北师大版 (2019)必修 第二册2.4 积化和差与和差化积公式巩固练习

【名师】2.4 积化和差与和差化积公式-1同步练习

一．填空题

1．已知，则的值为______.

2．若，则___________.

3．已知，，则________

4．已知，，则的值为________.

5．若，，则___________.

6．设．是方程的两个根，则________________.

7．若，则________．

8．在中，，则的最大值是______.

9．已知，且，则_____.

10．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若ac＝4，，则△ABC面积的最大值为__________．

11．已知，，则的值为_______________.

12．已知，，则______.

13．已知，，则______.

14．在三角形中，，则角等于______ ．

15．已知，若，且，则的值为______．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】根据已知条件求得的值.将所求表达式化为只含的式子，由此求得表达式的值.

【详解】

依题意.

而.

【点睛】

本小题主要考查利用诱导公式．二倍角公式和降次公式进行化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

2．【答案】

【解析】由两角和的余弦公式运算即可得解.

【详解】

解：因为，

由两角和的余弦公式可得，

即，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了两角和的余弦公式，重点考查了两角和的余弦公式的逆用，属基础题.

3．【答案】

【解析】利用两角和与差的三角函数和三角函数的基本关系式，即可求解.

【详解】

由题意，，，

可得，

所以

.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的化简求值，其中解答中熟练应用三角函数的基本关系式和两角和的正弦公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

4．【答案】

【解析】利用两角差正切公式即可得到结果.

【详解】

∵，，

∴

故答案为：

【点睛】

本题考查三角函数恒等变换知识，考查角的配凑法，考查两角差正切公式，考查运算能力.

5．【答案】

【解析】将等式和等式都平方，再将所得两个等式相加，并利用两角和的正弦公式可求出的值.

【详解】

若，，

将上述两等式平方得，①

，②，

①＋②可得，求得，故答案为：．

【点睛】

本题考查利用两角和的正弦公式求值，解题的关键就是将等式进行平方，结合等式结构进行变形计算，考查运算求解能力，属于中等题.

6．【答案】.

【解析】利用二次方程根与系数的关系得出和的值，然后利用两角和的正切公式计算可求出的值.

【详解】

由二次方程根与系数的关系得出，，

因此，，故答案为：.

【点睛】

本题考查两角和的正切公式的应用，同时也考查了二次方程根与系数的关系，考查运算求解能力，属于中等题.

7．【答案】

【解析】利用诱导公式与二倍角的余弦公式可得，计算求得结果.

【详解】

，

则

，故答案为.

【点睛】

三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系；(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．

8．【答案】

【解析】利用三角形内角和定理与诱导公式化简可得，即，可得为锐角，为钝角，展开代入利用基本不等式的性质即可得出的最大值，结合的范围即可得解．

【详解】

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，可得为锐角，为钝角．

∴

，

当且仅当时取等号，

∴的最大值是，

∵A为锐角，∴A的最大值是，故答案为．

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理．诱导公式．和差公式．基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

9．【答案】

【解析】首先根据已知条件求得的值，平方后利用同角三角函数的基本关系式求得的值.

【详解】

由得，两边平方并化简得，由于，所以.而，由于，所以

【点睛】

本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

10．【答案】1

【解析】由题，得：，利用两角和的正切及基本不等式的性质可得tanB的最大值，即得sinB的最大值，即可得出三角形面积的最大值．

【详解】

由题得

即

当且仅当时取等号．

∴

则△ABC面积的最大值acsinB1.

故答案为1.

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理及两角和的正弦公式，基本不等式的性质．三角形面积，考查了推理能力与计算能力，注意同角三角函数及正切公式的灵活运用是关键，属于中档题．

11．【答案】

【解析】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，求得，再由两角差的余弦函数的公式，即可求解．

【详解】

由，即，

则，

又由，所以，

又由．

【点睛】

本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及正弦的倍角公式和两角差的余弦公式的化简．求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

12．【答案】

【解析】用两角和与差的正弦公式拆解两个已知条件，分别求出和的值，比值即为最后所求。

【详解】

     ①

   ②

① +②得：     ③

①-②得：      ④

两式相除：

故填

【点睛】

两角和与差的正弦公式，解得和并构造所求式子。

13．【答案】

【解析】将角表示为，然后利用两角差的正切公式可计算出的值.

【详解】

，

，

故答案为：.

【点睛】

本题考查两角差的正切公式计算正切值，解题时要将所求角利用已知角进行表示，考查运算求解能力，属于中等题.

14．【答案】

【解析】根据题中条件，直接利用两角和的正切公式化简求值即可．

【详解】

解：在三角形中，，

可得，

所以，

∵

∴．

∴．

故答案为：．

【点睛】

本题考查三角形的解法，两角和的正切函数的应用，考查计算能力，属于常考题型.

15．【答案】

【解析】观察式子结构特点，可通过求得，要求的值，可通过计算的值，反查三角函数表求得

【详解】

，

又，

答案为：

【点睛】

对于形如这种角度的求解问题，我们一般通过转化成，的形式进行求解，还应熟悉常见的和差角公式的基本特点