2020-2021学年第五章 复数3 复数的三角表示本节综合与测试说课课件ppt

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1.了解复数的三角形式；2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系；3.了解复数乘、除法运算的三角表示及其几何意 义. (重点、难点)
从图可以知道：
a=rcsθ，b=rsinθ，
因此，z=a+bi=rcsθ+irsinθ=r(csθ+ +isinθ).
于是，任何复数z=a+bi(a，b∈R) 都可以表示为
这个式子称为复数z=a+bi(a，b∈R) 的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分，a+bi称为复数的代数表示式，简称代数形式.
为确定起见，将满足条件0≤ θ ≤2π的辐角值，称为辐角的主值，记作arg z，即0≤arg z≤2π.每一个非零复数有唯一的模与辐角的主值，并且可由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式.我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化.
将复数z1，z2分别用三角形式表示为 z1=r1(csθ1+ +isinθ1)， z2=r2(csθ2+ +isinθ2).
复数乘除运算的几何意义
由复数乘法的定义与两角和的三角函数公式，有z1·z2=r1(csθ1 + +isinθ1)·r2(csθ2 +isinθ2) =r1r2[(csθ1csθ2 -sinθ1sinθ2)+ i(sinθ1csθ2+csθ1sinθ2)] =r1r2[cs(θ1+θ2 )+isin(θ1+θ2 )].
这就是说，两个复数相乘，积的模等于它们的模的积，积的辐角等于它们的辐角的和.
r1(csθ1 + +isinθ1)·r2(csθ2 +isinθ2)=r1r2[cs(θ1+θ2 )+isin(θ1+θ2 )].
例3：试证明:[r(csθ+isinθ )]3=r3(cs3θ+isin3θ).
证明：[r(csθ+isinθ )]3=r(csθ+isinθ)·r(csθ+isinθ)· r(csθ+isinθ)=[r(csθ+isinθ)· r(csθ+isinθ)]· r(csθ+isinθ)=r2(cs2θ+isin2θ)· r(csθ+isinθ)= r3(cs3θ+isin3θ).
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
例4：计算： ，并把结果化为代数形式.
思考： 请计算复数r(csθ+isinθ )的平方根和3次方根.
瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角形式：eiθ=csθ+isinθ，（i为虚数单位），根据该式，计算eπi+1的值为（　　）A．-1 B．0 C．1 D．i
解：由eiθ=csθ+isinθ， 则eπi+1=csπ+isinπ+1=0， 故选B.