南京市鼓楼区南京师范大学附属中学树人学校2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

这是一份南京市鼓楼区南京师范大学附属中学树人学校2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转90°后，能与原图形完全重合的是（）
A. B. C. D.
2. 为了考查一批日光灯管的使用寿命，从中抽取了30只进行试验，在这个问题中，下列说法正确的有（ ）
①总体是指这批日光灯管的全体；
②个体是指每只日光灯管的使用寿命；
③样本是指从中抽取的30只日光灯管的使用寿命；
④样本容量是30只．
A 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3. 某校图书管理员清理课外书籍时，将其中甲、乙、丙三类书籍的有关数据制成如图不完整的统计图，已知乙类书有90本，则丙类书的本数是（）
A. 80B. 90C. 144D. 200
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝65°，CD⊥AB，垂足为D，E是BC的中点，连接ED，则∠DEC的度数是（ ）
A. 50°B. 40°C. 30°D. 25°
5. 如图，在四边形中，对角线相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD最大值是（）
A. 5B. C. 7D. 7
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答．题．纸．相．应．位．置．上）
7. 已知一组数据有60个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是5，10，6，7，第五组的频率是0.2，故第六组的频数是 ______．
8. 某种油菜籽在相同条件下发芽试验结果如表：
那么这种油菜籽发芽的概率是________（结果精确到）．
9. 如图，在等边△ABC中，AC=10，点O在AC上，且AO=4，点P是AB上一动点，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋 转60º得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是________．
10. 用反证法证明：“多边形中最多有三个锐角”的第一步是：假设_________
11. 在数学活动课上，小派运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出100粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出100粒豆子，发现其中16粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为______粒．
12. 如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若，，则阴影部分的面积为_______
13. 矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝_______．
14. 如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴，AD=4，∠A=60°．将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是_____________．
15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在AB边上，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，连接EF，则线段EF的最小值等于__．
16. 在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2），直线y＝4x+1以每秒2个单位的速度向下平移，经过__秒该直线可将平行四边形OABC的面积分为1：3两部分．
三、解答题（本大题共9小题，共68分.请在答．题．纸．指．定．区．域．内作答，解答时应写全过程）
17. 勤劳是中华民族的传统美德，学校要求学生在家帮助父母做一些力所能及的家务．在学期初，小丽同学随机调查了七年级部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x小时，将做家务的总时间分为五个类别：A（0≤x＜10），B（10≤x＜20），C（20≤x＜30），D（30≤x＜40），E（x≥40）．并将调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；
（2）根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
（3）扇形统计图中m＝ ，类别D所对应的扇形圆心角α的度数是 度；
（4）若从七年级随机抽取一名学生，估计这名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时的概率．
18. 中秋节来临之际，小鹿家的蛋糕店开始出售月饼，于是制作了四个边长为50cm的正方形．广告牌准备挂在门店上，分别写着“中秋快乐”四个字，其中一个写着“秋”字的广告牌如图①．在将广告牌挂上去之前，小鹿想知道上面的“秋”字的面积是多大，但由于字体不规则无法直接测量，所以小鹿用如下的方法来估算“秋”字的面积：将一把黄豆随机撒在广告牌上，计算出在“秋”字区域内的黄豆颗数所占总颗数的频率，进而估算出“秋”字的面积占整个广告牌的比例，从而计算出面积．小鹿一共试验了10次，她将每一次得到的频率结果绘制成如图②所示的折线统计图．
（1）一粒黄豆落在“秋”字区域是 （填“随机事件”“必然事件”“不可能事件”）；
（2）通过统计图估计黄豆落在“秋”字区域的概率为 （精确到0.1）；
（3）请估计广告牌中“秋”字的面积．
19. 如图，△ABC顶点坐标分别为A（4，5），B（2，2），C（5，2）．
（1）将△ABC绕点（0，1）顺时针旋转180°，请画出旋转后的△A1B1C1；
（2）将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A对应点A2坐标为（1，﹣2），请画出平移后的△A2B2C2，若△ABC内部一点P的坐标为（a，b），则点P的对应点P2的坐标是 ；
（3）将△A1B1C1绕某一点M旋转可得到△A2B2C2，请画出点M的位置（保留痕迹），并直接写出点M的坐标．
20. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：
（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形AECF是平行四边形．
21. 如图，等腰ABC中，，交BC于D点，E点是AB的中点，分别过D，E两点作线段AC的垂线，垂足分别为G，F两点．
（1）求证：四边形DEFG为矩形；
（2）若，，求CG的长．
22. 已知直线及外一点，分别按下列要求写出画法，并保留两图痕迹．
（1）在图1中，只用圆规在直线上画出两点，使得点是一个等腰三角形的三个顶点；
（2）在图2中，只用圆规在直线外画出一点，使得点所在直线与直线平行．
23. 如图，四边形ABCD中，已知AB=CD，点E、F分别为AD、BC的中点，延长BA、CD，分别交射线FE于P、Q两点．求证：∠BPF=∠CQF．
24. 在中，点D是边AB上的一个动点，连接CD．作， ，连接ED．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当D是AB的中点时，
①四边形ADCE的形状是______；请说明理由．
②若，，则四边形ADCE的面积为______．
25. 四边形 ABCD 为正方形，点 E 为线段 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 EF ⊥DE，交射线 BC 于点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG．
（1）如图，求证：矩形 DEFG 正方形；
（2）若 AB＝，CE＝2，求 CG 的长；
（3）当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 40°时，直接写出∠EFC 的度数．
每批粒数
发芽的频数
发芽的频率
答案与解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答．题．纸．相．应．位．置．上）
1. 下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转90°后，能与原图形完全重合的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】观察图形，从图形的性质可以确定旋转角，然后进行判断即可得到答案．
【详解】解：A图形顺时针旋转72°后，能与原图形完全重合，故不符合题意；
B图形顺时针旋转90°后，能与原图形完全重合，故符合题意；
C图形顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合，故不符合题意；
D图形顺时针旋转60°后，能与原图形完全重合，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了旋转对称图形的旋转角．解题的关键在于熟练掌握旋转对称图形的定义即把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转角度叫做旋转角．
2. 为了考查一批日光灯管的使用寿命，从中抽取了30只进行试验，在这个问题中，下列说法正确的有（ ）
①总体是指这批日光灯管的全体；
②个体是指每只日光灯管的使用寿命；
③样本是指从中抽取的30只日光灯管的使用寿命；
④样本容量是30只．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的对象是一批灯管的使用寿命，总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体．样本的容量指的是样本中的数目，没有单位，根据以上概念即可作出判断即可．
【详解】解：总体是指这批日光灯管的使用寿命，故①不符合题意；
个体是指每只日光灯管的使用寿命，故②符合题意；
样本是指从中抽取的30只日光灯管的使用寿命，故③符合题意；
样本容量是30，没有单位，故④不符合题意．
综上：符合题意的有个，
故选：
【点睛】本题考查的是总体，个体，样本，样本的容量的概念，掌握以上概念是解题的关键.
3. 某校图书管理员清理课外书籍时，将其中甲、乙、丙三类书籍的有关数据制成如图不完整的统计图，已知乙类书有90本，则丙类书的本数是（）
A. 80B. 90C. 144D. 200
【答案】A
【解析】
【分析】根据乙类书籍有90本，占总数的45%，即可求得总书籍数．丙类所占的比例是1-15%-45%所占的比例乘以总数即可求得丙类书的本数．
【详解】解：总数是：90÷45% = 200(本)，
丙类书本数是：200×(1－15%－45%)=200×40%= 80(本)．
故选：A．
【点睛】本题考查了扇形统计图，从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系，正确求得总书籍数是关键．
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝65°，CD⊥AB，垂足为D，E是BC的中点，连接ED，则∠DEC的度数是（ ）
A. 50°B. 40°C. 30°D. 25°
【答案】A
【解析】
【分析】先根据直角三角形中两锐角互余求出，然后在Rt△CDB中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而得到，再由外角定理即可求解．
【详解】解：∵在中，，，，
，点E是的中点，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的外角定理等知识点，熟练掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
5. 如图，在四边形中，对角线相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别利用平行四边形的判定方法和全等三角形的判定与性质进行判断，即可得出结论．
【详解】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、∵AB∥DC，
∴∠DAB+∠ADC=180°，
∵∠DAB=∠DCB，
∴∠DCB+∠ADC=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、∵AO=CO，AB=DC，∠AOB=∠COD，不能判定△AOB≌△COD，
∴不能得到∠OAB=∠OCD，
∴不能得到AB∥CD，
∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、∵AB∥DC，
∴∠OAB=∠OCD，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴AB=DC，
又∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质等知识，解题的关键是正确把握平行四边形的判定．
6. 如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（）
A. 5B. C. 7D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】如图，将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM，由旋转的性质可得△ADM是等腰直角三角形，根据勾股定理推出AD=AM，可知当AM的值最大时，AD的值最大，利用三角形的三边关系求出AM的最大值，即可解决问题．
【详解】解：如图，将绕点D顺时针旋转90°得到
由旋转的性质可知：，，
∴是等腰直角三角形，
∴根据勾股定理，
∴，
∴当值最大时，的值最大，
∵，，
∴，
∴的最大值为，
∴的最大值为，
故选C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理以及两点之间线段最短．解题的关键在于根据旋转的性质构造等腰直角三角形．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答．题．纸．相．应．位．置．上）
7. 已知一组数据有60个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是5，10，6，7，第五组的频率是0.2，故第六组的频数是 ______．
【答案】20
【解析】
【分析】根据频率=频数÷总数，以及第五组的频率是0.2，可以求得第五组的频数；再根据各组的频率和等于1，求得第六组的频数．
【详解】解：根据第五组的频率是0.2，其频数是60×0.2=12；
则第六组的频数是60（10+5+7+6+12）=20．
故答案为：20
【点睛】本题是对频率=频数÷总数这一公式的灵活运用的综合考查，注意：各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1．
8. 某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如表：
那么这种油菜籽发芽的概率是________（结果精确到）．
【答案】
【解析】
【分析】根据表格求得频率的平均数，结合频率估计概率的知识即可得解.
【详解】油菜籽发芽的频率的平均数为：≈0.95.
故答案为0.95.
【点睛】本题考查利用频率估计概率，从表格中的数据确定出这种油菜籽发芽的频率是解此题的关键.
9. 如图，在等边△ABC中，AC=10，点O在AC上，且AO=4，点P是AB上一动点，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋 转60º得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据三角形的外角性质可得∠APO=∠COD，进而可以证明△APO≌△COD，进而可以证明AP=CO，即可解题．
【详解】∵∠A+∠APO=∠POD+∠COD，∠A=∠POD=60°，
∴∠APO=∠COD，
在△APO和△COD中，
，
∴△APO≌△COD（AAS），
即AP=CO，
∵CO=AC-AO=6，
∴AP=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，三角形的外角性质，全等三角形的判定和性质，本题中求证△APO≌△COD是解题的关键．
10. 用反证法证明：“多边形中最多有三个锐角”的第一步是：假设_________
【答案】至少有四个角是锐角
【解析】
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【详解】解：根据反证法第一步：假设结论不成立，则有
假设多边形的内角中至少有四个角是锐角．
故答案为：至少有四个角是锐角．
【点睛】反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．此命题中，只要证明有4个锐角是错误的即可说明多边形的内角中锐角的个数最多是3个．
11. 在数学活动课上，小派运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出100粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出100粒豆子，发现其中16粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为______粒．
【答案】625
【解析】
【分析】设瓶子中有豆子x粒，根据去除100粒刚好有记号的16粒列出算式，再进行计算即可．
【详解】设瓶子中有豆子x粒，根据题意得：
，
解得x=625粒，
即估计瓶子中的豆子数量约为625粒，
故答案为：625．
【点睛】本题考查用样本估计总体．根据样本和总体的关系，列方程进行计算即可．
12. 如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若，，则阴影部分的面积为_______
【答案】44cm2
【解析】
【分析】如图，连接EF，由题意知与同底等高，有，可知，可知，同理可得，根据计算求解即可．
【详解】解：如图，连接EF，
∵与同底等高，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线间垂线段相等，平行四边形的性质，等面积法．解题的关键在于根据同底等高表示出三角形的面积．
13. 矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝_______．
【答案】
【解析】
【分析】延长GH交AD于M点，由矩形的性质得出CD=CE=FG=1，BC=EF=CG=3，BE∥AD∥FG，推出DG=CG-CD=2，∠HAM=∠HFG，由ASA证得△AMH≌△FGH，得出AM=FG=1，MH=GH，则MD=AD-AM=2，在Rt△MDG中，根据勾股定理得到GM，即可得出结果．
【详解】解：延长GH交AD于M点，如图所示：
∵四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形，
∴CD=CE=FG=1，BC=EF=CG=3，BE∥AD∥FG，
∴DG=CGCD=3-1=2，∠HAM=∠HFG，
∵AF的中点H，
∴AH=FH，
△AMH和△FGH中，
，
∴△AMH≌△FGH（ASA）．
∴AM=FG=1，MH=GH，
∴MD=AD-AM=31=2，
在Rt△MDG中，GM=，
∴GH=GM=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
14. 如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴，AD=4，∠A=60°．将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是_____________．
【答案】或##或
【解析】
【分析】分当D落在x轴正半轴时和当D落在x轴负半轴时，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：如图1所示，当D落在x轴正半轴时，
∵O是菱形ABCD对角线BD的中点，
∴AO⊥DO，
∴当D落在x轴正半轴时，A点在y轴正半轴，
∴同理可得A、B、C三点均在坐标轴上，且点C在y轴负半轴，
∵∠BAD=60°，
∴∠OAD=30°，
∴，
∴，
∴点C的坐标为（0，）；
如图2所示，当D落在x轴负半轴时，
同理可得，
∴点C的坐标为（0，）；
∴综上所述，点C的坐标为（0，）或（0，），
故答案为：（0，）或（0，）．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在AB边上，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，连接EF，则线段EF的最小值等于__．
【答案】48####
【解析】
【分析】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【详解】解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
∵S△ABC＝BC•AC＝AB•CD，
∴×8×6＝×10×CD，
解得CD＝4.8，
∴EF＝4.8．
故答案为：4.8．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
16. 在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2），直线y＝4x+1以每秒2个单位的速度向下平移，经过__秒该直线可将平行四边形OABC的面积分为1：3两部分．
【答案】4或8##或
【解析】
【分析】求得的面积，然后设直线平移后的解析式为，交于，交于，分两种情况讨论，关键是利用梯形的面积公式即可求得的值，进而可得答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，，点，
，
设直线平移后的解析式为，交于，交于，
把代入得，，解得，
，，
把代入得，，解得，
，，
若四边形的面积是四边形的面积的时，则，
，
解得；
此时直线要向下平移8个单位；
时间为4秒；
若四边形的面积是四边形的面积的时，则，
，
解得，
此时直线要向下平移16个单位；
时间为8秒，
故答案为：4或8．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，以及一次函数图象与几何变换，分类讨论是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共68分.请在答．题．纸．指．定．区．域．内作答，解答时应写全过程）
17. 勤劳是中华民族的传统美德，学校要求学生在家帮助父母做一些力所能及的家务．在学期初，小丽同学随机调查了七年级部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x小时，将做家务的总时间分为五个类别：A（0≤x＜10），B（10≤x＜20），C（20≤x＜30），D（30≤x＜40），E（x≥40）．并将调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；
（2）根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
（3）扇形统计图中m＝ ，类别D所对应的扇形圆心角α的度数是 度；
（4）若从七年级随机抽取一名学生，估计这名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时的概率．
【答案】（1）50；（2）补全的条形统计图见解析；（3）32，57.6；（4）估计这名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时的概率为0.56．
【解析】
【分析】（1）根据样本容量=某项的人数÷该项所占百分比计算；
（2）先根据人数=所占百分比×样本容量计算，进而可补全统计图；
（3）根据扇形统计图的意义逐一计算即可；
（4）根据频率估计概率的思想计算
【详解】（1）本次共调查了10÷20%＝50名学生，
故答案为：50；
（2）B类学生有：50×24%＝12（人），
D类学生有：50﹣10﹣12﹣16﹣4＝8（人），
补全的条形统计图如下图所示；
（3）m%＝16÷50×100%＝32%，
即m＝32，
类别D所对应的扇形圆心角α的度数是：360°×＝57.6°，
故答案为：32，57.6；
（4）＝0.56，
若从七年级随机抽取一名学生，估计这名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时的概率为0.56．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，频率估计概率，熟练掌握统计图的意义，活用频率估计概率是解题的关键．
18. 中秋节来临之际，小鹿家的蛋糕店开始出售月饼，于是制作了四个边长为50cm的正方形．广告牌准备挂在门店上，分别写着“中秋快乐”四个字，其中一个写着“秋”字的广告牌如图①．在将广告牌挂上去之前，小鹿想知道上面的“秋”字的面积是多大，但由于字体不规则无法直接测量，所以小鹿用如下的方法来估算“秋”字的面积：将一把黄豆随机撒在广告牌上，计算出在“秋”字区域内的黄豆颗数所占总颗数的频率，进而估算出“秋”字的面积占整个广告牌的比例，从而计算出面积．小鹿一共试验了10次，她将每一次得到的频率结果绘制成如图②所示的折线统计图．
（1）一粒黄豆落在“秋”字区域是 （填“随机事件”“必然事件”“不可能事件”）；
（2）通过统计图估计黄豆落在“秋”字区域的概率为 （精确到0.1）；
（3）请估计广告牌中“秋”字的面积．
【答案】（1）随机； （2）0.2；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据随机事件的概念求解即可；
（2）利用频率估计概率即可；
（3）用正方形的面积乘以黄豆落在“秋”字区域的概率．
【小问1详解】
由题意知每一粒黄豆落在“秋”字区域是随机事件，
故答案为 随机；
【小问2详解】
由折线统计图知，随着实验次数的增加，黄豆落在“秋”字区域的频率逐渐稳定于0.2，
所以黄豆落在“秋”字区域的概率为0.2，
故答案为 0.2；
【小问3详解】
估计广告牌中“秋”字的面积为．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.
19. 如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，5），B（2，2），C（5，2）．
（1）将△ABC绕点（0，1）顺时针旋转180°，请画出旋转后的△A1B1C1；
（2）将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A对应点A2坐标为（1，﹣2），请画出平移后的△A2B2C2，若△ABC内部一点P的坐标为（a，b），则点P的对应点P2的坐标是 ；
（3）将△A1B1C1绕某一点M旋转可得到△A2B2C2，请画出点M的位置（保留痕迹），并直接写出点M的坐标．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）见解析，
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质即可将△ABC绕点（0，1）顺时针旋转180°，请画出旋转后的△A1B1C1；
（2）根据平移性质即可将△ABC平移后得到△A2B2C2，根据点A对应点A2坐标为（1，-2），即可画出平移后的△A2B2C2，根据平移性质即可得点P的对应点P2的坐标；
（3）根据旋转的性质即可得点M，即可画出点M的位置，进而写出点M的坐标．
【小问1详解】
解：如图，△A1B1C1即为所求；
【小问2详解】
解：如（1）图，△A2B2C2即为所求；P2（a3，b7）；
故答案为：（a3，b7）；
【小问3详解】
解：如（1）图，点M即为所求；
∵A1坐标为（4，3），A2坐标为（1，2），
∴M（，）．
【点睛】本题主要考查了作图——旋转变换，作图——平移变换，解决本题的关键是作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
20. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：
（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形AECF是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由证明即可；
（2）由（1）知，，则，即可得出结论．
【小问1详解】
解：证明：四边形是平行四边形，
，，，
又，分别是，的中点，
，，
，，
在和中，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）知，，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质．
21. 如图，等腰ABC中，，交BC于D点，E点是AB的中点，分别过D，E两点作线段AC的垂线，垂足分别为G，F两点．
（1）求证：四边形DEFG为矩形；
（2）若，，求CG的长．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】（1）欲证明四边形DEFG为矩形，只需推知该四边形为平行四边形，且有一内角为直角即可；
（2）首先根据直角三角形斜边上中线的性质求得AE＝DE＝5；然后在直角△AEF中利用勾股定理得到AF的长度；最后结合AB＝AC＝AF+FG+CG＝10求解即可．
【小问1详解】
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴点D是BC的中点．
∵E点是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴DEAC.
∵DG⊥AC，EF⊥AC，
∴EFDG
∴四边形DEFG是平行四边形．
又∵∠EFG＝90°，
∴四边形DEFG为矩形；
【小问2详解】
解：∵AD⊥BC交BC于D点，
∴ ∠ADB=∠ADC=90°
∴△ADB是直角三角形
∵E点是AB的中点，AB＝10，
∴DE＝AE＝BC＝5．
由（1）知，四边形DEFG为矩形，
∴GF＝DE＝5
在直角△AEF中，EF＝4，AE＝5，
由勾股定理得：
AF＝ ．
∵AB＝AC＝10，FG＝ED＝5，
∴GC＝AC﹣FG﹣AF＝10﹣5﹣3＝2．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线，勾股定理，根据题意找到长度相等的线段是解题的关键．
22. 已知直线及外一点，分别按下列要求写出画法，并保留两图痕迹．
（1）在图1中，只用圆规在直线上画出两点，使得点是一个等腰三角形的三个顶点；
（2）在图2中，只用圆规在直线外画出一点，使得点所在直线与直线平行．
【答案】（1）图见解析，（答案不唯一）；（2）图见解析．
【解析】
【详解】（1）画法不唯一，可能为顶角，可能为顶角，可能为顶角．
画法一：以点为圆心，大于点到直线的距离长为半径画弧，与直线交于两点，则点即为所求．
画图正确．
画法二：在直线上任取一点，以点为圆心，长为半径画弧，与直线交于点，则点即为所求．
画图正确．
（2）通过做四边形ABCP是平行四边形，可知，点P为所要画的点．
画法：在直线上任取两点，以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点．则点即为所求．
画图正确．
23. 如图，四边形ABCD中，已知AB=CD，点E、F分别为AD、BC的中点，延长BA、CD，分别交射线FE于P、Q两点．求证：∠BPF=∠CQF．
【答案】证明见解析.
【解析】
【详解】试题分析：如图，连接BD，作BD的中点M，连接FM、EM．利用三角形中位线定理证得△EMF是等腰三角形，则∠MEF=∠MFE．利用三角形中位线定理、平行线的性质推知∠MEF=∠BPF，∠MFE=∠CQF．根据等量代换证得∠BPF=∠CQF；
试题解析：
证明：如图，连接BD，作BD的中点M，连接EM、FM，如图所示
∵点E是AD的中点
∴在△ABD中，EM∥AB，EM=AB
∴∠MEF=∠BPF
同理可证：FM∥CD，FM=CD
∴∠MFE=∠CQF
又∵AB=CD
∴EM=FM
∴∠MEF=∠MFE
∴∠BPF=∠CQF
24. 在中，点D是边AB上的一个动点，连接CD．作， ，连接ED．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当D是AB的中点时，
①四边形ADCE的形状是______；请说明理由．
②若，，则四边形ADCE的面积为______．
【答案】（1）见解析；（2）①菱形，②6．
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，得出四边形是平行四边形，再由，即可得是矩形，根据矩形性质即可得出结论；
（2）①由直角三角形斜边上中线的性质得，再根据邻边相等的平行四边形是菱形可得出结论；②根据菱形面积等于对角线乘积的一半计算即可．
【详解】解：（1），，
∴四边形是平行四边形，
又，
，
四边形是矩形，
；
（2）①∵在中，是的中点，
∴，
又四边形是平行四边形
∴四边形是菱形；
故答案为：菱形；
②设和交于点，如图，
，
∵在中，，
∴，
又∵四边形是菱形；
∴，，，
又∵，
∴，
∴在中，，
∴，
S菱形ADCE=．
【点睛】本题主要考查了四边形综合，涉及了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，菱形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，菱形面积的计算，勾股定理等知识点，熟知以上几何图形的判定定理以及性质是解题的关键．
25. 四边形 ABCD 为正方形，点 E 为线段 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 EF ⊥DE，交射线 BC 于点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG．
（1）如图，求证：矩形 DEFG 是正方形；
（2）若 AB＝，CE＝2，求 CG 的长；
（3）当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 40°时，直接写出∠EFC 的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）或
【解析】
【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根据正方形的判定定理证明即可；
（2）通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题．
（3）分两种情形结合正方形的性质解答即可．
【小问1详解】
证明：如下图所示：
作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝90°，∠PED+∠FEC＝90°，
∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
【小问2详解】
如图2：
在Rt△ABC中AC＝AB＝，
∵EC＝2，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，
∴；
【小问3详解】
①如图3：
当DE与AD的夹角为40°时，
∠DEC＝45°+40°＝85°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠CEF＝5°，
∵∠ECF＝45°，
∴∠EFC＝130°，
②如图4：
当DE与DC的夹角为40°时，
∵∠DEF＝∠DCF＝90°，
∴∠EFC＝∠EDC＝40°，
综上所述，∠EFC＝130°或40°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的判定与性质等相关知识点，根据条件结合图形去解题是关键.每批粒数
发芽的频数
发芽的频率