熟练掌握分式有意义的条件是分母不为0．

8. 一枚质地均匀的骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，抛掷这枚骰子，把朝上一面的数是2的倍数的概率记作，朝上一面的数是3的倍数的概率记作，则与的大小关系是_____．

【答案】

【解析】

【分析】直接利用概率公式求出与的值，进而得出答案．

【详解】解：∵数是2的倍数为2，4，6； 数是3的倍数为3，6，

∴抛到数是2的倍数的概率，

抛到数是3的倍数的概率，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了概率公式的应用，熟练利用概率公式求出是解题关键．

9. 在一个不透明的布袋中装有10个除颜色不同外，其余均相同的小球，小明从中随机摸出一个球，放回摇匀后重复试验了200次，其中摸到白球99次，则可估计袋中白球有______个．

【答案】5

【解析】

【分析】根据频率和频数之间的关系，求出摸到白球的频率，再利用白球的个数=总球数×摸到白球的频率，计算即可．

【详解】∵摸到白球的频率，

∴白球的个数约为（个）．

故答案为：5．

【点睛】本题考查用频率估计概率，在大量反复的试验下，频率的稳定值即概率．求出摸到白球的频率是解答本题的关键．

10. 在平行四边形ABCD中，∠A＝3∠B，则∠B的度数是_____．

【答案】##45度

【解析】

【分析】先根据平行四边形的性质得出∠A＋∠B＝180°，再根据∠A＝3∠B，可求出∠B的度数．

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，

∴∠A＋∠B＝180°，

∵∠A＝3∠B，

∴4∠B＝180°，

∴∠B＝45°，

故答案为：45°．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．

11. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E、F分别在边BC、AD上，若将ABE沿着射线AD平移后，会与FEC重合，则平移的距离是_____．

【答案】

【解析】

【分析】由平移性质得知：BE=EC，即可知道平移的距离．

【详解】解：∵△ABE沿着射线AD平移后，会与△FEC重合，BC=n，

∴BE=EC==，

∴平移的距离为．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了平移的性质，清楚对应点平移距离相等是解题的关键．

12. 如图，将绕点A逆时针旋转55°得到，若且于点F，则______．

【答案】75°

【解析】

【分析】由旋转的性质可得∠BAD＝55°，∠E＝∠ACB＝70°，由直角三角形的性质可得∠DAC＝20°，由此即可求解．

【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转55°得，，

∴∠BAD＝55°，∠E＝∠ACB＝70°，

∵AD⊥BC，

∴∠AFC＝90°，

∴∠DAC＝90°－∠ACB＝20°，

∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝75°．

故答案为：75°．

【点睛】本题考查了旋转的性质以及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握旋转的性质是解决本题的关键．

13. 如图平行四边形 ABCD 中，AE  BC于E ，AF  DC于 F，BC=5，AB=4，AE=3，则 AF的长为_________．

【答案】

【解析】

【分析】根据平行四边形的面积底高，结合已知条件，代入数据计算即可．

【详解】解：四边形是平行四边形，AB=4，

∴，

∵AE  BC，AF  DC，

∴AE和AF为平行四边形ABCD的高

∴，

∵AE=3，BC=5，

∴，

∴

故答案为：．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质,利用了“等面积法”是解题的关键．

14. 在□ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=28°，则∠A的度数为_______.

【答案】59°或31°

【解析】

【分析】分析题意，首先根据已知作出图，由于△ABD的形状不确定，故需分类讨论：

当E点在线段AD上时，首先求出∠ADB的度数，再利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，得出∠A的度数；

当E点在AD延长线上时，结合已知可先求出∠BDE的度数，然后根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质进行求解即可

【详解】情况一：当E点在线段AD上时，如图所示：

∵BE是AD边上的高，∠EBD=28°，

∴∠ADB=90°-28°=62°.

∵AD=BD，

∴∠A=∠ABD=(180°-62°)÷2=59°.

情况二：当E点在AD的延长线上时，如图所示：

∵BE是AD边上的高，∠EBD=28°，

∴∠BDE=62°，

∵AD=BD，

∴∠A=∠ABD=∠BDE=×62°=31°.

综上可知，∠A的度数为59° 或31°.

故答案为59° 或31°.

【点睛】本题考查平行四边形的性质，分情况讨论是解题的关键.

15. 平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点A、B，若点P在△AOB的内部，则的取值范围是___．

【答案】

【解析】

分析】根据题意得出0< m + 1 < 6，0<m-1 <3，m-1<-(m+1)+3，解不等式组即可求得．

【详解】函数，

由题意A(6,0)，B(0,3)，

如图，

点P在△AOB的内部，

点P横坐标在0和6之间，纵坐标在0和3之间，并且位于直线的下方，

，

解得1<m<，

故答案为：1<m<．

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，涉及一元一次不等式组的求解，难度一般，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．

16. 如图1，平行四边形纸片的面积为．今沿两对角线将四边形剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（重合）形成一个对称图形戊，如图2所示．则图形戊的两条对角线长度之和为______．

【答案】23

【解析】

【分析】由题意可得对角线EF⊥AD，且EF与平行四边形的高相等，进而利用面积与边的关系求出BC边的高即可．

【详解】解：如图，连接AD、EF，

则可得对角线EF⊥AD，且EF与平行四边形的高相等．

∵平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD=15，

∴BC=AD=15，EF×AD=×120，

∴EF=8，

又BC=15，

∴则图形戊中的四边形两对角线之和为15+8=23，

故答案为：23．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及图形的对称问题，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．

三、解答题

17. 解分式方程：

（1）＝+ 2；

（2）；

【答案】（1）   

（2）无解

【解析】

【分析】（1）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．

【小问1详解】

解：＝+ 2，

方程两边都乘以，得

，

解得，

检验，当时，，

∴是方程的解，

即原方程的解是；

【小问2详解】

解：，

方程两边都乘，得

，

解得，

检验，当时，，

∴是方程的增根，

即原方程无解．

【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．分式方程一定要检验．

18. 化简求值：，其中实数满足．

【答案】，

【解析】

【分析】首先把除法转化为乘法，计算乘法，然后进行通分相减即可化简，根据已知可以得到a2+2a+1=16，，代入化简以后的式子即可求解．

【详解】解：原式=﹣•

=﹣

=

=．

∵a2+2a-15=0，

∴a2+2a+1=16，

∴原式===；

∴分式的的值为．

【点睛】本题综合考查了分式的化简与整体代入的思想．解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式，将已知量与未知量联系起来．

19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．平面直角坐标系xOy的原点O在格点上，x轴、y轴都在格线上．线段AB的两个端点也在格点上．

（1）若将线段AB绕点O逆时针旋转90°得到线段A1B1，试在图中画出线段A1B1．

（2）若线段A2B2与线段A1B1关于y轴对称，请画出线段A2B2．

（3）若点P是此平面直角坐标系内的一点，当点A、B1、B2、P四边围成的四边形为平行四边形时，请你直接写出点P的坐标．

【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）点P的坐标为（﹣4，﹣1）或（4，﹣1）或（0，5）.

【解析】

【分析】（1）本题根据旋转分别画出点A点B的对应点，连接对应点即可；（2）根据要求画出点A1、B1关于y轴对称点A2、B2即可；（3）本题考查的是已知三点求平行四边形，连接A B1、B1 B2、A B2，分别过点A、B1、B2作对边的平行线，三条平行线的交点即为点P的位置.

【详解】（1）如图，线段A1B1为所作；

（2）如图，线段A2B2为所作；

（3）点P的坐标为（﹣4，﹣1）或（4，﹣1）或（0，5）．

20. 为了解本校九年级学生体育测试项目“400米跑”的训练情况，体育教师在2019年1-5月份期间，每月随机抽取部分学生进行测试，将测试成绩分为：A，B，C，D四个等级，并绘制如下两幅统计图．根据统计图提供的信息解答下列问题：

（1）______月份测试的学生人数最少，______月份测试的学生中男生、女生人数相等；

（2）求扇形统计图中D等级人数占5月份测试人数的百分比；

（3）若该校2019年5月份九年级在校学生有600名，请你估计出测试成绩是A等级的学生人数．

【答案】（1）1，4；（2）D等级人数占5月份测试人数的百分比是15%；（3）该校5月份测试成绩是A等级的学生人数约为150名．

【解析】

【分析】（1）直接由折线统计图获取答案即可；

（2）先根据C等级人数的圆心角是72°，求出C等级人数占5月份测试人数的百分比，即可求出D等级人数占5月份测试人数的百分比；

（3）用成绩A等级的学生人数所占的百分比乘以600即可．

【详解】（1）由折线统计图可得1月份测试的学生人数最少，4月份测试的学生中男生、女生人数相等，

故答案为：1，4；

（2），

，

答：D等级人数占5月份测试人数的百分比是15%；

（3）由样本可知，成绩A等级的学生人数所占的百分比为25%，

可估计：（名），

答：该校5月份测试成绩是A等级的学生人数约为150名．

【点睛】本题考查了用样本估计总体，扇形统计图，由图表获取准确信息是解题关键．

21. 已知∠MAN，按要求完成下列尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：

（1）如图①，B、C分别射线AM、ＡN上，求作□ABDC；

（2）如图②，点O是∠MAN内一点，求作线段PQ，使P、Q分别在射线AM、ＡN上，且点O是PQ的中点．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析

【解析】

【分析】（1）分别以B、C点为圆心，以AC、AB为半径画弧．两弧相交于点D，则四边形ABDC满足条件；

（2）连接AO，延长AO到G使OG＝AO，再作∠PGA＝∠OAN交AM于P，连接PO并延长交AN于Q，则PQ满足条件．

【详解】（1）如图①，四边形ABDC即为所求；

（2）如图②，线段PQ即为所求.

【点睛】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质．

22. 某文具店王老板用240元购进一批笔记本，很快售完；王老板又用600元购进第二批笔记本，所购本数是第一批的2倍，但进价比第一批每本多了2元．

（1）第一批笔记本每本进价多少元？

（2）王老板以每本12元的价格销售第二批笔记本，售出60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批笔记本的销售总利润不少于48元，剩余的笔记本每本售价最低打几折？

【答案】（1）第一批笔记本每本进价为8元；（2）剩余的笔记本每本最低打七五折．

【解析】

【分析】（1）设第一批笔记本每本进价为元，则第二批每本进价为元，则第一批购进本，第二批购进本，结合第二批的数量等于第一批的2倍，列方程，解方程即可；

（2）由（1）得第二批购进60本，设剩余的笔记本每本最低打折，由第二批笔记本的销售总利润不少于48元，列不等式，再解不等式可得答案.

【详解】解：（1）设第一批笔记本每本进价为元，则第二批每本进价为元

由题意得：

解之得：

经检验为原方程的解

答：第一批笔记本每本进价为8元．

（2）设剩余的笔记本每本最低打折，而第二批购进本，

由题意得：

解之得：

答：剩余的笔记本每本最低打七五折

【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟悉购买数量等于购买总金额除以单价，每本笔记本的利润乘以销售的数量等于总利润是解本题的关键.

23. 如图，△ABC中，D是AB的中点，E是AC上一点，EF∥AB，DF∥BE．

（1）猜想DF与AE的关系；

（2）证明你的猜想.

【答案】（1）DF与AE互相平分；（2）见解析.

【解析】

【分析】（1）DF与AE互相平分；

（2）由已知可得四边形BDFE是平行四边形，从而可得BD=EF，由中点的定义可得AD=BD，再根据平行线的性质即可得到∠ADO=∠EFO，∠DAO=∠FEO，从而可利用ASA判定△ADO≌△EFO，根据全等三角形的对应边相等即可得到OD=OF，OA=OE，即得到AE与DF互相平分，或连接AF、DE，然后证明四边形DEFA是平行四边形，再根据平行四边形的对角线互相平分证明.

【详解】（1）DF与AE互相平分

（2）如图：连接AF、DE

∵EF∥AB，DF∥BE，

∴四边形BDFE是平行四边形，

∴BD=EF，

∵D是AB的中点，

∴AD=BD，

∴EF=AD，

∵EF∥AB，

∴∠ADO=∠EFO，∠DAO=∠FEO，

在△ADO和△EFO中，

  ，

∴△ADO≌△EFO，

∴OD=OF，OA=OE，

即AE与DF互相平分

【点睛】此题主要考查平行四边形的判定及性质和全等三角形的判定及性质的综合运用，解题关键是正确运用性质和判定.

24. 如图，在ABC中，AB＝AC，在BC上任取一点D，以AB、BD为邻边构造平行四边形ABDE，连接CE．

（1）求证：ABD≌CAE；

（2）当点D在边BC的什么位置时，四边形ADCE是矩形？证明你的结论．

【答案】（1）见解析；（2）点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形，见解析

【解析】

【分析】（1）根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质得到∠B＝∠EAC，AE＝BD，再根据全等三角形的判定定理即可证明；

（2）根据平行四边形性质推出AE＝BD＝CD，AE∥CD，得出平行四边形，根据AC＝DE推出即可．

【详解】（1）证明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB，

∵四边形ABDE是平行四边形，

∴AE＝BD，AE∥BC，

∴∠EAC＝∠ACB，

∴∠B＝∠EAC，

在△ABD和△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE（SAS）．

（2）答：点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形，

证明：∵四边形ABDE是平行四边形，

∴AE＝BD，AE∥BC，AB＝ED，

∵D为边长BC的中点，

∴BD＝CD，

∴AE＝CD，AE∥CD，

∴四边形ADCE是平行四边形，

∵AB＝AC，

∴ED＝AC，

∴四边形ADCE是矩形，

即点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，矩形的判定，解题关键是熟练掌握相关性质和判定，利用全等三角形的判定与性质进行推理证明．

25. 张浩在学习中遇到了这样一个问题：探究函数y＝- |2x-1|+2的性质．此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题．

（1）当x=-1时y＝      ；当y= -1时x＝      ；

（2）在下面网格中描点并正确地画出该函数图象，根据所画的图形可以发现该函数有最      值是      ；

（3）结合函数图像，直接写出不等式的解集      ．

（4）在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点，则该函数图象与直线y＝-1 围成的区域内（不包括边界）整点的个数为　   　．

【答案】（1）-1；-1或2   

（2）大；2    （3）x≥2   

（4）2

【解析】

【分析】（1）把x=-1代入函数解析式，即可求出y；令y=-1，根据等式的基本性质可求出x的值；

（2）在图中画出该函数图象，观察图形即可得出结论；

（3）对不等式进行变形，再画出函数图象，结合图象可得出结论；

（4）根据图象可直接得出结论．

【小问1详解】

解：当x=-1时，y=-|2×（-1）-1|+2=-3+2=-1；

当y=-1时，y=-|2x-1|+2=-1，

∴|2x-1|=3，解得x=-1或x=2．

故答案为：-1；-1或2；

【小问2详解】

解∶ 函数图象如下图所示：

，

由图象可知，函数有最大值，且最大值为2．

故答案为：大；2．

【小问3详解】

解∶ 不等式可变形为：，

即，

画出函数的图象如下图所示，

由图象可知，的解集为：x≥2；故答案为：x≥2；

【小问4详解】

解∶ 画出直线y=-1，根据整点的定义可知，有两个整点，分别为（0，1）和（1，0）．

，

故答案为：2．

【点睛】本题考查了一次函数的性质，数形结合思想等知识；画出函数图象并从图象中获取信息是解题的关键．

26. 如图1，在ABC中，BD是AC边上的中线，将DBA绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜180°） 得到DEA（如图2），我们称DEA为DBC的“旋补三角形”．DEA的边EA上的中线DF叫做DBC的“旋补中线”．

（1）在图2，图3，图4中，DEA为DBC的“旋补三角形”，DF是DBC的“旋补中线”．

①如图2，∠BDE+∠CDA＝      °；

②如图3，当DBC为等边三角形时，DF与BC的数量关系为DF＝      BC；

③如图4，当∠BDC＝90°时，BC＝4时，则DF长为      ；

（2）在图2中，当DBC为任意三角形时，猜想DF与BC的关系，并给出证明．

（3）如图5，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2，DA＝6，BE⊥AD，E为垂足．在线段BE上是否存在点P，使PDC是PAB的“旋补三角形”？若存在，请作出点P，不需证明，简要说明你的作图过程．

【答案】（1）①180；②；③2   

（2）；证明见解析   

（3）存在．见解析

【解析】

【分析】（1）①依据，可得；②当为等边三角形时，可得是等腰三角形，，，再根据，即可得到中，，进而得出；③当时，时，易得，即可得到中，；

（2）延长至，使得，连接，，判定四边形是平行四边形，进而得到，再判定，即可得到，进而得出；

（3）延长，，交于点，作线段的垂直平分线，交于，交于，连接、、，由定义知当，且时，是的“旋补三角形”，据此进行证明即可．

【小问1详解】

解：①∵∠ADE＋∠BDC＝180°，

∴∠BDE＋∠CDA＝180°，

故答案为：180；

②当△DBC为等边三角形时，BC＝DB＝DE＝DC＝DA，∠BDC＝60°，

∴△ADE是等腰三角形，∠ADE＝120°，∠E＝30°，

又∵DF是△ADE的中线，

∴DF⊥AE，

∴Rt△DEF中，DF＝DE，

∴DF＝BC，

故答案为：；

③∵BD是AC边上的中线，

∴，

∵∠BDC＝90°，

∴ ，

在△ADE和△CDB 中，

，

∴△ADE≌△CDB，

∴AE＝BC＝4，

∴Rt△ADE中，DF＝AE＝2，

故答案为：2；

【小问2详解】

猜想：DF＝AE．

证明：如图2，延长DF至G，使得FG＝DF，连接EG，AG，

∵EF＝FA，FG＝DF，

∴四边形AGED是平行四边形，

∴，GE＝AD＝CD，

∴∠GED＋∠ADE＝180°，

又∵∠BDC＋∠ADE＝180°，

∴∠BDC＝∠DEG，

在△GED和△CDB中，

，

∴△DGE≌△CDB（SAS），

∴BC＝DG，

∴DF＝DG＝BC；

【小问3详解】

存在．

理由：如图5，延长AD，BC，交于点F，作线段BC的垂直平分线PG，交BE于P，交BC于G，连接PA、PD、PC，

由定义知当PA＝PD，PB＝PC，且∠DPA＋∠CPB＝180°时，△PDC是△PAB的“旋补三角形”，

∵∠ADC＝150°，

∴∠FDC＝30°，

在Rt△DCF中，

∵CD＝2，∠DCF＝90°，∠FDC＝30°，

∴CF＝2，DF＝4，∠F＝60°，
在Rt△BEF中，

∵∠BEF＝90°，BF＝14，∠FBE＝30°，

∴EF＝BF＝7，

∴DE＝EF−DF＝3，

∵AD＝6，

∴AE＝DE，

又∵BE⊥AD，

∴PA＝PD，PB＝PC，

在Rt△BPG中，

∵BG＝BC＝6，∠PBG＝30°，

∴PG＝2，

∴PG＝CD，

又∵，∠PGC＝90°，

∴四边形CDPG是矩形，

∴∠DPG＝90°，

∴∠DPE＋∠BPG＝90°，

∴2∠DPE＋2∠BPG＝90°，即∠DPA＋∠BPC＝180°，

∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”．

【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、含30°角直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识的综合运用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．