南京市第二十九中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

这是一份南京市第二十九中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 平行四边形
2. 下列调查中，更适宜普查的是（ ）
A. 对某校八年级学生视力情况的调查B. 对南京市全市空气质量情况的调查
C. 对长江流域现有鱼的种类的调查D. 对全国中学生心理健康现状的调查
3. 菱形具有而矩形不一定具有性质是（ ）
A. 对角线相等B. 对角线互相垂直C. 对角相等D. 对边平行
4. 如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值是（ ）
A. 扩大为原来的 4 倍B. 扩大为原来的 2 倍
C. 不变D. 缩小为原来倍
5. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转110°得到，连接，若 ，则度数为（ ）
A. 75°B. 80°C. 85°D. 90°
6. 如图，点O为矩形的对称中心，动点P从点A出发沿向点B移动，移动到点B停止，延长交于点Q，则四边形形状的变化依次为（ ）
A. 平行四边形—矩形—平行四边形—矩形B. 平行四边形—菱形—平行四边形—矩形
C. 平行四边形—矩形—菱形—矩形D. 平行四边形—菱形—平行四边形
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
7. 分式有意义的条件是______．
8. 某次数学单元测试后，八年级某班 50 名学生本次成绩为 A、B、C 等级的频数分别是 12、21、12，其余同学成绩为 D 等级，则 D 等级的频率是______．
9. 列举出一个生活中的必然事件：______．
10. 在式子①；②；③；④；⑤；⑥中，分式有______个．
11. 从一副扑克牌中任意抽取1张，则下列事件：①这张牌是“2”，②这张牌是“红桃”，③这张牌是“黑桃 3”，按其发生的可能性从小到大的顺序是______（填写序号）
12. 如图，菱形中，点O为对角线的交点，E、F、G、H 是菱形的各边中点，若，，则四边形 的面积为______．
13. 如图，四边形 中，，，，，，则 ______．
14. 如图，中，点 D、E 在边上，的平分线垂直于，垂足为 N，的平分线垂直于，垂足为 M．若，，则的周长为______．
15. 如图，E为矩形边延长线上一点，且，交于F，若，则______°．
16. 如图，中，，，D为边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点四边形为平行四边形时，长的范围是______．
三、解答题（本大题共4小题，共52分）
17. （1）约分：
（2）化简：
（3）先化简，再求值：，其中．
18. 按要求完成画图（作图），并保留必要的画图（作图）痕迹．
（1）方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上．
①试画出以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形；
②以原点O为对称中心，画出与关于原点O对称的；
（2）如图，平行四边形中，E是 的中点，只用一把无刻度的直尺，找出四边形各边的中点
19. 如图，已知：在四边形中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）当______°时，四边形是正方形；
（3）在（2）的条件下，若，则四边形的面积为 ．
20. 正方形中，对角线、交于点O，点E、F、G分别在边、、上．
（1）在图①中，于点P，连接、；
①判断线段、之间关系____________；
②若，，P、Q两点关于直线对称，直接写出线段的长度______；
③若，当E、F在边、上运动时，的最小值是______；
（2）在图②中，于点P，连接，比较 与的大小关系，并说明理由．答案与解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 平行四边形
【答案】D
【解析】
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；根据定义对各选项进行判断即可．
【详解】解：A中正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意；
B中矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意；
C中菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意；
D平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形．解题的关键在于对中心对称图形与轴对称图形定义的正确理解．
2. 下列调查中，更适宜普查的是（ ）
A. 对某校八年级学生视力情况的调查B. 对南京市全市空气质量情况的调查
C. 对长江流域现有鱼的种类的调查D. 对全国中学生心理健康现状的调查
【答案】A
【解析】
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【详解】A、对某校八年级学生视力情况的调查，适宜普查，故本选项符合题意；
B、对南京市全市空气质量情况的调查，适宜抽样调查，故本选项不符合题意；
C、对长江流域现有鱼的种类的调查，适宜抽样调查，故本选项不符合题意；
D、对全国中学生心理健康现状的调查，适宜抽样调查，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查是抽样调查和全面调查的区别，熟练掌握选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用是解题的关键．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A. 对角线相等B. 对角线互相垂直C. 对角相等D. 对边平行
【答案】B
【解析】
【分析】利用矩形与菱形的性质逐个判断即可．
【详解】矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，故A不符合题意；
矩形的对角线互相不垂直，菱形的对角线互相垂直，故B符合题意；
因为矩形与菱形都是特殊的平行四边形，所以矩形与菱形的对角都相等，故C不符合题意；
因为矩形与菱形都是特殊的平行四边形，所以矩形与菱形的对边都平行，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形与菱形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形与菱形的性质．
4. 如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值是（ ）
A. 扩大为原来的 4 倍B. 扩大为原来的 2 倍
C. 不变D. 缩小为原来的倍
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：把分式中的x和y都扩大2倍得：
所以分式的值不变，
故选：C．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
5. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转110°得到，连接，若 ，则的度数为（ ）
A. 75°B. 80°C. 85°D. 90°
【答案】A
【解析】
【分析】由旋转的性质可得，，由此即可求出，由平行线的性质求出即可得到答案．
【详解】解：由旋转的性质可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟知旋转的性质是解题的关键．
6. 如图，点O为矩形的对称中心，动点P从点A出发沿向点B移动，移动到点B停止，延长交于点Q，则四边形形状的变化依次为（ ）
A. 平行四边形—矩形—平行四边形—矩形B. 平行四边形—菱形—平行四边形—矩形
C. 平行四边形—矩形—菱形—矩形D. 平行四边形—菱形—平行四边形
【答案】B
【解析】
【分析】根据对称中心的定义，矩形的性质，可得四边形APCQ的形状变化情况，这个四边形首先是平行四边形，当对角线互相垂直时，是菱形，然后又是平行四边形，最后点A、B重合时是矩形．
【详解】解：观察图形可知，四边形APCQ形状的变化一次为：平行四边形—菱形—平行四边形—矩形
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识，在重要考点，掌握相关知识是解题关键．
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
7. 分式有意义的条件是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的分母不能为0即可解答．
【详解】根据题意可知，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查分式有意义的条件．掌握分式的分母不能为0是解题关键．
8. 某次数学单元测试后，八年级某班 50 名学生本次成绩为 A、B、C 等级的频数分别是 12、21、12，其余同学成绩为 D 等级，则 D 等级的频率是______．
【答案】0.1
【解析】
【分析】根据频率的定义解决问题即可．
【详解】D 等级的频数= 50- 12- 21- 12= 5，
D 等级的频率=，
故答案为： 0.1．
【点睛】本题考查频数与频率，解题的关键是理解频率的定义，属于中考常考题型．
9. 列举出一个生活中的必然事件：______．
【答案】太阳从东边升起（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据必然事件的定义：在一定条件下，一定会发生的事件是必然事件，由此写出一个必然事件即可．
【详解】解：由题意得：太阳从东边升起是必然事件，
故答案为：太阳从东边升起（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了必然事件的定义，熟知定义是解题的关键．
10. 在式子①；②；③；④；⑤；⑥中，分式有______个．
【答案】4
【解析】
【分析】根据分式的定义，形如(A、B是整式，且B中含有字母，B0)的式子叫做分式，紧扣定义，便可判断出有4个式子是分式．
【详解】解：①，②，④，⑤这4个式子都符合分式的定义，
③，⑥的分母都不含字母，不符合分式的定义，
综上，分式有4个．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
11. 从一副扑克牌中任意抽取1张，则下列事件：①这张牌是“2”，②这张牌是“红桃”，③这张牌是“黑桃 3”，按其发生的可能性从小到大的顺序是______（填写序号）
【答案】③①②
【解析】
【分析】分别求出一副牌中含“2”， “红桃”， “黑桃 3”的张数各是多少，再根据每张牌被抽到的机会相等，只要比较出哪个事件的可能结果最多，即可判断出这些事件发生的可能性大小，并按其发生的可能性从小到大排序即可．
【详解】解：一副牌中含“2”4张，“红桃”13张， “黑桃 3”1张，
将这些事件按其发生的可能性从小到大排序为：③①②
故答案为：③①②．
【点睛】本题考查随机事件发生的可能性大小，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
12. 如图，菱形中，点O为对角线的交点，E、F、G、H 是菱形的各边中点，若，，则四边形 的面积为______．
【答案】12
【解析】
【分析】利用三角形中位线定理，可以证明四边形EFGH和四边形MFNO是平行四边形，同时得到四边形EFGH的边长，再证明四边形MFNO是矩形，∠MFN是直角，则四边形EFGH是矩形，即可求得面积．
【详解】解：如图，设EF交BD于点M，FG交AC于点N，

∵ E、F、G、H 是菱形的各边中点，
∴EHBD，FGBD，EFAC，GHAC，EH＝FG＝BD＝4，GH＝EF＝AC＝3
∴EHFG，EFGH，FMON，FNOM
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD
∴∠MON＝90°
∴四边形EFGH是矩形
∴四边形的面积＝EF×FG＝12
故答案为：12
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、菱形的性质、矩形的判定方法等知识，熟练掌握相关知识的应用是解题的关键．
13. 如图，四边形 中，，，，，，则 ______．
【答案】2.5
【解析】
【分析】平移一腰，得到平行四边形和含30°角的直角三角形，根据它们的性质进行计算．
【详解】解：作DEAB交BC于点E，
∵AD∥BC，
则四边形ABED是平行四边形．
∴AB∥DE，AB＝DE，AD＝BE，
∴∠DEC＝∠B＝60°，
∵∠C＝30°，
∴∠EDC＝180°−60°−30°＝90°，
∵CE＝BC−BE＝BC−AD＝5，
∴DE＝2.5，
即AB＝2.5，
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查的是与梯形有关的求解问题，平移一腰是梯形中常见的辅助线，同时考查了平行四边形的性质和含30°角的直角三角形的性质．
14. 如图，中，点 D、E 在边上，的平分线垂直于，垂足为 N，的平分线垂直于，垂足为 M．若，，则的周长为______．
【答案】24
【解析】
【分析】根据角平分线及垂线定义易证明△ABN≌△EBN，得到AB=BE，AN=EN，同理易证△ACM≌△DCM，得到AC=DC，AM=MD．由此得到MN是△ADE的中位线，即可求出DE的长，从而可求出AB、AC和BC的长，即可求出△ABC的周长．
【详解】∵BN平分∠ABC，
∴∠ABN=∠EBN．
∵BN⊥AE，
∴∠ANB=∠ENB=90°．
∵BN=BN，
∴△ABN≌△EBN(ASA)，
∴AB=BE，AN=EN．
同理可证△ACM≌△DCM(ASA)，
∴AC=DC，AM=MD，
∴MN是△ADE的中位线，
∴DE=2MN=4，
∴BE=BD+DE=2+4=6，DC=DE+EC=4+4=8，BC= BD+DE+EC=2+4+4=10，
∴AB=6，AC=8，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=6+8+10=24．
故答案为：24．
【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，角平分线的定义，垂线定义，三角形中位线定理，证明MN是△ADE的中位线是解题的关键．
15. 如图，E为矩形边延长线上一点，且，交于F，若，则______°．
【答案】
【解析】
【分析】根据等边对等角性质可得，然后根据矩形对角线相等且互相平分，进而求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.
【详解】连接AC，在矩形ABCD中，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的性质，主要利用了矩形的对角线平分一组对角，等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
16. 如图，中，，，D为边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形时，长的范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】分两种情况讨论，当BC为边时，DE=BC=8． 当BC为对角线时，首先根据已知得出DE最小时D的位置，进而利用三角形面积求出DF的长，进而得出答案．
【详解】解：当BC为边时，DE=BC=8．
当BC为对角线时，
如图所示：取的中点F，过点F作FH⊥AB于点H， 连接AF，
∵AB=AC=5，BC=8，BF=CF=4，
∴，
∴AF=，
∵S△AFB=AF×BF=FH×AB，
∴FH=
∵四边形CDBE是平行四边形，
当D运动到与H点重合时，此时FH最小，

∴DE=．
∴DE的最小值为：．
D不能与B重合，此时平行四边形不存在，

综上：
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形面积和勾股定理等知识，根据已知得出D的位置是解题关键．
三、解答题（本大题共4小题，共52分）
17. （1）约分：
（2）化简：
（3）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据分式的基本性质进行约分即可；
（2）根据同分母分式的减法计算法则先合并，再利用分式的基本性质化简即可；
（3）先根据异分母分式加减计算法则合并，然后约分，最后代值计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
，
∵
∴设，，
∴原式．
【点睛】本题主要考查了分式的约分，分式的加减计算，分式的化简求值，熟知相关公式和计算法则是解题的关键．
18. 按要求完成画图（作图），并保留必要的画图（作图）痕迹．
（1）方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上．
①试画出以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形；
②以原点O为对称中心，画出与关于原点O对称的；
（2）如图，平行四边形中，E是 的中点，只用一把无刻度的直尺，找出四边形各边的中点
【答案】（1）①见解析，②见解析
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）①分别找到点A、B、C的对应点A1、B1、C1，画出图形；
②分别找到点A、B、C关于原点中心对称的对应点A2、B2、C2，画出图形；
（2）利用平行四边形的中位线以及三角形重心得出结果．
【小问1详解】
解：①如图所示，
②如图所示，
【小问2详解】
连接AC、BD交于点O，连接EO并延长交BC于点F，则F是BC的中点；
连接DF交AC于点M，连接BM并延长交CD于点G，则点G为DC的中点，
连接GO并延长交AB于点H，则点H为AB中点；
故点F、G、H是所求做的点．
【点睛】本题考查旋转作图以及利用图形性质确定中点，利用中位线以及重心是解决问题的关键．
19. 如图，已知：在四边形中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）当______°时，四边形是正方形；
（3）在（2）的条件下，若，则四边形的面积为 ．
【答案】（1）见解析 （2）45
（3）12
【解析】
【分析】（1）根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可以得到 ，再证明，继而证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得到四边形是菱形．
（2）欲证明四边形BECF是正方形，因为第一问已经证明四边形BECF是菱形，所以只需
要证明其中一个角是直角，根据题目条件分析，可证明当∠A= 45°时，
∠EBF= 2∠CBA= 90°，即四边形BECF是正方形．
（3）在（2）的条件下，四边形EBCF是正方形，得出四边形ABFC为直角梯形，求出FC，AB，BF的长，再根据梯形的面积公式即可得四边形的面积．
【小问1详解】
证明：∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，，
∴
∴，
又∵
∴四边形是平行四边形
又∵
∴四边形是菱形．
【小问2详解】
解：当∠A = 45°时，四边形BECF是正方
形，证明如下：
∵∠A= 45°，∠ACB = 90°
∴∠CBA = 45°
∴∠EBF= 2∠CBA = 90°
∴菱形BECF是正方形．
所以，当∠A=45°时，四边形BECF是正方形．
小问3详解】
解：在（2）的条件下，四边形EBCF是正方形，∠A=∠ECA=45°，
∴∠FBA=∠BFC=90°，
四边形ABFC直角梯形，
又∵AC=4
∴AE=EC=
∵CE=CF=2 ，AB=BE+AE=2
∴
=
故四边形面积为12．
【点睛】此题主要考查了菱形的判定，正方形的性质及判定以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握四条边都相等的四边形是菱形．
20. 正方形中，对角线、交于点O，点E、F、G分别在边、、上．
（1）在图①中，于点P，连接、；
①判断线段、之间的关系____________；
②若，，P、Q两点关于直线对称，直接写出线段的长度______；
③若，当E、F在边、上运动时，的最小值是______；
（2）在图②中，于点P，连接，比较 与的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）①，；②；③
（2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）①先证，得CE=DF，再证，得0E=0F，再通过，证得；②先证，得，从而求得，再证，得，从而求，，进而求得，
利用勾股定理即可得到答案；③利用，得点C、B、P始终在以BC为直径的圆上，则可得到点P运动到点P1位置时，DP最短，求解即可．
（2）将BCE绕点B旋转90°，易证平行四边形BGFH，得BG=HF，由BEH是等腰直角三角形，得HE=BE，．
【小问1详解】
解：①线段、之间的关系：，
∵
∴
又∵
∴
∴在BCE和CDF中
∠BCE=∠CDF,∠CBE=∠DCF,BC=DC
∴
∴CE=DF
在ODF和OCE中
OD=OC,∠ODF=∠OCE,CE=DF
∴
∴OE=OF，
∵四边形是正方形
∴
∴
∴
故：线段、之间的关系：，
②∵BP=3.CP=1.
∴
在BCP和BCE中
,
∴
∴
∴
在PGC与PCE中，
∠PGC=∠CPE=90°,∠CPG=∠PCE
∴
∴
∴，
如图：作点P的对称点Q，连接PQ交BC于点G，过点O作，交BC于点M，过点Q作交OM的延长线于点K．
∴
③∵
∴点C、B、P始终在以BC为直径的圆上
如图，作BC的中点S，并做过点B、C、P的半圆，并连接DS交半圆于点P1
∴当点P运动到点P1位置时，DP最短
∵AB=2
∴
∴
∴
即：的最小值是．
【小问2详解】
解：如图，将绕点B旋转90°
∵
∴
∵绕点B旋转90°
∴，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∵，HB=BC
∴是等腰直角三角形
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等、相似、勾股定理、旋转以及圆的知识点，综合性较强，能准确的作出辅助线是解答此题的关键．