2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区南京师范大学附属中学树人学校九年级（下）3月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区南京师范大学附属中学树人学校九年级（下）3月月考数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.5G是第五代移动通信技术的简称，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上，这意味着下载一部高清电影只需要1秒．用科学记数法表示1300000是( )
A. 1.3×106B. 1.3×105C. 13×105D. 1.3×107
2. 50在哪两个连续整数之间( )
A. 5与6B. 6与7C. 7与8D. 8与9
3.下列运算正确的是( )
A. m2+m3=m5B. m23=m5C. m5−m3=m2D. m2⋅m3=m5
4.元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，驽马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得
( )
A. x240=x+12150B. x240=x150−12
C. 240x−12=150xD. 240x=150x+12
5.如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长等于
( )
A. 2B. 73C. 6 25D. 9 25
6.如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡滚下，其速度每秒增加的值相同．用t表示小球滚动的时间，v表示小球的速度．下列图象中，能表示小球在斜坡上时v与t的函数关系的图象大致是
( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.−2的相反数是 ，−2的倒数是 ．
8.若式子 x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
9.设x1、x2是方程x2−3x+2=0 的 两个根，则x1+x2−x1x2= ．
10.若圆锥的侧面积为18π，底面半径为3，则该圆锥的母线长是 ．
11.一组数据：2，3，4，5，6的方差是
12.如图，点P在反比例函数y=kxx<0的图象上，PA⊥x轴于点A，若▵PAO的面积为7，则k的值为 ．
13.将函数y=−x+22−1的图象先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得图象的函数表达式为 ．
14.如图，在正六边形ABCDEF中,AB=3,BD、CE交于点G，则CG= ．
15.如图，在▵ABC中，∠BAC=60∘，将▵ABC绕点A逆时针旋转40∘，得到▵ADE，点D恰好落在BC上，DE交AC于点F，则∠AFE= °.
16.如图，在▵ABC中，∠ACB=90∘,AC=BC=2，点，是射线AB上一动点，∠CPD=90∘，且PC=PD，连接AD、CD，则AD+CD的最小值是 ．
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)分解因式：x2y+xy2；
(2)计算：12−1+2cs45∘−− 2+2024−π0．
18.(本小题8分)
解方程：1x−2=x−1x−2−3．
19.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC,DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接DE,BF．求证：四边形BEDF是平行四边形．
20.(本小题8分)
某调查机构调查了全国青少年儿童的近视情况，部分资料如下：
2010−2020年儿童青少年近视率变化及2030年防控要求
2010−2020年全国小学、初中、高中学生近视总人数(单位：万人)
(1)下列结论中，所有正确结论的序号是______．
①2018年幼儿园学生近视率为14.5%，小学生近视率为36.0%，中学生近视率为71.6%，而高中生近视率已达到81.0%；
②2014年全国小学、初中、高中学生近视人数突破1亿人；
③2020年各年龄段的近视率都未达到2030年的防控要求．
(2)根据上图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论．
21.(本小题8分)
某校组织学生进行视力检查，共开设了A，B，C三个检查窗口，每位同学随机选择其中一个窗口进行检查．
(1)甲同学选择A窗口检查的概率是______；
(2)甲同学和乙同学选择同一个窗口检查的概率是多少？
22.(本小题8分)
如图，一次函数y=mx与反比例函数y2=kx(k为常数，k≠0)的图象交于A，B两点，其中点A的坐标为(2,4)．
(1)求m和k的值；
(2)当y123.(本小题8分)
如图，为了测量无人机的飞行高度，在地面上选择一个建筑物AB，在点P处测得A的俯角为24∘，保持水平飞行方向不变，继续飞行32m到达点Q处，测得B的俯角为66∘,AB=24m，点A，B，P，Q在同一平面内，A，B两点在PQ的同侧，求无人机的飞行高度．
(参考数据：tan24°≈920,tan66°≈94)
24.(本小题8分)
如图，在正方形网格中，▵ABC的 三个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺作∠A的角平分线(用两种不同的方法)．
25.(本小题8分)
如图，在▵ABC和▵ACD中，AB=AC=AD，BC=CD，⊙O是▵ABC的外接圆，交AD于点E．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AE=6,BC=4．
①求AB的长度；
②求⊙O 的 半径．
26.(本小题8分)
已知二次函数y=−x2−2ax+4a+5(a 为 常数，a≠0).
(1)求证：不论a为何值，该函数图象与x轴必有公共点；
(2)①当a=−2时，求该函数图象的顶点坐标；
②已知A−2,1,B4,1，该函数的图象与线段AB有且只有一个公共点，则a的取值范围是______．
27.(本小题8分)
某兴趣小组在学习了对称的性质后，又进行了如下探究：
【点关于点对称】
如图，点O是线段AB的中点，则称点B是点A关于点O的对称点；
【线关于点对称】
(1)尺规作图：作出线段AB关于点O的对称线段A′B′．
【三角形关于点对称】
(2)如图，点O关于▵ABC三边AB,BC,CA的中点对称的点分别为点D，E，F，连接DE,EF,FD，得▵EFD，则称▵EFD是▵ABC关于点O的“对称”三角形．求证▵EFD≌▵ABC．
【四边形关于点对称】
(3)如图，点O关于四边形ABCD四条边AB,BC,CD,DA的中点对称的点分别为M、N、P、Q，连接MN,NP,PQ,QM，得四边形MNPQ，则称四边形MNPQ是四边形ABCD关于点O的“对称”四边形．
①求证：四边形MNPQ是平行四边形．
②当四边形ABCD满足______条件时，四边形MNPQ是矩形；此时四边形ABCD的面积S1和四边形MNPQ的面积S2满足的数量关系是______．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．据此即可解答．
【详解】解：用科学记数法表示1300000是1.3×106，
故选：A．
2.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了无理数的估算．用夹逼法估算即可解答．
【详解】解：∵49<50<64，
∴ 49< 50< 64，
∴7< 50<8，
∴ 50在7与8之间，
故选：C．
3.【答案】D
【解析】【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、m2与m3不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、m23=m6，原式计算错误，不符合题意；
C、m5与m3不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
D、m2⋅m3=m5，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
4.【答案】D
【解析】【分析】设快马x天可追上慢马，根据路程相等，列出方程即可求解．
【详解】解：设快马x天可追上慢马，由题意得240x=150x+12
故选：D．
5.【答案】A
【解析】【分析】先根据勾股定理计算AD的长，再根据△AOB∽△DOC，对应边成比例，从而求出AO的长．
【详解】解：AD= 32+42=5，AB=2，CD=3，
∵AB//DC，
∴△AOB∽△DOC，
∴AOOD=ABCD=23，
∴设AO=2x，则OD=3x，
∵AO+OD=AD，
∴2x+3x=
解得：x=1，
∴AO=2，
故选：A．
6.【答案】D
【解析】【分析】根据一次函数k 的 几何意义判断即可
【详解】解：∵一个小球由静止开始沿一个斜坡滚下，其速度每秒增加的值相同
∴vt=定值
∴v与t是正比例函数的关系．
故选：D.
7.【答案】2
−12

【解析】【分析】根据相反数和倒数的定义分别进行求解即可．
【详解】解：−2的相反数是2；
−2的倒数是−12；
故答案为：2，−12．
8.【答案】x≥2
【解析】【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，
要使 x−2在实数范围内有意义，必须x−2≥0，
∴x≥2．
故答案为：x≥2
9.【答案】1
【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系公式，可直接求得x1+x2和x1x2．
【详解】如果方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根是x1、x2，那么x1+x2=−ba，x1x2=ca.可知：x1+x2=−−31=3,x1⋅x2=21=2，所以x1+x2−x1x2=3−2=1．
10.【答案】6
【解析】【分析】根据圆锥的侧面积=πrl，列出方程求解即可．
【详解】解：∵圆锥的侧面积为18π，底面半径为3，
3πl=18π．
解得：l=6，
故答案为：6．
11.【答案】2
【解析】【分析】本题考查方差的求法．首先求出平均数，然后根据方差的计算方法即可求出方差．
【详解】解：x=152+3+4+5+6=4，
∴S2=152−42+3−42+4−42+5−42+6−42=2．
故答案为：2．
12.【答案】−14
【解析】【分析】根据k的几何意义，结合函数图象即可求解．
【详解】解：∵PA⊥x轴于点A，▵PAO的面积为7，
∴k2=7
又∵P点在第二象限，
∴k=−14，
故答案为：−14．
13.【答案】y=−x2
【解析】【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解即可．
【详解】解：将函数y=−x+22−1的图象先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得图象的函数表达式为y=−x+2−22−1+1，即y=−x2，
故答案为：y=−x2．
14.【答案】 3
【解析】【 分析】本题主要考查了正多边形内角和定理，等边对等角，解直角三角形等等，先由正六边形内角和定理求出∠BCD=120∘，再由等边对等角得到∠CBD=30∘，进一步求出∠BCG=90∘，则CG= 33BC= 3．
【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB=BC=CD=3,∠BCD=180∘×6−26=120∘，
∴∠CBD=∠CDB=180∘−∠BCD2=30∘，
同理可得∠DCE=30∘，
∴∠BCG=90∘，
∴CG= 33BC= 3，
故答案为： 3．
15.【答案】90∘
【解析】【分析】由旋转的性质可得▵ABD是等腰三角形，再根据其性质求出∠ABC=70∘，再由三角形内角和定理即可求．
【详解】将▵ABC绕点A逆时针旋转40∘，
∴AB=AD，∠BAD=∠CAE=40∘，∠E=∠C，
∴∠ABD=40∘，
∴∠ABC=∠ADB=180∘−40∘÷2=70∘，
∵∠BAC=60∘，
∴∠C=180∘−60∘−70∘=50∘=∠E，
∴∠AFE=180∘−50∘−40∘=90∘．
16.【答案】2 5
【解析】【分析】取AC中点H，连接DH交AB于点G，连接BD,PH，当DH⊥AC时，DH有最小值，此时易得▵ACD是等腰三角形，推出AD=CD，即AD,CD有最小值，则AD+CD有最小值，此时根据∠AHD=∠CHD=∠ACB=90∘，推出DH//BC，设CD中点为O，根据∠CHD=∠CPD=90∘，易得点C,H,P,D在以点O为圆心CD为直径的 圆上，易得∠CHP+∠PDC=180∘，由∠ABC=45∘，易得此时点B在圆O上，进而推出∠CBD+∠CPD=180∘，则∠CBD=90∘，得到四边形BCHD是矩形，即HD=BC=2，利用勾股定理即可计算出CD的最小值，进而得出结果．
【详解】解：取AC中点H，连接DH交AB于点G，连接BD,PH，
当DH⊥AC时，DH有最小值，
∵点H是AC中点，DH⊥AC，
∴▵ACD是等腰三角形，
∴AD=CD，
∵AH,CH 是 定值，DH有最小值时，
即AD,CD有最小值，则AD+CD有最小值，
∵∠AHD=∠CHD=∠ACB=90∘，
∴DH//BC，
设CD中点为O，
∵∠CHD=∠CPD=90∘，
∴点C,H,P,D在以点O为圆心CD为直径的圆上，
∴∠CHP+∠PDC=180∘，
∵∠ABC=45∘，
∴此时点B在圆O上，
∴∠CBD+∠CPD=180∘，
∴∠CBD=90∘，
∵DH//BC，
∴四边形BCHD是矩形，
∴HD=BC=2，
∵HC=12AC=1，
在Rt▵CHD中，
∴CD= CH2+HD2= 5，
∴AD+CD的最小值为2CD=2 5，
故答案为：2 5．
17.【答案】【详解】解：(1)x2y+xy2
=xyx+y；
(2)12−1+2cs45∘−− 2+2024−π0
=2+2× 22− 2+1
=2+ 2− 2+1
=3

【解析】【分析】本题主要考查了分解因式，求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和实数的运算：
(1)直接提取公因式xy进行分解因式即可；
(2)先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂和负整数指数幂，最后根据实数的运算法则求解即可．
18.【答案】【详解】解：1x−2=x−1x−2−3
去分母得：1=x−1−3x−2，
去括号得：1=x−1−3x+6，
移项得：3x−x=−1+6−1，
合并同类项得：2x=4，
系数化为1得：x=2，
检验，当x=2时，x−2=0，
∴x=2是原方程的增根，
∴原方程无解．

【解析】【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案．
19.【答案】【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD,AB//CD，
∴∠BAE=∠DCF，
∵BE⊥AC,DF⊥AC，
∴BE//DF,∠BEA=∠DFC=90∘，
∴▵ABE≌▵CDFAAS，
∴BE=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．

【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的性质与判定，先由矩形的性质得到AB=CD,AB//CD，再证明BE//DF,∠BEA=∠DFC=90∘，从而证明▵ABE≌▵CDFAAS，得到BE=DF，即可证明四边形BEDF是平行四边形．
20.【答案】【小问1详解】
解：根据折线统计图，2018年幼儿园学生近视率为14.5%，小学生近视率为36.0%，中学生近视率为71.6%，而高中生近视率已达到81.0%，故①正确；
4458+3262+3616=11336(万人)=113360000(人)
2014年全国小学、初中、高中学生近视人数突破1亿人，故②正确；
2020年只有小学生的近视率达到2030年的防控要求，故③错误；
故答案为：①②；
【小问2详解】
解：由折线图可知：①随年龄的增长，学生近视率再不断增加；
由统计表数据：3818+3493+3351=10662(万人)
11336−10662=674(万人)
②年全国小学、初中、高中学生近视人数10662万人，与2014年全国小学、初中、高中学生近视人数比较减少了674万人．

【解析】【分析】本题考查折线统计图，统计表，正确处理统计表，统计图中的数据是解题的关键．
(1)根据折线统计图和统计表所给数据逐一判断即可；
(2)分别从学生年纪的增加总结学生近视率和从2030年防控要求来总结学生近视率即可．
21.【答案】【小问1详解】
解：∵一共有3个窗口，每个窗口被选择的概率相同，
∴甲同学选择A窗口检查的概率是13，
故答案为：13；
【小问2详解】
解：列表如下：
由表格可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲同学和乙同学选择同一个窗口检查的结果数有3种，
∴甲同学和乙同学选择同一个窗口检查的概率为39=13

【解析】【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
(1)根据概率计算公式求解即可；
(2)先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到两人选择同一窗口的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
22.【答案】【小问1详解】
解：把A2,4代入y1=mx中得：4=2m，解得m=2，
把A2,4代入y2=kx中得：k=2×4=8；
【小问2详解】
解：由对称性可知，点B的坐标为−2,−4，
∴由函数图象可知，当y1故答案为：x<−2或0
【解析】【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
(1)分别把点A的坐标代入两个函数解析式中进行求解即可；
(2)先由对称性求出点B的坐标，再根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案．
23.【答案】【详解】解：如图所示，延长BA交PQ延长线于C，则∠C=90∘，
设AC=xm，则BC=x+24m，
在Rt△APC中，CP=ACtan∠APC=xtan24∘≈209xm，
在Rt▵BQC中，CQ=BCtan∠BQC=x+24tan66∘≈49x+24m，
∵PQ=CP−CQ=32m，
∴209x−49x+24=32，
解得x=24，
∴BC=x+24=48m，
∴无人机的飞行高度为48m．

【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，延长BA交PQ延长线于C，则∠C=90∘，设AC=xm，则BC=x+24m，解Rt△APC得到CP≈209xm，解Rt▵BQC得到CQ≈49x+24m，进而建立方程209x−49x+24=32，解方程即可得到答案．
24.【答案】【详解】解：如图1所示，取格点D，E，连接AE，则射线AE即为∠A的角平分线；
易证明AC=AD且点E为CD的中点，则由三线合一定理可得射线AE即为∠A的角平分线；
如图2所示，取格点D、E、F、H，连接DE,AF交于G，连接CG,DH交于O，则射线AO即为所求；
易证明AC=CF且点G为AF的中点，则CG平分∠ACF，由网格的特点可知DH平分∠ADC，根据三角形三条角平分线交于一点可知射线AO即为所求．

【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，如图1所示，取格点D，E，连接AE，则射线AE即为∠A的角平分线；如图2所示，取格点D、E、F、H，连接DE,AF交于G，连接CG,DH交于O，则射线AO即为所求．
25.【答案】【小问1详解】
证明：如图所示，连接OA,OB,OC，
∵AB=AC=AD，BC=CD，
∴▵ABC≌▵ACDSSS，
∴∠ACD=∠ABC=∠ACB，
∵OA=OB=OC,AB=AC，
∴▵OAB≌▵OACSSS，
∴∠OAC=∠OCA=∠OAB，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180∘，
∴2∠OCA+2∠ACB=180∘，
∴∠OCA+∠ACB=90∘，
∴∠OCA+∠ACD=90∘，
∴OC⊥CD，
又∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
【小问2详解】
解：①如图所示，连接CE，
由圆内接四边形的性质可得∠B+∠AEC=180∘，
又∵∠AEC+∠CED=180∘，
∴∠B=∠CED，
由(1)可知∠B=∠ACD=∠D，
∴∠D=∠CED，
∴CE=CD=BC=4，
设AB=AD=x，则DE=x−6，
∵∠B=∠ACB=∠D=∠CED，
∴▵ABC∽▵CDE，
∴ABBC=CDDE，即x4=4x−6，
解得x=8或x=−2(舍去)
∴AB=8；
②如图所示，过点O作OE⊥BC于H，连接OB,AH，
∴BH=CH=12BC=2，
∵AB=AC，
∴AH⊥BC，
∴A、O、H三点共线，
在Rt▵ABH中，由勾股定理得AH= AB2−BH2=2 15，
设OB=OA=r，则OH=2 15−r，
在Rt▵BOH中，由勾股定理得OB2=OH2+BH2，
∴r2=2 15−r2+22，
解得r=16 1515，
∴⊙O的半径为16 1515．

【解析】【分析】(1)如图所示，连接OA,OB,OC，证明▵ABC≌▵ACDSSS得到∠ACD=∠ABC=∠ACB，再证明▵OAB≌▵OACSSS得到∠OAC=∠OCA=∠OAB，进而得到∠OCA+∠ACD=90∘，由此即可证明CD是⊙O的切线；
(2)①如图所示，连接CE，证明∠B=∠CED，进而证明∠D=∠CED，得到CE=CD=BC=4，设AB=AD=x，则DE=x−6，证明▵ABC∽▵CDE，得到ABBC=CDDE，即x4=4x−6，解得x=8或x=−2(舍去)则AB=8；②过点O作OE⊥BC于H，连接OB,AH，则BH=CH=12BC=2，由勾股定理得AH=2 15，设OB=OA=r，则OH= 15−r，由勾股定理得r2= 15−r2+22，解方程即可得到答案．
26.【答案】【小问1详解】
证明：列方程0=−x2−2ax+4a+5，
Δ=−2a2−−1×4×4a+5=4a2+16a+20=4x+22+4≥4，
∴方程0=−x2−2ax+4a+5有两个不相同的实数根，
即不论a为何值，该函数图象与x轴必有公共点；
【小问2详解】
解：①当a=−2时，二次函数解析式为y=−x2+4x−3，
∵y=−x2+4x−3=−x−22+1，
∴该函数图象的顶点坐标为2,1；
②函数的图象与线段AB有且只有一个公共点，考虑三种情况，
当函数图象的右边交于线段AB时，
可得当x=−2时，函数图象在线段上方，当x=4时，函数图象在线段下方，
故可得不等式−−22−2×−2a+4a+5≥1−42−2×4a+4a+5<1,
解得a≥0，
经过检验当a=0时，函数图象与线段产生两个交点，
∴a≠0，即a>0；
当函数图象的左边交于线段AB时，
可得当x=−2时，函数图象在线段下方，当x=4时，函数图象在线段上方，
故可得不等式−−22−2×−2a+4a+5<1−42−2×4a+4a+5≥1,
解得a≤−3，
经过检验当a=−3时，函数图象与线段产生两个交点，
∴a≠−3，即a<−3；
当函数图象的顶点在线段AB时，
二次函数y=−x2−2ax+4a+5的顶点为−a,a2+4a+5，
即a2+4a+5=1，解得a=−2，
综上所述，a>0或a<−3且a=−2．

【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质并分类讨论是解题的关键．
(1)根据根的判别式，即可解答；
(2)①把a=−2代入函数解析式，求出顶点坐标即可；
②考虑三种情况，即函数图象的顶点在线段AB上；函数图象的左边交于线段AB时；函数图象的右边交于线段AB时，依次解答即可．
27.【答案】【详解】(1)解：如图所示，线段A′B′为所求；
(2)证明：连接OA,OB,OC,AD,BD,BE,CE,CF,AF，
∵点O关于▵ABC三边AB,BC,CA的中点对称的点分别为点D，E，F，
∴AB,OD互相平分，BC,OE互相平分，AC,OF互相平分，
∴四边形ADBO,EFCO,AOCF平行四边形，
∴AD=BO,BO=EC,AD//BO,BO//EC，
∴AD=CE,AD//CE，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴DE=AC，
同理：四边形BCFD,ABEF是平行四边形，
∴AB=EF,BC=DF，
∴▵EFD≌▵ABCSSS；
(3)证明：①连接OA,OB,OD,OC,AM,AQ,BM,BN,CN,CP,DP,DQ,BD，
∵点O关于四边形ABCD四条边AB,BC,CD,DA的中点对称的点分别为M、N、P、Q，
∴AB,OM互相平分，OD,AQ互相平分，CD,OP互相平分，BC,ON互相平分，
∴四边形OBMA,OAQD,OBNC,OCPD是平行四边形，
∴BM=OA,BM//OA,DQ=OA,DQ//OA，
∴BM=DQ,BM//DQ，
∴四边形BMQD是平行四边形，
∴BD=MQ,BD//MQ，
同理得：四边形BNPD是平行四边形，
∴BD=NP,BD//NP，
∴MQ=NP,MQ//NP，
∴四边形MNPQ是平行四边形；
②连接OA,OD,OC,AQ,CP,DP,DQ,BD,AC，
由①知四边形OAQD,OCPD是平行四边形
∴OD=AQ,OD//AQ,OD=CP,OD//CP，
∴AQ=CP,AQ//CP，
∴四边形ACPQ是平行四边形，
∴AC//PQ,AC=PQ，
由①知BD//MQ，
∵四边形MNPQ是矩形，
∴MQ⊥PQ，
∴AC⊥MQ，
∴AC⊥BD，
∴当四边形ABCD的对角线AC⊥BD时，四边形MNPQ是矩形；
此时四边形ABCD的面积S1=12AC⋅BD，四边形MNPQ的面积S2=MQ⋅PQ，
∵BD=MQ,AC=PQ，
∴S2=2S1，
故答案为：对角线AC⊥BD；S2=2S1．

【解析】【分析】(1)作射线AO,BO，以O为圆心，分别以OA,OB为半径画弧，分别交射线AO,BO于点A′,B′，连接A′B′即可；
(2)连接OA,OB,OC,AD,BD,BE,CE,CF,AF，利用对角线互相平分证明四边形ADBO,EFCO,AOCF是平行四边形，得ADEC,BCFD,ABEF是平行四边形，推出AC=DE,AB=EF,BC=DF，利用SSS即可证明▵EFD≌▵ABC；
(3)①连接OA,OB,OD,OC,AM,AQ,BM,BN,CN,CP,DP,DQ,BD，利用对角线互相平分证明四边形OBMA,OAQD,OBNC,OCPD是平行四边形，得BMQD,BNPD是平行四边形，推出BD=MQ,BD//MQ,BD=NP,BD//NP，即可证明四边形MNPQ是平行四边形；②连接OA,OD,OC,AQ,CP,DP,DQ,BD,AC，由①知四边形OAQD,OCPD是平行四边形，即可推出OD=AQ,OD//AQ,OD=CP,OD//CP，进而得到AQ=CP,AQ//CP，得到四边形ACPQ是平行四边形，即AC//PQ，由①知BD//MQ，根据MNPQ是矩形，MQ⊥PQ，得到AC⊥MQ，即AC⊥BD，即可得出结论；根据此时四边形ABCD的面积S1=12AC⋅BD，四边形MNPQ的面积S2=MQ⋅PQ，即可得出结论．
人数
2010年
2014年
2018年
2020年
小学生
3107
4458
3722
3818
中学生
3061
3262
3331
3493
高中生
3554
3616
3187
3351
甲
乙
A
B
C
A
A,A
B,A
C,A
B
A,B
B,B
C,B
C
A,C
B,C
C,C