4.3二倍角的三角函数公式 北师大版（2019）高中数学必修第二册（含答案解析） 试卷
展开4.3二倍角的三角函数公式北师大版（ 2019）高中数学必修第二册
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
- ( )
A. B. C. D.
- 设，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
- 古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示若实数满足，则( )
A. B. C. D.
- 若，，则( )
A. B. C. D.
- 已知，，则
A. B. C. D.
- 若，，则( )
A. B. C. D.
- 函数是( )
A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数
C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数
- ，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
- 下列式子正确的是( )
A.
B.
C.
D.
- 已知，若且，则下列选项中与恒相等的有( )
A. B. C. D.
- ( )
A. B.
C. D.
- 在中，若，则的形状( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 锐角三角形
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 化简： ．
- 已知，则 ．
- 已知，则．
- 已知，，则 ．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
- 本小题分
在中，已知．
求角；
若，且，求． - 本小题分
已知，，且，．
求的值；
求的值．
- 本小题分
已知，且，求．
- 本小题分
已知一段圆弧所对的圆心角的正弦值等于，求这段圆弧所对的圆周角的正弦、余弦和正切．
- 本小题分
已知函数，．
求函数的最小正周期；
求函数在区间上的最大值和最小值及相应的的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的化简求值，二倍角的余弦及诱导公式，属于中档题．
直接利用诱导公式及二倍角的余弦化简求值即可．
【解答】
解：
．
故选D．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查诱导公式、辅助角公式、二倍角公式等知识，属于中档题．
对，，进行化简，再由正弦函数的单调性即可求解．
【解答】
解：，
，
，
，
．
故选D．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查诱导公式，二倍角的公式，考查了分析与计算能力，属于中档题．
由已知利用诱导公式，二倍角的公式化简所求即可计算得解．
【解答】
解：根据题中的条件可得，
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查同角三角函数的基本关系和二倍角公式的应用是中档题．
利用同角三角函数的基本关系求得、和的值，再利用二倍角公式求值即可．
【解答】
解：因为，，
两边平方得，
，
为钝角，
所以，
，，
则，
则 ．
故本题选D．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查半角公式，属于中档题．
首先利用二倍角公式求得，然后利用半角公式即可求得结果．
【解答】
解：由 及，
．
故选D．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查半角公式，考查同角三角函数关系以及相关公式定义的化简求值的运用．
根据角的范围确定角所在的象限，求出的值，再根据半角公式求出，最后根据二倍角公式即可求得结果．
【解答】
解：，即，
为第二象限角，
，
，
为第三象限角，
，
．
故选B．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换，三角函数的周期性，三角函数的奇偶性，属于基础题。
其中利用倍角公式及诱导公式，化简函数的解析式，是解答本题的关键。
【解答】
解：由可知，
则
因为，
所以函数为奇函数，
周期．
故选A．
8.【答案】
【解析】
【分析】
由条件利用二倍角公式求得 和的值，再利用同角三角函数的基本关系式求得的值．
本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，属于中档题．
【解答】
解：，又，，
，，
故选：．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式，属于中档题．
对两角和与差的三角函数公式进行灵活变形，通过特殊角的三角函数值，依次判断选项可得结果．
【解答】
解：，A正确；
，B错误；
，
．
，故C正确．
又由，得，
所以，故D不正确．
故选AC．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的化简，为中档题．
利用恒等变形公式化简即可求解．
【解答】
解：，
因为
，
又
，
故选AD．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查两角和的正切公式，正切半角公式，属于中档题．
根据两角和的正切公式及特殊角的三角函数值判断，由正切半角公式判断，直接判断．
【解答】
解：，故 A正确；
由正切的半角公式知，故B错误；
，故C正确；
由知D错误．
故选：
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查三角函数的恒等变换，同时考查了三角形形状的判定，属于基础题．
首先根据题意化简得到，，或，即可得到三角形的形状．
【解答】
解：，
，
，
A.
，
或B.
，，
，或．
为直角三角形或等腰三角形．
故选：．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数求值，考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和与差的正弦公式和诱导公式，属于基础题．
利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和与差的正弦公式和诱导公式化简原式即可求解．
【解答】
解：
．
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数关系式的恒等变换，属于中档题．
直接利用三角函数的关系式的变换和应用求出结果．
【解答】
解：由于，
所以，
整理得，
所以，
则，
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查半角公式，难度适中．
【解答】
解：原式，
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数中半角公式的应用，已知余弦值求半角的三角函数值，直接利用半角公式计算即可应用公式时注意半角的象限以及三角函数值的符号．
【解答】
解：由，得，所以，，
，
所以
故答案为．
17.【答案】解：由，
可得，，则，即，
由，可得，．
故角为．
，，，
由，可得：，
．
故的值为．
【解析】本题考查二倍角公式，和三角函数和与差的公式及三角形内角和定理的运用，考查运算能力，属于中档题．
利用二倍角和和与差的公式化简可得的值，结合的范围可求的值．
由已知可求的范围，利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用两角差的正弦函数公式可求的值．
18.【答案】解：因为，
所以，即．
又，
所以，即．
所以．
由且，得，
所以．
由知，所以．
又因为，，
所以，
所以，且．
因为
，
所以．
【解析】本题考查同角关系式，二倍角公式以及和差角公式，关键是求角的取值范围是难点，属中档题．
由已知利用同角关系得，然后利用二倍角公式求值；
先求得，，且利用正弦得差角公式即可求得．
19.【答案】解析因为，所以，即是第二象限角，
所以，
所以
【解析】略
20.【答案】解：设圆心角为，则同弧所对的圆周角为．
因为，所以，．
当时，，
，
，
．
当时，，
，
，
．
【解析】本题考查同角三角函数基本关系式，半角公式的应用，属于中档题．
设圆心角为，则同弧所对的圆周角为由，得，分为和两种情况，分别利用半角公式求解即可．
21.【答案】解：
，
所以
因为，
所以 ， ，
当，即时，，
当，即时，．
【解析】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．
利用和角公式、降幂公式和辅助角公式基本公式将函数化为的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期；
当时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可求出的最大值和最小值及相应的的值．
