江苏省扬州树人学校2022-2023学年八年级上学期9月月考数学试题(含答案)

这是一份江苏省扬州树人学校2022-2023学年八年级上学期9月月考数学试题(含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：
1．（3分）下列四个剪纸图案是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列三角形与如图全等的三角形是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等
D．三角形具有稳定性
4．（3分）如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SASB．SSSC．AASD．ASA
5．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同
B．全等三角形的对应边相等，对应角相等
C．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关
D．面积相等的两个图形是全等图形
6．（3分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE＝4，则△ABD的周长为（ ）
A．26B．20C．18D．14
7．（3分）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（3分）如图，点P是△ABC内一点，且PA＝PB＝PC，则点P是（ ）
A．△ABC三条高的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三边垂直平分线的交点
D．△ABC三条中线的交点
二、填空题：
9．（3分）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是 ．
10．（3分）“线段、角、三角形、圆”这四个图形中，是轴对称图形的有 个．
11．（3分）在镜子中看到时钟显示的时间，则实际时间是 ．
12．（3分）已知一个三角形的三边长分别为2，7，x，另一个三角形的三边分别为y，2，8，若三角形全等，则x+y＝ ．
13．（3分）已知△ABC≌△DEF，△DEF的周长为32cm，DE＝9cm，EF＝12cm，则AC＝ ．
14．（3分）如图，△ACE≌△DBF，若∠A＝66°，∠E＝78°，则∠FBD的度数为 ．
15．（3分）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝ ．
16．（3分）已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，△ABP和△DCE全等．
17．（3分）如图，已知△ABC，直线a⊥AC于点D，且AD＝CD，点P是直线a上一动点，连接PB，PC，若AB＝5，AC＝6，BC＝3，则△PBC周长的最小值是 ．
18．（3分）在△ABC中，高AD、BE所在直线交于H点，若BH＝AC，则∠ABC＝ ．
三、解答题：
19．如图，AD＝CB，∠1＝∠2，求证：AB∥CD．
20．已知：如图，点O在射线AP上，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：OB＝OC．
21．已知：如图，AC＝AD，∠1＝∠2，∠B＝∠E．求证：BC＝ED．
22．尺规作图：某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵桂花树．如图，要求桂花树的位置（视为点P），到花坛的两边AB、BC的距离相等，并且点P到点A、D的距离也相等．请用尺规作图作出栽种桂花树的位置点P（不写作法，保留作图痕迹）．
23．如图，已知：AB⊥BC于B，EF⊥AC于G，DF⊥BC于D，BC＝DF，求证：AC＝EF．
24．如图，AB＝AC，BD＝CD，那么∠B与∠C是否相等？为什么？
25．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E．证明：BD垂直平分AE．
26．如图所示，△ABC≌△A′B′C′，AD，A′D′为△ABC与△A′B′C′的中线，请说明AD＝A′D′．
27．如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，求证：∠BAD＝∠DAC+∠C．
28．学习角的平分线之后，老师留了一道思考题：还有没有其他作角平分线的方法（不限于圆规和直尺）．下面是两位同学给出的两种方法：
（1）同学1：我是用三角板按下面方法画角平分线：如图1，在已知的∠AOB上，分别取OC＝OD．再分别过点C，D作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB．
请你帮这位同学证明：OP平分∠AOB．
（2）同学2：我是用圆规和直尺按下面方法画角平分线：如图2，以O为圆心，以任意长为半径画弧与OA．OB交于点C，D，再以任意长为半径画弧与OA，OB交于点E，F，连接CF，DE交于点P，连接OP，则OP平分∠AOB．你认为同学2这种作角平分线的方法正确吗？若正确，请你给出证明过程；若错误，说出你的理由．
江苏省扬州树人学校2022-2023学年八年级上学期9月月考
数学试题参考答案与试题解析
一、选择题：
1．（3分）下列四个剪纸图案是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．
【解答】解：A、剪纸图案是轴对称图形，本选项符合题意；
B、剪纸图案不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C、剪纸图案不是轴对称图形，本选项不符合题意；
D、剪纸图案不是轴对称图形，本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）下列三角形与如图全等的三角形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形的内角和定理求出第三个角的度数，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：180°﹣51°﹣49°＝80°，
A．只有两边相等，不符合全等三角形的判定定理，不能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；
B．只有两边相等，不符合全等三角形的判定定理，不能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；
C．符合全等三角形的判定定理SAS，能推出两三角形全等，故本选项符合题意；
D．只有两边相等，不符合全等三角形的判定定理，不能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
3．（3分）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等
D．三角形具有稳定性
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，
故选：D．
【点评】此题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答．
4．（3分）如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SASB．SSSC．AASD．ASA
【分析】由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，根据SSS可得到三角形全等．
【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，得到∠A′O′B′＝∠AOB．
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理．
5．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同
B．全等三角形的对应边相等，对应角相等
C．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关
D．面积相等的两个图形是全等图形
【分析】直接利用全等图形的性质进而分析得出答案．
【解答】解：A、如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，正确，不合题意；
B、全等三角形的对应边相等，对应角相等，正确，不符合题意；
C、图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关，正确，不合题意；
D、面积相等的两个图形不一定是全等图形，符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等图形的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
6．（3分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE＝4，则△ABD的周长为（ ）
A．26B．20C．18D．14
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，BC＝2BE＝8，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，BC＝2BE＝8，
∵△ABC的周长为22，
∴AB+BC+AC＝22，
∴AB+AC＝14，
∴△ABD的周长＝AD+BD+AB＝AD+CD+AB＝AB+AC＝14，
故选：D．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7．（3分）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据全等三角形的判定得出点P的位置即可．
【解答】解：要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P3，P4三个，
故选：C．
【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是利用全等三角形的判定进行判定点P的位置．
8．（3分）如图，点P是△ABC内一点，且PA＝PB＝PC，则点P是（ ）
A．△ABC三条高的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三边垂直平分线的交点
D．△ABC三条中线的交点
【分析】根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理进行判断．
【解答】解：∵PA＝PB，
∴P点在AB的垂直平分线上，
同理可得P点在AC的垂直平分线上，P点在BC的垂直平分线上，
∴P点为△ABC三边垂直平分线的交点．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了线段垂直平分线的性质定理的逆定理．
二、填空题：
9．（3分）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是 95° ．
【分析】利用全等图形的定义可得∠D＝∠D′＝130°，然后再利用四边形内角和为360°可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，
∴∠D＝∠D′＝130°，
∴∠A＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠D＝360°﹣75°﹣60°﹣130°＝95°，
故答案为：95°．
【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．
10．（3分）“线段、角、三角形、圆”这四个图形中，是轴对称图形的有 3 个．
【分析】根据轴对称图形的概念分析判断即可得解．
【解答】解：线段是轴对称图形，对称轴是线段的垂直平分线和线段本身所在的直线，
角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线，
三角形不一定是轴对称图形，
圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的直线．
综上所述，是轴对称图形的有3个．
故答案为：3．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
11．（3分）在镜子中看到时钟显示的时间，则实际时间是 21：05 ．
【分析】把20：15写在透明纸上，从反面看到即可．
【解答】解：实际时间为21：05．
故答案为21：05．
【点评】本题考查了镜面对称：关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果．
12．（3分）已知一个三角形的三边长分别为2，7，x，另一个三角形的三边分别为y，2，8，若三角形全等，则x+y＝ 15 ．
【分析】根据全等三角形的性质和已知得出x＝8，y＝7，代入求出即可．
【解答】解：∵已知一个三角形的三边长分别为2，7，x，另一个三角形的三边分别为y，2，8，
∴要使两三角形全等，只能x＝8，y＝7，
∴x+y＝15．
故答案为：15
【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等．
13．（3分）已知△ABC≌△DEF，△DEF的周长为32cm，DE＝9cm，EF＝12cm，则AC＝ 11cm ．
【分析】求出DF的长，根据全等三角形的性质得出AC＝DF，即可得出答案．
【解答】解：∵△DEF周长是32cm，DE＝9cm，EF＝12cm，
∴DF＝32cm﹣9cm﹣12cm＝11cm，
∵△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF＝11cm，
故答案为：11cm．
【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
14．（3分）如图，△ACE≌△DBF，若∠A＝66°，∠E＝78°，则∠FBD的度数为 36° ．
【分析】根据全等三角形性质求出∠D，∠F，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：∵△ACE≌△DBF，∠A＝66°，∠E＝78°，
∴∠D＝∠A＝66°，∠F＝∠E＝78°，
∴∠FBD＝180°﹣∠D﹣∠F＝36°，
故答案为：36°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
15．（3分）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝ 45° ．
【分析】直接利用网格得出对应角∠1＝∠3，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
由题意可得：∠1＝∠3，
则∠1+∠2＝∠2+∠3＝45°．
故答案为：45°．
【点评】此题主要考查了全等图形，正确借助网格分析是解题关键．
16．（3分）已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 1或7 秒时，△ABP和△DCE全等．
【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP＝2t＝2和AP＝16﹣2t＝2即可求得．
【解答】解：因为AB＝CD，若∠ABP＝∠DCE＝90°，BP＝CE＝2，
根据SAS证得△ABP≌△DCE，
由题意得：BP＝2t＝2，
所以t＝1，
因为AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，AP＝CE＝2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，
由题意得：AP＝16﹣2t＝2，
解得t＝7．
所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．
故答案为：1或7．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL．
17．（3分）如图，已知△ABC，直线a⊥AC于点D，且AD＝CD，点P是直线a上一动点，连接PB，PC，若AB＝5，AC＝6，BC＝3，则△PBC周长的最小值是 8 ．
【分析】找出C点关于a的对称点A，AB交a于P，则△PBC的周长最小，求出即可．
【解答】解：设直线a与AB交于P′，当点P与点P′重合时，PB+PC最小，即△PBC的周长最小，
∵直线a⊥AC于点D，且AD＝CD，
∴直线a是AC的垂直平分线，
∴P′C＝P′A，
∴△PBC的周长＝PC+PB+BC＝P′A+P′B+BC＝AB+BC＝5+3＝8，
∴△PBC周长的最小值是8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查轴对称﹣最短路线问题，确定P点的位置是解答本题的关键．
18．（3分）在△ABC中，高AD、BE所在直线交于H点，若BH＝AC，则∠ABC＝ 45°或135° ．
【分析】根据题意画出两个图形，证△HBD≌△CAD，推出AD＝DB，推出∠DAB＝∠DBA，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出∠ABD，即可求出答案．
【解答】解：分为两种情况：
①如图1，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB＝∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠HBD+∠C＝∠CAD+∠C＝90°，
∴∠HBD＝∠CAD，
∵在△HBD和△CAD中，
，
∴△HBD≌△CAD（AAS），
∴AD＝BD，
∴∠DAB＝∠DBA，
∵∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝45°，
即∠ABC＝45°；
②如图2，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠HDB＝∠AEH＝90°，
∴∠H+∠HAE＝∠C+∠HAE＝90°，
∴∠H＝∠C，
∵在△HBD和△CAD中，
，
∴△HBD≌△CAD（AAS），
∴AD＝BD，
∴∠DAB＝∠DBA，
∵∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣45°＝135°；
故答案为45°或135°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂直定义，三角形的内角和定理等知识点的应用，用了分类讨论思想．
三、解答题：
19．如图，AD＝CB，∠1＝∠2，求证：AB∥CD．
【分析】证明△ACB≌△CAD（SAS），由全等三角形的性质得出∠CAB＝∠ACD，则可得出结论．
【解答】证明：在△ACB和△CAD中，
，
∴△ACB≌△CAD（SAS），
∴∠CAB＝∠ACD，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
20．已知：如图，点O在射线AP上，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：OB＝OC．
【分析】根据∠3＝∠4，可得∠AOB＝∠AOC，又已知∠1＝∠2，公共边AO，利用ASA可证得△ABO≌△ACO，得出OB＝OC．
【解答】证明：∵∠3＝∠4，
∴∠AOB＝∠AOC，
在△ABO和△ACO中，
，
∴△ABO≌△ACO（ASA），
∴OB＝OC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定方法，利用ASA证得△ABO≌△ACO，即可得出OB＝OC．
21．已知：如图，AC＝AD，∠1＝∠2，∠B＝∠E．求证：BC＝ED．
【分析】由∠1＝∠2可得：∠EAD＝∠BAC，再有条件AD＝AC，∠B＝∠E可利用AAS证明△ABC≌△AED，再根据全等三角形对应边相等可得BC＝ED．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，
∴∠EAD＝∠BAC，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（AAS），
∴BC＝ED．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
22．尺规作图：某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵桂花树．如图，要求桂花树的位置（视为点P），到花坛的两边AB、BC的距离相等，并且点P到点A、D的距离也相等．请用尺规作图作出栽种桂花树的位置点P（不写作法，保留作图痕迹）．
【分析】到AB、BC距离相等的点在∠ABC的平分线上，到点A、D的距离相等的点在线段AD的垂直平分线上，AD的中垂线与∠B的平分线的交点即为点P的位置．
【解答】解：如图所示：点P即为所求．
【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握角平分线以及线段垂直平分线的性质是解题关键．
23．如图，已知：AB⊥BC于B，EF⊥AC于G，DF⊥BC于D，BC＝DF，求证：AC＝EF．
【分析】欲证明AC＝EF，根据ASA证明△ABC≌△EDF即可；
【解答】证明：∵AB⊥BC于B，EF⊥AC于G，DF⊥BC于D，
∴∠B＝∠EDF＝∠EGC＝90°，
∴∠C+∠GEC＝90°，∠F+∠GEC＝90°，
∴∠F＝∠C，
在△ABC和△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（ASA），
∴AC＝EF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等的条件，属于中考常考题型．
24．如图，AB＝AC，BD＝CD，那么∠B与∠C是否相等？为什么？
【分析】∠B和∠C相等，理由为：连接AD，由AB＝AC，BD＝CD，以及AD为公共边，利用SSS可得出三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形的对应角相等可得证．
【解答】解：∠B＝∠C，理由为：
连接AD，如图所示：
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠B＝∠C．
【点评】】此题考查了全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
25．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E．证明：BD垂直平分AE．
【分析】根据已知和角平分线性质求出∠ABD＝∠EBD，∠BAD＝∠BED＝90°，证△BAD≌△BED，推出AB＝BE，根据等腰三角形的性质得出即可．
【解答】证明：∵∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，
∴∠ABD＝∠EBD，∠BAD＝∠BED＝90°，
在△BAD和△BED中
∴△BAD≌△BED（AAS），
∴AB＝BE，
∵BD平分∠ABE，
∴BD垂直平分AE（三线合一），
【点评】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是求出AB＝BE．
26．如图所示，△ABC≌△A′B′C′，AD，A′D′为△ABC与△A′B′C′的中线，请说明AD＝A′D′．
【分析】可证明△ABD≌△A′B′D′（SAS），则对应边AD＝A′D′．
【解答】证明：如图，∵△ABC≌△A′B′C′，
∴AB＝A′B′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′．
∵AD，A′D′为△ABC与△A′B′C′的中线，
∴BD＝B′D′，
∴在△ABD与△A′B′D′中，，
∴△ABD≌△A′B′D′（SAS），
∴AD＝A′D′．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的对应边上的中线、高相等．
27．如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，求证：∠BAD＝∠DAC+∠C．
【分析】延长AD交BC于E，根据外角的性质可知∠BED＝∠DAC+∠C，根据角平分线的性质和三角形的内角和定理可知∠BAD＝∠BED，等量代换得出结论．
【解答】解：延长AD交BC于E，
∵∠BED是△AEC的外角，
∴∠BED＝∠DAC+∠C，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠EBD，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠EDB＝90°，
∴∠BAD＝∠BED，
∴∠BAD＝∠DAC+∠C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是正确添加辅助线利用外角的性质解题．
28．学习角的平分线之后，老师留了一道思考题：还有没有其他作角平分线的方法（不限于圆规和直尺）．下面是两位同学给出的两种方法：
（1）同学1：我是用三角板按下面方法画角平分线：如图1，在已知的∠AOB上，分别取OC＝OD．再分别过点C，D作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB．
请你帮这位同学证明：OP平分∠AOB．
（2）同学2：我是用圆规和直尺按下面方法画角平分线：如图2，以O为圆心，以任意长为半径画弧与OA．OB交于点C，D，再以任意长为半径画弧与OA，OB交于点E，F，连接CF，DE交于点P，连接OP，则OP平分∠AOB．你认为同学2这种作角平分线的方法正确吗？若正确，请你给出证明过程；若错误，说出你的理由．
【分析】（1）由作法得OC＝OD，则可判断Rt△OPC和≌Rt△OPD，从而得到OP平分∠AOB；
（2）由作法得OC＝OD，OE＝OF，则可判断△OCF≌△ODE，根据全等三角形的性质得到P点到OE、OF的距离相等，然后根据角平分线的性质定理的逆定理可判断点P在∠EOF的平分线上，从而得到同学2这种作角平分线的方法正确．
【解答】（2）证明：由作法得OC＝OD，
在Rt△OPC和Rt△OPD中，
，
∴Rt△OPC≌Rt△OPD（HL），
∴∠COP＝∠DOP，
∴OP平分∠AOB；
②解：同学2这种作角平分线的方法正确．
理由如下：由作法得OC＝OD，OE＝OF，
在△OCF和△ODE中，
，
∴△OCF≌△ODE（SAS），
∴∠OEP＝∠OFP，
∵OE＝OF，OC＝OD，
∴CE＝DF，
∵∠CPE＝∠DPF，
∴△CPE≌△DPF（AAS），
∴PE＝PF，
∴△OPE≌△OPF（AAS）
∴∠POE＝∠POF，
∴OP平分∠AOB．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，属于中考常考题型．