南京外国语学校雨花国际学校2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

这是一份南京外国语学校雨花国际学校2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分）
1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A B. C. D.
2. 下列说法正确是（ ）
A. “明天降雨的概率是 80%”表示有 80%的时间都在降雨
B. “抛掷一个啤酒瓶盖，做了 20 次试验，开口朝上出现 8 次，则可得出开口朝上的概率是0.4”
C. “彩票中奖的概率为 1%”表示买 100 张彩票肯定会中奖
D. “抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛掷正面朝上”这一事件发生的频率稳定在左右
3. 下列调查中，不适合用普查的是（）
A. 了解全班同学每周体育锻炼的时长
B. “新冠”肺炎疫情期间检测地铁乘客的体温
C. 某学校招艺术特长生，对报名学生进行面试
D. 了解全国中学生每天写作业的时长
4. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到，若∠AOB＝25°，则的度数是（ ）
A. 25°B. 35°C. 40°D. 85°
5. 下列命题中是真命题的是（ ）．
A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形B. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形D. 有一个角为直角的四边形是矩形
6. 如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB＝6，EF＝2，则BC的长为( )
A. 8B. 10C. 12D. 14
7. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E．若BE＝EO，则AD长是（ ）
A. 6B. 2C. 3D. 2
8. 如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G，连结、．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
9. 数据－3，0，2，3，9的极差为_____．
10. 菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的面积是_____．
11. 在一个暗箱里放有个除颜色外完全相同的球，这个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球，记下颜色后，再放回暗箱，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%．那么估计大约有_______个．
12. 一个容量为80的样本最大值为143，最小值为50，取组距为10，则可以分成________组．
13. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是__________．
14. 北大附中实验学校科技节的作品得分包括三部分，专家评委给出的专业得分，宣传展示得分以及通过同学们投票得到的支持得分．已知某个作品各项得分如表所示（各项得分均按百分制计）：按专业得分占50%、展示得分占40%、支持得分占10%，计算该作品的综合成绩（百分制），则该作品的最后得分是_____．
15. 如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED．若AB＝2，∠EBC＝45°，则BC＝_____．
16. 如图，在中，，，，P是斜边BC上一动点，于E，于F，EF与AP相交于点O，则OF的最小值是__________．
17. 如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为_____．
18. 如图，正方形的边长为3，E是上一点，，连接与相交于点F，过点F作，交于点G，连接，则点E到的距离为_____．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 64 分）
19. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－3，2)，B(0，4)，C(0，2)．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；
（2）平移△ABC，若A的对应点的坐标为(0，－4)，画出平移后对应的△A2B2C2；
（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请画出旋转中心P．
20. 某校举行新年知识竞赛，甲、乙班都派出a名学生参赛，比赛结束后，发现学生成绩分别为70分，80分，90分，100分，根据统计的数据绘制如下不完整的统计图表：
甲班成绩统计表
（1）求题目中的a和甲班成绩统计表中b的值；
（2）将乙班成绩条形图补充完整；
（3）分别计算两班参赛学生成绩的平均分和方差；
（4）若学校要从甲、乙两班中选出一个班代表学校参加全市新年知识竞赛，请从平均成绩和稳定性的角度分析，哪个班代表学校参赛比较合适？为什么？
21. 如图，E、F分别是矩形ABCD的边AD、BC上的点，且．求证：四边形为平行四边形．
22. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作CFAB，交AE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：四边形BDCF是菱形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形BDCF是正方形？请说明理由．
23. 如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.
(1)求证：四边形EFGH是矩形；
(2)若E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．
24. 如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，点E在AD上，延长ED交FG 于点H．
（1）求证：△EDC≌△HFE；
（2）连接BE、CH．
①四边形BEHC是怎样的特殊四边形？证明你的结论；
②若BC长为，则AB的长为 时，四边形BEHC为菱形．
25. △ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF，
（1）观察猜想：如图 1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为 ；
②BC，CD，CF之间的数量关系为 ；（将结论直接写在横线上）
（2）数学思考：如图 2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸：如图 3，当点D在线段 BC 延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AB＝2，，请求出GE的长项目
专业得分
展示得分
支持得分
成绩（分）
90
95
96
分数（分）
人数（人）
70
2
80
b
90
2
100
1
答案与解析
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分）
1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. “明天降雨概率是 80%”表示有 80%的时间都在降雨
B. “抛掷一个啤酒瓶盖，做了 20 次试验，开口朝上出现 8 次，则可得出开口朝上的概率是0.4”
C. “彩票中奖的概率为 1%”表示买 100 张彩票肯定会中奖
D. “抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛掷正面朝上”这一事件发生的频率稳定在左右
【答案】D
【解析】
【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大小也不一定发生．
【详解】解：A.“明天降雨的概率是 80%”表示明天下雨的可能性是80%，说法错误，不符合题意；
B.做20次试验，开口朝上出现8次，此试验次数过少，不能估计开口向上的概率，说法错误，不符合题意；
C.这是一个随机事件，买这种彩票，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，说法错误，不符合题意；
D.“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛掷正面朝上”这一事件发生的频率稳定在左右，说法正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解题的关键．
3. 下列调查中，不适合用普查的是（）
A. 了解全班同学每周体育锻炼的时长
B. “新冠”肺炎疫情期间检测地铁乘客的体温
C. 某学校招艺术特长生，对报名学生进行面试
D. 了解全国中学生每天写作业的时长
【答案】D
【解析】
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【详解】解：A、了解全班同学每周体育锻炼的时长，适合全面调查，故本选项不合题意；
B、“新冠”肺炎疫情期间检测地铁乘客的体温，适合全面调查，故本选项不合题意；
C、某学校招艺术特长生，对报名学生进行面试，适合全面调查，故本选项不合题意；
D、了解全国中学生每天写作业的时长，适合抽样调查，不适合普查，故本选项符合题意．
故选∶D．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到，若∠AOB＝25°，则的度数是（ ）
A. 25°B. 35°C. 40°D. 85°
【答案】B
【解析】
【分析】根据绕点O按逆时针方向旋转60°后得到，可得，然后根据，可以求出的度数．
【详解】∵绕点O按逆时针方向旋转60°后得到，
∴，
又∵
∴，
故选B．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，能从图形中准确的找出旋转角是关键．
5. 下列命题中是真命题的是（ ）．
A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形B. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形D. 有一个角为直角的四边形是矩形
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线四边形的性质得到对边相等，加上一组邻边相等，可得到四边都相等，根据菱形的定义对A、B进行判断；根据矩形的判定方法对C、D进行判断．
【详解】解：A、平行四边形的对边相等，若有一组邻边相等，则四边都相等，所以该选项正确；
B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，所以该选项不正确；
C、对角线互相平分且相等的四边形为矩形，所以该选项不正确；
D、有三个角是直角的四边形是矩形，所以该选项不正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断事情的语句叫命题；正确的命题叫真命题；经过证明其正确性的命题称为定理．也考查了平行四边形、矩形和菱形的判定与性质．
6. 如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB＝6，EF＝2，则BC的长为( )
A. 8B. 10C. 12D. 14
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：根据平行四边形的性质可知AB=CD，AD∥BC，AD=BC，然后根据平行线的性质和角平分线的性质可知AB=AF，DE=CD，因此可知AF+DE=AD+EF=2AB=12，解得AD=BC=12-2=10.
故选B.
点睛：此题主要考查了平行四边形的性质和等腰三角形的性质，解题关键是把所求线段转化为题目中已知的线段，根据等量代换可求解.
7. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E．若BE＝EO，则AD的长是（ ）
A. 6B. 2C. 3D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】通过矩形的性质证明△OAB是等边三角形，即可求解；
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵BE＝EO，AE⊥BD，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∴∠ADE＝90°﹣∠ABD＝30°，
∴AD＝AB＝2，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，能考虑证明△ABO是等边三角形是解题关键．
8. 如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G，连结、．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由正方形和折叠的性质得出AF＝AB，∠B＝∠AFG＝90°，由HL即可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，得出①正确；
设BG＝x，则CG＝BC−BG＝6−x，GE＝GF＋EF＝BG＋DE＝x＋2，由勾股定理求出x＝3，得出②正确；
由等腰三角形的性质和外角关系得出∠AGB＝∠FCG，证出平行线，得出③正确；
根据三角形的特点及面积公式求出△FGC的面积,即可求证④．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝DC＝6，∠B＝D＝90°，
∵CD＝3DE，
∴DE＝2，
∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，
∴DE＝EF＝2，AD＝AF，∠D＝∠AFE＝∠AFG＝90°，
∴AF＝AB，
∵在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴①正确；
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴BG＝FG，∠AGB＝∠AGF，
设BG＝x，则CG＝BC−BG＝6−x，GE＝GF＋EF＝BG＋DE＝x＋2，
在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2＋CE2＝EG2，
∵CG＝6−x，CE＝4，EG＝x＋2
∴（6−x）2＋42＝（x＋2）2
解得：x＝3，
∴BG＝GF＝CG＝3，
∴②正确；
∵CG＝GF，
∴∠CFG＝∠FCG，
∵∠BGF＝∠CFG＋∠FCG，
又∵∠BGF＝∠AGB＋∠AGF，
∴∠CFG＋∠FCG＝∠AGB＋∠AGF，
∵∠AGB＝∠AGF，∠CFG＝∠FCG，
∴∠AGB＝∠FCG，
∴AG∥CF，
∴③正确；
∵△CFG和△CEG中，分别把FG和GE看作底边，
则这两个三角形的高相同．
∴，
∵S△GCE＝×3×4＝6，
∴S△CFG＝×6＝，
∴④不正确；
正确的结论有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形性质、折叠性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、平行线的判定等知识点的运用；主要考查学生综合运用性质进行推理论证与计算的能力，有一定难度．
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
9. 数据－3，0，2，3，9的极差为_____．
【答案】12
【解析】
【分析】根据极差的定义即可求得．
【详解】解：数据－3，0，2，3，9的极差为：9-（-3）=12
故答案为：12．
【点睛】此题考查了极差，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
10. 菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的面积是_____．
【答案】24
【解析】
【分析】根据菱形的面积等于两条对角线积的一半计算即可．
【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别是6和8，
∴这个菱形的面积为×6×8=24，
故答案为 24．
【点睛】本题考查了菱形的面积的计算等知识点．易错易混点：学生在求菱形面积时，易把对角线乘积当成菱形的面积，或是错误判断对角线的长而误选
11. 在一个暗箱里放有个除颜色外完全相同的球，这个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球，记下颜色后，再放回暗箱，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%．那么估计大约有_______个．
【答案】12
【解析】
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】解：由题意可得，×100%=25%，
解得，a=12个．经检验a=12是原方程的解．
估计a大约有12个．
故答案为：12．
【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
12. 一个容量为80的样本最大值为143，最小值为50，取组距为10，则可以分成________组．
【答案】10
【解析】
【分析】根据组距，最大值、最小值、组数以及样本容量的关系进行计算即可．
【详解】解：（143-50）÷10=9.3≈10，
故可以分成10组，
故答案为：10．
【点睛】本题考查频数分布直方图的制作方法，理解组距、组数，极差以及样本容量之间的关系是正确解答的关键．
13. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是__________．
【答案】10
【解析】
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=4，AD=BC=6．
∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=6+4=10；
故答案为10．
14. 北大附中实验学校科技节的作品得分包括三部分，专家评委给出的专业得分，宣传展示得分以及通过同学们投票得到的支持得分．已知某个作品各项得分如表所示（各项得分均按百分制计）：按专业得分占50%、展示得分占40%、支持得分占10%，计算该作品的综合成绩（百分制），则该作品的最后得分是_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用加权平均数求即可．
【详解】解：根据题意，该作品的最后得分是
故答案为：
【点睛】本题考查加权平均数问题，掌握加权平均数计算方法是解题关键．
15. 如图，矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED．若AB＝2，∠EBC＝45°，则BC＝_____．
【答案】2
【解析】
【分析】由矩形的性质和角平分线的定义得出∠DEC=∠ECB=∠BEC，推出BE=BC，求得AE=AB=2，然后依据勾股定理可求得BC的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ADBC．
∴∠DEC=∠BCE．
∵EC平分∠DEB，
∴∠DEC=∠BEC．
∴∠BEC=∠ECB．
∴BE=BC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°．
∵∠EBC=45°，
∠ABE=45°，
∴∠ABE=AEB=45°．
∴AB=AE=2．
∵由勾股定理得：BE===2，
∴BC=BE=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证出BE=BC是解题的关键．
16. 如图，在中，，，，P是斜边BC上一动点，于E，于F，EF与AP相交于点O，则OF的最小值是__________．
【答案】##1.2
【解析】
【分析】根据矩形的性质就可以得出，，互相平分，且，由垂线段最短的性质就可以得出时，的值最小，即的值最小，由勾股定理求出，根据面积关系建立等式求出其解即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，互相平分．且，，
当的值最小时，的值就最小，
当时，的值最小，即的值最小．
，
．
在中，由勾股定理，得．
，，
，
．
，
故答案为．
【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出的最小值是关键．
17. 如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为_____．
【答案】（﹣1，5）
【解析】
【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标．
【详解】如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O′，
∵四边形OEFG是正方形，
∴OG=EO，∠GOM+∠EOH=90°
∠GOM=∠OEH，∠OGM=∠EOH，
在△OGM与△EOH中，
，
∴△OGM≌△EOH（ASA），
∴GM=OH=2，OM=EH=3，
∴G（﹣3，2），
∴O′（﹣，），
∵点F与点O关于点O′对称，
∴点F的坐标为 （﹣1，5），
故答案是：（﹣1，5）
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、中点坐标公式等，正确添加辅助线以及熟练掌握和运用相关内容是解题的关键．
18. 如图，正方形的边长为3，E是上一点，，连接与相交于点F，过点F作，交于点G，连接，则点E到的距离为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题首先经过分析可得，由全等三角形的性质和边角关系可得为等腰直角三角形，进而为等腰直角三角形，由勾股定理及等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】如图，作，连接，
在正方形ABCD中，，
在和中，
，
，
，，
，
在四边形ABGF中，，
又，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等，等腰直角三角形的判定，勾股定理，直角三角形中锐角三角函数，题目综合性强，理清思路，准确作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 64 分）
19. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－3，2)，B(0，4)，C(0，2)．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；
（2）平移△ABC，若A的对应点的坐标为(0，－4)，画出平移后对应的△A2B2C2；
（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请画出旋转中心P．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）利用网格特点和根据旋转性质作图即可，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形；
（2）利用网格特点和根据平移的性质；作图即可，找到对应点，顺次连接得出平移后的图形；
（3）连接对应点的连线所得交点即为所求
【小问1详解】
如图所示，△A1B1C为所作；
【小问2详解】
如图所示，△A2B2C2为所作；
【小问3详解】
如图，点P为所作，
【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
20. 某校举行新年知识竞赛，甲、乙班都派出a名学生参赛，比赛结束后，发现学生成绩分别为70分，80分，90分，100分，根据统计的数据绘制如下不完整的统计图表：
甲班成绩统计表
（1）求题目中的a和甲班成绩统计表中b的值；
（2）将乙班成绩条形图补充完整；
（3）分别计算两班参赛学生成绩的平均分和方差；
（4）若学校要从甲、乙两班中选出一个班代表学校参加全市新年知识竞赛，请从平均成绩和稳定性的角度分析，哪个班代表学校参赛比较合适？为什么？
【答案】（1）10，5
（2）见解析 （3）76，96
（4）选甲班代表学校参赛，因为甲乙两班的平均数相同，而甲班的方差小，成绩稳定，故选择甲班
【解析】
【分析】（1）由乙班90分人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去甲班得70、90、100分的人数即可求得；
（2）根据以上所求结果即可补全图形；
（3）根据加权平均数和方差的定义列式计算即可；
（4）根据方差的意义求解即可．
【小问1详解】
解：，；
【小问2详解】
解：补全图形如图：
【小问3详解】
解：（分，（分，
，
．
【小问4详解】
解：选甲班代表学校参赛．
因为甲乙两班的平均数相同，而甲班的方差小，成绩稳定，
故选择甲班．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、方差，解题关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21. 如图，E、F分别是矩形ABCD的边AD、BC上的点，且．求证：四边形为平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由题意易得ED∥BF，AD=BC，而AE=CF，可得ED=BF，即可求证．
【详解】证明：∵ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD=BC．
又∵AE=CF，
∴AD-AE=BC-CF，
即ED=BF，
∵ED∥BF且ED=BF，
∴四边形EBFD为平行四边形．
【点睛】本题考查了矩形的性质，以及平行四边形的判定，要根据条件合理、灵活地选择方法．
22. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作CFAB，交AE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：四边形BDCF是菱形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形BDCF是正方形？请说明理由．
【答案】（1）见解析；
（2）AC＝BC，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由“AAS”可证△CEF≌△DEA，可得CF＝AD，由直角三角形的性质可得CD＝AD＝BD＝CF，由菱形的判定可证四边形BDCF是菱形；
（2）由等腰三角形的性质可得CD⊥AB，即可证四边形BDCF是正方形．
【小问1详解】
证明：∵CFAB
∴∠CFA＝∠BAF，∠ADC＝∠FCD，
∵E是CD的中点，
∴CE＝DE
∴△CEF≌△DEA（AAS）
∴CF＝AD，
∵CD是Rt△ABC的中线
∴CD＝AD＝BD
∴CF＝BD，
∵CFAB
∴四边形BDCF是平行四边形，
∵CD＝BD
∴四边形BDCF是菱形
【小问2详解】
当AC＝BC时，四边形BDCF是正方形，
理由如下：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形
∵CD是AB边上的中线
∴CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°
∵四边形BDCF是菱形
∴四边形BDCF是正方形．
【点睛】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
23. 如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.
(1)求证：四边形EFGH是矩形；
(2)若E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．
【答案】(1)证明见解析；(2)矩形ABCD的面积为16(cm2)．
【解析】
【分析】（1）首先证明四边形EFGH是平行四边形，然后再证明HF=EG；
（2）根据题干求出矩形的边长CD和BC，然后根据矩形面积公式求得．
【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，
即OE＝OF＝OG＝OH，
∴四边形EFGH是矩形．
解：∵G是OC的中点，
∴GO＝GC.
又∵DG⊥AC，
∴CD＝OD.
∵F是BO中点，OF＝2cm，
∴BO＝4cm.
∴DO＝BO＝4cm，
∴DC＝4cm，DB＝8cm，
∴CB＝＝4 (cm)，
∴矩形ABCD的面积为4×4＝16 (cm2)．
【点睛】本题主要考查矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等．
24. 如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，点E在AD上，延长ED交FG 于点H．
（1）求证：△EDC≌△HFE；
（2）连接BE、CH．
①四边形BEHC是怎样的特殊四边形？证明你的结论；
②若BC长为，则AB的长为 时，四边形BEHC为菱形．
【答案】（1）证明见解析
（2）①平行四边形，证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）由旋转和矩形的性质可知，，．再根据平行线的性质得出，即可利用“AAS”证明△EDC≌△HFE；
（2）①由矩形性质可知．再根据△EDC≌△HFE，即得出EC=EH．由旋转得EC=BC，即得出EH=BC，即可由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形BEHC是平行四边形；②由菱形性质和旋转即可得，即证明为等边三角形，得出，从而求出，最后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求出．
【小问1详解】
证明：∵将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，
∴，，，
∴．
即在△EDC和△HFE中，
∴△EDC≌△HFE(AAS)；
【小问2详解】
①如图，连接BE、CH．
∵四边形ABCD为矩形，
∴，即．
∵△EDC≌△HFE，
∴EC=EH．
∵将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，
∴EC=BC，
∴EH=BC，
∴四边形BEHC是平行四边形；
②∵四边形BEHC是菱形，
∴，
∵将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
25. △ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF，
（1）观察猜想：如图 1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为 ；
②BC，CD，CF之间的数量关系为 ；（将结论直接写在横线上）
（2）数学思考：如图 2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸：如图 3，当点D在线段 BC 的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AB＝2，，请求出GE的长
【答案】（1）①BC⊥CF；②BC＝CF＋CD
（2）BC⊥CF成立；BC＝CD＋CF不成立，CD＝CF＋BC．理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝90°，证出△DAB≌△FAC（SAS），由全等三角形的性质和余角的关系进而得到结论；
②由全等三角形的性质得到CF＝BD，进而得出结论；
（2）推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．
（3）过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，证△ADH≌△DEM（AAS），推出EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，推出CN＝EM＝3，EN＝CM＝3，由△BCG是等腰直角三角形，推出CG＝BC＝4，推出GN＝CG−CN＝1，再由勾股定理即可解决问题．
【小问1详解】
解：①∵正方形ADEF中，AD＝AF，∠DAF＝90°，
∴∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△DAB与△FAC中，
，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠B＝∠ACF，
∴∠ACB＋∠ACF＝90°，
即BC⊥CF；
故答案为：BC⊥CF；
②由①得：△DAB≌△FAC，
∴CF＝BD，
∵BC＝BD＋CD，
∴BC＝CF＋CD；
故答案为：BC＝CF＋CD；
【小问2详解】
解：BC⊥CF成立；BC＝CD＋CF不成立，CD＝CF＋BC．理由如下：
∵正方形ADEF中，AD＝AF，∠DAF＝90°，
∴∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△DAB与△FAC中，
，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACF，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°．
∴∠ABD＝180°−45°＝135°，
∴∠BCF＝∠ACF−∠ACB＝135°−45°＝90°，
∴BC⊥CF，
∵CD＝DB＋BC，DB＝CF，
∴CD＝CF＋BC；
【小问3详解】
解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，如图3所示：
∵∠BAC＝90°，AC＝AB＝2，
∴BC＝AB＝4，
∵AH⊥BC，
AH＝BC＝BH＝CH＝2，
∴DH＝CH＋CD＝3，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝DE，∠ADE＝90°，
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴四边形CMEN是矩形，
∴NE＝CM，EM＝CN，
∵∠AHD＝∠ADC＝∠EMD＝90°，
∴∠ADH＋∠EDM＝∠EDM＋∠DEM＝90°，
∴∠ADH＝∠DEM，
∴△ADH≌△DEM（AAS），
∴EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，
∴CN＝EM＝3，EN＝CM＝3，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BGC＝45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG＝BC＝4，
∴GN＝1，
在Rt△EGN中，由勾股定理得：EG＝ ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，余角的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识；本题综合性强，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
项目
专业得分
展示得分
支持得分
成绩（分）
90
95
96
分数（分）
人数（人）
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