北师大版 (2019)必修 第二册5.2 余弦函数的图象与性质再认识一课一练

【精品】5.2 余弦函数的图象与性质再认识-1课时练习

一．填空题

1．函数的图像向左平移单位后为奇函数，则的最小正值为______.

2．已知是函数的反函数，则

     ．

3．已知函数，任取t∈R，记函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值为，最小值为,则函数h(t)的值域为________.

4．函数的最小正周期为______.

5．函数的最小正周期是______.

6．将函数按向量平移（），若所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是______.

7．振动量y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的初相和频率分别是－π和，则它的相位是________．

8．已知函数（）在区间上的最大值为2，则实数的最小值为________

9．设函数，则函数的值域为______.

10．函数的单调递增区间为______.

11．函数的所有零点之和等于__________.

12．已知等腰三角形底角的余弦值等于，则这个三角形顶角的正弦值为________．

13．设数列是首项为0的递增数列，函数满足：对于任意的实数，总有两个不同的根，则的通项公式是________．

14．已知函数，若存在，，…，满足，且，，则的最小值______.

15．已知函数,则下列命题正确的是______填上你认为正确的所有命题的序号

函数的单调递增区间是；函数的图像关于点对称；

函数的图像向左平移个单位长度后,所得的图像关于y轴对称,则m的最小值是；

若实数m使得方程在上恰好有三个实数解,,,则．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】先通过平移变换得到新的函数解析式，然后根据新函数为奇函数得到关于的等式，由此确定的最小正值.

【详解】

因为向左平移单位后得到且为奇函数，

所以，所以，又因为，所以当时有.

故答案为：.

【点睛】

本题考查根据三角函数的奇偶性求解参数的最值，难度一般.若为奇函数，则有，若为偶函数，则有.

2．【答案】

【解析】令则，所以又，所以

考点：反函数

3．【答案】

【解析】【详解】

注意到，对于有h(t)

数形结合知

当

当

故函数h(t)的值域内.

4．【答案】

【解析】的周期.

【详解】

.

故答案为：

【点睛】

本题考查三角函数的周期，属于基础题.

5．【答案】2

【解析】根据正切函数的周期，即可得结果.

【详解】

函数的最小正周期是.

故答案为:2

【点睛】

本题考查三角函数的周期，属于基础题.

6．【答案】

【解析】根据行列式的运算性质化简函数，再利用函数的图像变换规律．三角函数的图像对称性，即可求出的最小值.

【详解】

.

按向量平移后得到.

又因为为偶函数.

所以即

又因为，所以当时，的最小值是.

故填：.

【点睛】

本题考查行列式的运算．三角函数的图像变化．三角函数的对称性，属于中档题，熟练掌握正弦型函数的对称性质是接本题的关键.

7．【答案】3πx－π

【解析】∵f＝，∴T＝，∴ω＝＝3π，

又φ＝－π，∴y＝sin(3πx－π)，

∴振动量y的相位是3πx－π.

8．【答案】

【解析】由正弦型函数的性质，得到区间是函数的一个单调递增区间，结合题意，得到，即可求解.

【详解】

由正弦型函数的性质，可得函数（），

其中区间是函数的一个单调递增区间，

要使得函数在区间的最大值为2，

则，解得，所以实数的最小值为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练掌握正弦型函数的图象与性质，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

9．【答案】

【解析】函数是周期函数，所以可考虑求出函数在一个周期内的取值，从而得到的值域.

【详解】

的周期，

因为，

所以时，时，

时，时，

时，时，

所以函数的值域为.

故答案为：

【点睛】

本题考查三角函数的值域，属于基础题.

10．【答案】

【解析】的增区间是，由此可列式求解.

【详解】

令，

因为的增区间是，

所以，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题考查三角函数单调区间的求法，属于基础题.

11．【答案】60

【解析】【详解】

函数 的零点，即为方程在区间上的解.等价于函数的图象与函数的图象，在区间上的交点的横坐标.因为函数的图象与函数的图象，均关于点（5，0）对称，且在区间上共有12个交点（6组对称点），每组对称点的横坐标之和为10，即这12个点横坐标之和为60.所以函数 的所有零点之和等于60.

12．【答案】

【解析】已知等腰三角形可知为锐角，利用三角形内角和为，建立底角和顶角之间的关系，再求解三角函数值。

【详解】

设此三角形的底角为，顶角为，易知为锐角，则，，所以．

【点睛】

给值求值的关键是找准角与角之间的关系，再利用已知的函数求解未知的函数值。

13．【答案】

【解析】利用三角函数的图象与性质．诱导公式和数列的递推公式，可得，再利用“累加”法和等差数列的前n项和公式，即可求解．

【详解】

由题意，因为，当时，，

又因为对任意的实数，总有两个不同的根，所以，

所以，

又，

对任意的实数，总有两个不同的根，所以，

又，

对任意的实数，总有两个不同的根，所以，

由此可得，

所以，

所以．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及诱导公式，数列的递推关系式和“累加”方法等知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．

14．【答案】1011

【解析】根据可知，再验证当时，不满足题意，当时，满足题意.

【详解】

因为对任意和任意都有.

由，知.解得：

当时，必须使

则，，…，依次取，不符合题意.

当时，，，…，依次取,满足题意。

所以的最小值为

【点睛】

本题考查正弦函数的最值问题，其中涉及解不等式，属于难题.

15．【答案】①③④

【解析】先利用辅助角公式将函数化简，然后再从单调区间．对称中心．图象平移．函数与方程四个方面逐项分析.

【详解】

，令，所以，因为，所以令，则，所以单调增区间是，故正确；

因为，所以不是对称中心，故错误；

的图像向左平移个单位长度后得到，且是偶函数，所以，所以且，所以时，，故正确；

因为，作出在上的图象如下图所示：

与有且仅有三个交点：

所以，又因为时，且关于对称，所以，所以，故正确；

故填写：①③④.

【点睛】

本题考查三角函数的图象与性质的综合应用，难度一般.（1）的对称中心处所对应的函数值为，对称轴处所对应的函数值为最值；（2）分析方程的解的个数时，可以借助两个函数图象的交点个数来分析.